人教A版普通高中数学一轮复习第四章第六节正弦定理和余弦定理及应用学案

第六节正弦定理和余弦定理及应用考试要求：1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．自查自测 知识点一余弦定理1．(教材改编题)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6 B．C．2π3 C解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc＝9+25-4930＝－12．因为∠2．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝()A．2 B．6C．7 D．C解析：易知c＝a2+b2-2acos核心回扣1．定理a2＝b2＋c2－2bccosA．b2＝c2＋a2－2cacosB．c2＝a2＋b2－2abcosC．2．推论cosA＝b2cosB＝c2cosC＝a2知识点二正弦定理1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)2．(教材改编题)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝．2＋63解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得2sin60°＝csin75°，得c核心回扣1.定理asinA＝bsinB＝csin2．变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(4)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．知识点三三角形面积公式1．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，b＝4，C＝π6，则△ABC的面积为3解析：由题意可知，a＝3，b＝4，C＝π6，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×4×12．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝32，则C＝60°解析：在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，由S△ABC＝12AB·ACsinA＝32，可得sinA＝1，所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60核心回扣1.S＝12a·ha(ha表示边a2．S＝12absinC＝12acsinB＝12bc3．S＝12r(a＋b＋c)(r【常用结论】1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC．(2)cos(A＋B)＝－cosC．(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC2．(5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tan2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．3．三角形解的个数A为锐角A为钝角或直角 图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解4．S△ABC＝pp-ap-bp-c，p＝12(a＋应用1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有()A．1个 B．2个C．1个或2个 D．0个B解析：由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得8022＝100sinB，所以sin因为a＜b，所以B＞A，故B有两解，即符合条件的三角形有2个．应用2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABCA．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形A解析：由cb＜cosA，得sinCsinB又B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinC＜sinBcosA．因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＜sinBcosA，所以sinAcosB＜0.因为A，B∈(0，π)，所以sinA＞0，cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．应用3设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足a＝3，b＝m，B＝π6的△ABC不唯一，则实数mA．32，3 C．1A解析：因为△ABC不唯一，且B＝π6，即B为锐角，所以asinB＜b＜a，即3×sinπ6＜m＜3，所以32＜m余弦定理、正弦定理的基本应用1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝()A．823 B．C．73 D解析：因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝asinA＝732＝142．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则A＋B的大小为()A．5π6 B．C．π3 C解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝a2+b2-c22ab＝－12．又0＜C＜π，所以C＝2π3．在△ABC中，cosA＝1213，sinB＝m，若角C有唯一解，则实数mA．513，C．1213，1∪513D解析：在△ABC中，cosA＝1213，sinB＝m，若角C有唯一解，则△ABC设内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，由cosA＝1213，知A为一确定的锐角且sinA＝513，所以ab＝sin如图，以C为圆心，a为半径画圆弧，当圆弧与边AB有1个交点时满足条件，即圆弧与边AB相切，或圆弧与直线AB相交有2个交点，其中一个交点在线段AB的反向延长线上或在点A处，故a＝bsinA＝513b或a≥b由ab＝513m，即a＝513mb，得513mb＝513b或解得m＝1或0＜m≤513故选D.用余弦定理、正弦定理求解三角形基本量的步骤及方法判断三角形的形状【例1】(1)(2024·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形C解析：在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝bc2bc＝12．因为A∈(0，π)，所以A＝π3．因为sinBsinC＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，解得b＝c，所以(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，设△ABC的面积为S.若accosB＝233S，则△A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形C解析：由已知得accosB＝33acsinB，得tanB＝3.因为0＜B＜π，所以B＝π3．因为a，b，c成等比数列，所以a＋c＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ3，所以b2＝a2＋c2－ac.又a＋c＝2b，得(a－c)2＝0，所以a＝c＝b，所以[变式]本例(1)把条件sinBsinC＝sin2A改为ccosC＝bcosB，则三角形的形状为．等边三角形解析：在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝bc2bc＝因为ccosC＝bcosB，所以sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.又C，B∈(0，π)，故可得C＝B或C＋B＝π2．又A＝π3，所以C＝B＝π3，所以判断三角形形状的方法(1)化边：根据正弦、余弦定理将角转化为边，再通过因式分解、配方等得到边的相对应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：根据正弦、余弦定理将边转化为角，再通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状(此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论)．1．(多选题)(2024·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acosA＝bcosB＝cD．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形BC解析：对于A，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若bcosC＋ccosB＝b，则由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B(或A＋B＝180°舍去)，所以△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若acosA＝bcosB＝ccosC，则由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，则tan对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－2accos60°，即a2＋c2＝2ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C，又B＝60°，故△ABC是等边三角形，故D错误．2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c-a2c＝sin2B2，则△A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A解析：由cosB＝1－2sin2B2得sin2B2＝1-cosB所以c-a2c＝1-cosB2，即cos(方法一)由cosB＝a2+c得a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．(方法二)由正弦定理得cosB＝sinA所以sinA＝cosBsinC.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0.又sinB≠0，所以cosC＝0.又C为△ABC的内角，所以C＝π2，所以△ABC三角形的面积【例2】已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2a+c＝cos(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为1534，且a＋c＝8，求边解：(1)由正弦定理asinA＝bsin得b2a+c＝sin因为b2a+c＝cos所以sinB2sin整理得2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，即2sinAcosB＋sinA＝0，即sinA(2cosB＋1)＝0.因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosB＝－12又B∈(0，π)，所以B＝2π3(2)因为△ABC的面积为153所以S△ABC＝12acsinB＝34ac＝153由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝82－15＝49，因此b＝7.【例3】(2022·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝32，sinB＝1(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC＝23，求b解：(1)由题意得S1＝34a2，S2＝34b2，S3＝34c2，因为S1－S2＋S3＝32，所以34a2－34b2＋34c2＝32，所以a在△ABC中，由余弦定理得cosB＝a2+c2-b22ac＝22ac＝又sinB＝13，则cosB＝1-132＝223，ac＝1cosB＝324，则S(2)在△ABC中，由正弦定理得bsinB＝asinA＝csinC，则b2sin2B＝则bsinB＝32，b＝32sin与面积有关的常见问题类型和解题技巧类型解题技巧求面积解三角形求出有关量，利用公式求面积，常用的面积公式为S＝12absinC＝12acsinB＝12bc已知面积求其他量应用面积公式及正、余弦定理综合求解求面积的最值构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等来处理已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ba＝cos(1)求角B；(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．解：(1)由正弦定理得sinBsinA因为sinA≠0，所以3sinB－cosB＝1，即sinB-π6＝因为0＜B＜π，所以－π6＜B－π所以B－π6＝π6，所以B＝(2)因为b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，即3ac＝16－b2，所以16－b2≤3a+c22，解得b≥2，当且仅当a＝c所以bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，此时△ABC的面积S＝12acsinB＝3课时质量评价(二十六)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，b＝6，B＝π3，则AA．π6 C．π4或3π4 D．B解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asin因为a＜b，所以A＜B，则A＝π42．(数学与生活)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“60-00”，578密位写成“5-78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab，则角C用密位制表示正确的是()A．2-50 B．5-00C．10-00 D．20-00C解析：因为a2－c2＋b2＝ab，所以cosC＝a2+b2-因为C为三角形的内角，所以C＝60°.因为1周角等于6000密位，写成“60-00”，所以C＝16×6000＝1000(密位)，即角C用密位制表示为10-3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若acosB－bcosA＝c，且C＝π5，则BA．π10 B．C．3π10 C解析：由题意结合正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，整理可得sinBcosA＝0.由于B∈(0，π)，故sinB＞0，据此可得cosA＝0，A＝π2则B＝π－A－C＝π－π2－π5＝4．(2024·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a+b+csinA．2393C．833 A解析：由三角形的面积公式可得S△ABC＝12bcsinA＝34c＝3，解得由余弦定理可得a＝b2+c设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得asinA＝bsinB＝所以a+b+csinA+sinB+sinC＝2rsinA+sin5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin2B＋sinB＝0.则下列结论正确的是()A．a＝3 B．b＝7C．B＝60° D．sinC＝5ABD解析：由sin2B＋sinB＝0，得2sinBcosB＋sinB＝0.因为在△ABC中，sinB≠0，得cosB＝－12，所以B＝120°由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝a2＋52－2×a×5×-1因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×-12，解得a＝3，所以由B＝120°，得sinB＝32由正弦定理得sinC＝csinBb＝5×6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若S△ABC＝32a2sinA，且b＋c＝72a，则cosA＝78解析：因为S△ABC＝32a2sin所以由三角形面积公式可得S△ABC＝12bc·sinA＝32a2因为A为三角形的内角，sinA≠0，所以3a2＝bc.又b＋c＝72a，所以cosA＝b2+c2-a7．(2024·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若3asinB＝bcosA，且b＝23，c＝2，则a的值为．2解析：由已知及正弦定理得3sinAsinB＝sinBcosA且sinB≠0，可得tanA＝33又0＜A＜π，所以A＝π6又b＝23，c＝2，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2.8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．233解析：因为bsinC＋csinB＝4asinB·sinC，sinBsinC结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，所以sinA＝12因为b2＋c2－a2＝8，可得cosA＞0，所以A为锐角，即A＝π6，所以cosA＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc·sinA＝12×9．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝π4又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，所以sinA＝3cosA，即tanA＝3，所以0＜A＜π2所以sinA＝310(2)由(1)知，cosA＝1010由sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝22×31010由正弦定理ABsinC＝ACsinB，可得AC＝设AB边上的高为h，所以12AB·h＝12AB·AC·sin所以h＝AC·sinA＝210×31010．(数学与生活)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是()A．－1725 B．－C．－35 D．－A解析：由题意得当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝12AD当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，则BD＝20cm.在△ABD中，cos∠BAD＝AB2+AD2所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×425－1＝－1711．(2024·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝12lg3－lg2，则△ABCA．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形C解析：因为2cosB(acosC＋ccosA)＝b，由正弦定理得2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，所以2cosBsin(A＋C)