2021年重庆市中考数学真题（B卷）解析

2021年重庆市中考数学真题（B卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，

都给出了代号为A.B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题

卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑

1.3的相反数是（）

A.3B.AC.-3D.-A

33

【考点】相反数.

【答案】c

【分析】根据相反数的定义，即可解答.

【解答】解：3的相反数是-3,

故选：C.

2不等式x>5的解集在数轴上表示正确的是（）

【考点】在数轴上表示不等式的解集.

【专题】数与式；数感.

【答案】A

【分析】明确x>5在数轴上表示5的右边的部分即可.

【解答】解：不等式x>5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5,

故选:A.

3计算结果正确的是（）

A.x4B.%3C.x2D.x

【考点】同底数昂的除法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据同底数事的除法法则计算即可.

【解答】解：原式=//=彳3,

故选：B.

4如图，在平面直角坐标系中，将△0AB以原点。为位似中心放大后得到△0C。，若8(0,

1),D(0,3),则△OA8与△08的相似比是()

D

B

0x

A.2：1B.1：2C.3：1D.1：3

【考点】坐标与图形性质；位似变换.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】D

【分析】根据信息，找到。8与。。的比值即可.

【解答】解：(0,1),D(0,3),

.•.08=1,0。=3,

VAOAB以原点0为位似中心放大后得到△08,

与△OCD的相似比是08：00=1：3,

故选：D.

5如图，A8是。0的直径，AC,是。0的弦，若/A=20°,则N2的度数为()

A.70°B.90°C.40°D.60°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；应用意识.

【答案】A

【分析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.

【解答】解：•••AB是。。的直径，

AZC=90°,

VZA=20°,

.,.ZB=90°-ZA=70°,

故选：A.

6下列计算中，正确的是（）

A.577-277=21B.2+&=2后C.疵=3亚D.6小泥=3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法

则逐一判断即可.

【解答】解：A.5祈-2祈=3赤，此选项计算错误；

B.2与血不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

C.bX遍=^X次X亚=3证,此选项计算正确；

D.任+遥="5+5=«，此选项计算错误；

故选：C.

7小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家.如图，反映了

小明离家的距离y（单位：km）与时间f（单位：/?）之间的对应关系.下列描述错误的

是（）

A.小明家距图书馆3hn

B.小明在图书馆阅读时间为2万

C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4/7

D.小明去图书馆的速度比回家时的速度快

【考点】函数的图象.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【答案】D

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确.

【解答】解：由图象知：

A.小明家距图书馆3k”，正确；

艮小明在图书馆阅读时间为3-1=2小时，正确；

C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4〃，正确；

D.因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时

的速度快，错误，符合题意.

故选：D.

8如图，在△ABC和△OCB中，NACB=NDBC,添加一个条件，不能证明△ABC和△OC8

全等的是()

【考点】全等三角形的判定.

【专题】三角形；图形的全等；应用意识.

【答案】B

【分析】根据证明三角形全等的条件A4S,SAS,ASA,SSS逐一验证选项即可.

【解答】解：在△ABC和△OCB中，

VZACB^ZDBC,BC=BC,

A：当NA3C=/OC8时，ZVIBC丝△OC8(ASA),

故A能证明；

B：当AB=£>C时，不能证明两三角形全等，

故8不能证明；

C：当AC=OB时，/\ABC^/\DCB(SAS),

故C能证明：

D：当NA=N。时，△ABC且△OCB（A4S）,

故。能证明；

故选：B.

9如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形48CE（中，NPMN=30°,直角顶点P

在正方形ABC。的对角线上，点M,N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O,

且点。为MV的中点，则NAMP的度数为（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM=OP,从而得出

=150°,利用四边形内角和定理即可求得.

【解答】解：在RtZ\PMN中，/MPN=90°,

为MN的中点，

•■•OP=yMN=0M>

：NPMN=30°,

：.ZMPO=30°,

：.ZDPM=\50a,

在四边形AOPM中，

：/A=90°,ZADB=45°,ZDPM=150°,

/AMP=360°-ZA-NADB-/DPM

=360°-90°-45°-150°

=75°.

故选：c.

10如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度

（或坡比）为i=l：2.4,坡顶。到8c的垂直距离。E=50米（点A,B,C,D,E在

同一平面内），在点。处测得建筑物顶A点的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为（）

（参考数据：sin50°弋0.77；cos50°^0.64；tan50°-1.19）

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】D

【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i=l：2.4,求出CE的长，从而得出BE,再

利用tan50°即可求出AB的长.

【解答】解：：斜坡C£>的坡度（或坡比）为i=l：2.4,

:.DE：CE=5：12,

：£）£'=50米，

；.CE=]20米，

；BC=150米,

/.BE=150-120=30米,

.•.AB=tan50°X30+50

=85.7米.

故选：D.

11关于x的分式方程”3+1=迎上的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组

x-22-x

f3y<<

27有解，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

[y+2>a

A.-5B.-4C.-3D.-2

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组.

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识.

【答案】B

【分析】由关于y的一元一次不等式组下有解得到〃的取值范围，再由关于

[y+2>a

x的分式方程W3+1=盟工的解为正数得到。的取值范围，将所得的两个不等式组成

x-22-x

不等式组，确定〃的整数解，结论可求.

【解答】解：关于X的分式方程应3+1=丝工的解为x=_g_.

x-22-xa+4

..•关于X的分式方程些W_+l=配支的解为正数，

x-22-x

・・・。+4>0.

：.a>-4.

•••关于X的分式方程些S+l=2_有可能产生增根2,

x-22-x

二。#-1.

j3y-2（

解关于y的一元一次不等式组27得：

\y+2>a

yCo

y>a-2

f3y-2<

•.•关于y的一元一次不等式组2飞V有解，

[y+2>a

：.a-2<0.

：.a<2.

综上，-4<a<2且4片-1.

•.Z为整数，

；.a=-3或-2或0或1.

.♦.满足条件的整数。的值之和是：-3-2+0+1=-4.

故选：B.

12如图，在平面直角坐标系中，矩形4BCO的顶点A,8在x轴的正半轴上，反比例函数）'

=K廉>0,x>0)的图象经过顶点D,分别与对角线AC,边BC交于点E,F,连接

x

△AEF的面积为1,则氏的值为()

C.2D.3

52

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形

斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】D

【分析】首先设A(m0),表示出。(a,K),再根据。，E,尸都在双曲线上，依次表

a

示出坐标，再由S》EF=1，转化为SMCF=2,列出等式即可求得.

【解答】解：设4(a,0),

•.•矩形A8CO,

：.D(a,K),

a

•.,矩形ABC。，E为AC的中点,

则E也为8。的中点，

;点B在x轴上，

的纵坐标为」L,

2a

•■•E(2a,叁)，

为AC的中点，

.•.点C⑶，K),

a

.•.点F(3a,A),

3a

・・•△AEF的面积为1,AE=EC,

••SAAC7r=2,

吟xfi，

解得：k=3.

故选：D.

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直

接填在答题卡中对应的横线上

13计算：V9-（H-1）°=.

【考点】实数的运算；零指数幕.

【专题】实数；运算能力.

【答案】2.

【分析】利用算术平方根，零指数塞的意义进行运算.

【解答】解：原式=3-1=2.

故答案为：2.

14不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机

摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前

后两次摸出的球都是白球的概率是—.

【考点】列表法与树状图法.

【专题】概率及其应用；数据分析观念.

【答案】生

9

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

【解答】解：列表如下

黑白白

黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果,

所以前后两次摸出的球都是白球的概率为匹，

9

故答案为：1.

9

15方程2(x-3)=6的解是.

【考点】解一元一次方程.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【答案】x=6.

【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可.

【解答】解：方程两边同除以2得：

x-3=3.

移项，合并同类项得：

x=6.

故答案为：x=6.

16如图，在菱形A8C。中，对角线AC=12,BD=\6,分别以点A,B,。为圆心，

2

的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为一(结果保留IT)

A

【考点】菱形的性质；扇形面积的计算.

【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识.

【答案】96-IOOTT.

【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解.

【解答】解：在菱形ABC。中，有：AC=12,BD=16.

•••AB=^(.1BD)2+(-^-AC)2=10-

VZABC+ZBCD+ZCDA+ZDAB=360°.

四个扇形的面积，是一个以」乂8的长为半径的圆.

2

图中阴影部分的面积=』X12X16-nX102=96-IOOTT.

2

故答案为：96-l()0n.

17如图，△ABC中，点。为边BC的中点，连接AO,将△AOC沿直线AQ翻折至△ABC

所在平面内，得△AOC',连接CC',分别与边AB交于点E,与AO交于点O.若AE

=BE,BC=2,则4。的长为.

【考点】翻折变换(折叠问题).

【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识.

【答案】3.

【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到0。的长，然后根据全等三角形的

判定和性质可以得到A0的长，从而可以求得AO的长.

【解答】解：由题意可得，

△OCAQ丝△£>(7'A,OC=OC,ZCOD=ZC'。。=90°,

...点。为CC'的中点，

•.•点。为8C的中点,

二。。是△BCC'的中位线，

：.OD=1BC,OD//BC,

2

：.ZCOD=ZEC'B=90°,

；AE=BE,BC=2,

.•.00=1,

在AEC'8和△EOA中，

'NEC'B=ZEOA

<ZczEB=ZOEA-

BE=AE

.♦.△EC'BmAEOA(A4S),

：.BC=A0,

.\A0=2,

：.AD=AO+OD=2+\=3,

故答案为：3.

18盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现

销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A,

B,C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数

量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒

的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优

盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为一元.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【答案】155.

【分析】根据题意确定8盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代

数式即可.

【解答】解：•••蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3

个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；

.♦.8盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22-2-3-1-1-3-2=10（个），

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱

的数量之比为3：2,

.♦.8盒中有多接口优盘10x1=5（个），蓝牙耳机有5X△一=3（个），迷你音箱有10

23+2

-5-3=2（个），

设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为“元，匕元，c元，

由题知：0a+3b+c=145①，

l3a+5b+2c=245②

；①X2-②得：a+b=45,

②X2-①X3得：b+c=55,

盒的成本为：a+3b+2c=（a+b）+（26+2c）=45+55X2=155（元），

故答案为：155.

三、解答题:(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给

出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程

书写在答题卡中对应的位置上.

19计算:

(1)a(2a+3b)+(a-b)2；

20n2

(2)x-9.Mr).

X2+2X+1X+1

【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算.

【专题】整式；分式；运算能力.

【答案】(1)3a2+aH序；(2)^1.

x+1

【分析】(1)先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；

(2)先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘

法，继而约分即可.

【解答】解：(1)原式=2。2+3。8+。2-2。方+廿

—3a2+ab+b2；

22

(2)原式=(x+3)(x-3)+(X+X+3-X)

(x+1产x+1x+1

=(x+3)(x-3)qx+3

(x+1)2x+1

=(x+3)(x-3)•x+1

(x+1)2x+3

-x-3

x+1

20.2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知

识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩(竞赛成

绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀).相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩(单位：分)：

6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8.58.5

中位数a9

众数8b

优秀率45%55%

根据以上信息，解答下列问题:

（1）填空：。=,b=

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数：

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.

八年级教师竞赛成绩扇形统计图

【考点】用样本估计总体；中位数；众数.

【专题】数据的收集与整理；应用意识.

【答案】（1）8；9.（2）102人；（3）八年级教师更加优异.

【分析】（D根据中位数定义、众数的定义即可找到“、6的值.

（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解.

（3）根据优秀率进行评价即可.

【解答】解：（1）•..七年级教师的竞赛成绩：6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,

9,9,10,10,10,10,10.

.•.中位数4=8.

根据扇形统计图可知。类是最多的，故〃=9.

故答案为：8；9.

（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数=畀x100%X120=102

（人）.

（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%,故八年级的教师学习党史

的竞赛成绩谁更优异.

21如图，四边形A8C3为平行四边形，连接AC,且AC=24B.请用尺规完成基本作图：

作出NBAC的角平分线与8c交于点E.连接8。交4E于点尸，交4c于点。，猜想线

段BF和线段。F的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

【考点】平行四边形的性质；作图一基本作图.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识.

【答案】图见解答过程；猜想：D尸=38尸证明过程见解答.

【分析】根据题意作出图即可；

证明：：四边形ABC。为平行四边形.

：.OA=OC,OD=OB.

\'AC=2AB.

：.AO=AB.

VABAC的角平分线与BC交于点E.

BF=FO.

:.DF=3BF.

22探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括

函数性质的过程.以下是我们研究函数y=x+|-2r+6|+,〃性质及其应用的部分过程，请按

要求完成下列各小题.

X・・・-2-1012345…

y.・・654a21b7•••

（1）写出函数关系式中〃?及表格中a,6的值:

m=,a—,b=；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出

该函数的一条性质：―；

（3）己知函数y=」旦的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|-

X

2x+6|+m>的解集.

x

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】数形结合；应用意识.

【答案】⑴-2,3,4；

（2）图象见解答过程，当x=3时函数有最小值y=l（答案不唯一）；

（3）xVO或x>4.

【分析】（1）代入一对X、>的值即可求得加的值，然后代入x=l求a值，代入x=4求

匕值即可；

（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；

（3）根据图像求出即可.

【解答】解：（1）当x=0时，|6|+w=4,

解得：机=-2,

即函数解析式为：y=x+|-2r+6卜2,

当x=l时，t7=l+|-2+6|-2=3,

当％=4时,/?=4+|-2X4+61-2=4,

故答案为：~2,3,4；

(2)图象如右图，根据图象可知当x=3时函数有最小值y=l；

(3)根据当y=x+|-2x+6|-2的函数图象在函数夕=型的图象上方时，不等式x+|-2x+6\

X

-2＞也成立，

X

，x<0或x>4.

「7TrryT1TT

1

—

TI—siII

7TrrnnTT

TJXL7Jl

IIIdI

1XL6L

KI

1I—

T4K34r

—1

T^

—I

TT}

二l

rr2r

II

23重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经

典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称“堂食”小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面

(简称“生食”小面).已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4

份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.

(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份.为回馈广大食

客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格

降低冤％.统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小

4

面的销量在4月的基础上增加且4％,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加

2

求a的值.

11

【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；

(2)(/—8.

【分析】(1)设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根

据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生

食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；

(2)根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额=4月的总销售额(1+4％),

11

用换元法解方程可得结论.

【解答】解：(1)设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元,

4PH齐誓由f3x+2y=31

根1据题意得：I7,

I4x4y=33

解得：fx=7,

1y=5

答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；

⑵由题意得：4500X7+2500(l+2％)X5(1-&%)=(4500X7+2500X5)(

2411

设“％=〃?，则方程可化为：9X7+25(1+旦")(1-当O=(9X7+25)(1+Wm),

2411

375/n2-30/77=0,

m(25枕-2)=0,

解得：如=0(舍)，加2=2,

25

•:4=8.

24对于任意一个四位数〃?，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上

的数字之和的2倍，则称这个四位数加为“共生数”.例如：机=3507,因为3+7=2X

(5+0),所以3507是“共生数”；机=4135,因为4+5W2X(1+3),所以4135不是“共

生数”.

(1)判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由；

(2)对于“共生数”〃，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位

上的数字之和能被9整除时，记F5)=2.求满足尸(〃)各数位上的数字之和是偶数

3

的所有n.

【考点】列代数式；因式分解的应用.

【专题】新定义；运算能力.

【答案】(1)5313是“共生数”,6437不是“共生数”;

(2)2148或3069.

【分析】(1)根据题目中的定义，可直接判断5313,6437是否为“共生数”；

(2)根据定义，先用两个未知数表示F(〃)，然后列出含有"的式子，找出满足要求的

结果即可.

【解答】解：(1)V5+3=2X(3+1),

.•.5313是”共生数“，

：6+7W2X(3+4),

,6437不是“共生数”；

(2)•••〃是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，

设”的千位上的数字为m则十位上的数字为2a,(1W“<4),

设”的百位上的数字为〃，

；个位和百位都是0-9的数字，

.•.个位上的数字为9-〃，且9-人>6,

.•.0W6W4

.•.〃=1000。+100力+20。+9-b\

：.F(n)=1°)+21。a+9-b=3404+336+3,

3

由于"是“共生数”，

.,.”+9-b=2X(2"+b),

即a+b=3,

可能的情况有：

(a=l[a=2(a=3,

Ib=2'[b=l"Ib=0

：.n的值为1227或2148或3069,

各位数和为偶数的有2148和3069,

：.n的值是2148或3069.

25如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+/zx-4(a¥0)与x轴交于点A(-1,0),

B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为直线40下方抛

物线上一动点，连接布，PD,求△勿。面积的最大值.

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=o?+bx-4QWO)沿射线A。平移4加个单位，

得到新的抛物线yi,点E为点P的对应点，点尸为力的对称轴上任意一点，在yi上确

定一点G,使得以点。，E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的

点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

备用图

【考点】二次函数综合题.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】⑴y=/-3x-4；(2)8；(3)G(旦，苴)或G(工-_?§■)或G(坨，卫).

242424

【分析】(1)直角代入点A,8坐标即可；

(2)作「《〃丫轴交直线AD于E,通过铅垂高表示出△4PD的面积即可求出最大面积：

(3)通过平移距离为4&,转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移

后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段。E,分。E为边还是对角

线，通过点的平移得出G的横坐标即可.

【解答】解：(1)将A(-1,0),B(4,0)代入)，=o?+hx-4得

(a-b-4=0

I16a+4b-4=0，

.•卜1,

lb=-3

.•.y=/-3x-4,

(2)当x=0时,y=-4,

工点C(0,-4),

・・•点。与点。关于直线/对称，

：.D(3,-4),

YA(-1,0),

・,・直线AO的函数关系式为：y=-%-1,

设P(加，-3m-4),

作PE//y轴交直线AD于E,

:・EQtn,-m-1),

:.PE=-m-\-(机2-2>m-4)

=-川+2加+3,

•'•SA/IPD——XPEX(-/n2+2/n+3)=-2/n2+4^+6,

・••沿A。方向平移班，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位,

VP(1,-6),

：.E(5,-10),

抛物线y=7-3x-4平移后y\=x1-1lx+20,

抛物线yi的对称轴为：直线

2

当OE为平行四边形的边时：

若D平移到对称轴上F点,则G的横坐标为生,

2

代入yi=7-llx+20得y---.

4

，G喏,号），

若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为工，

2

代入>'1—X2-llx+20得y--2^-,

4

•••G®，号），

若DE为平行四边形的对角线时，

若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，

；.G的横坐标为5,

2

代入>1=7-llx+20得y=-A,

••遍，4）

四、解答题：(本大题1个小题，共8分)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画

出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26在等边△ABC中，AB=6,BDA.AC,垂足为。，点E为A8边上一点，点尸为直线

上一点，连接EF.

(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接OG,求线段。G的长；

②如图2,点£不与点A,B重合，G尸的延长线交8C边于点”，连接E/7,求证：BE+BH

=日8凡

(2)如图3,当点E为A8中点时，点M为8E中点，点N在边AC上，且DN=2NC,

点尸从中点。沿射线QD运动，将线段EF绕点、E顺时针旋转60°得到线段EP,连

接FP,当NP+JLMP最小时，直接写出的面积.

2

AAA

G

⑸B

图1图2图3

【考点】几何变换综合题.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识.

【答案】(1)①亚；

②证明见解答过程；

(2)^3-.

3

【分析】(1)①过。作。HLGC于H,先证明△BGF是等边三角形，求出CQ长度，再

证明BF=CF=GF,从而在RtZ\BCC中，求出CF=------迎____=---1「=2品,即

cos/DCFCOS300

得GF,在RtZ\C£W中，求出£>H=CZPsin30°=3和CH=CZ>cos30°=3返，可得

_22

GH=GF+FH=^^,RtZ\GH£)中，即可得到。西五?=&1；

②过E作EP_LA8交8。于尸，过“作MH_LBC交8。于“，连接PG,作3尸中点M

连接EN,由NA8C+/EF”=180°,得B、E、尸、H共圆，可得NFBH=NFEH,从而

可证HF=GF,由E、尸、F、G共圆可得NBM”=NGPF=60°，故J^GFP沿HFM,PF

=FM,可得NF=MH,BF=MH+EP,在Rt/XBEP中，EP=BE・tan30°士巨BE,RtA

3

MHB中,MH=BH・tan30°=*BH,即可得至ljBE+BH=

(2)以M为顶点，MP为一边,作NPML=30°,ML交BD于G,过P作于

H,设MP交8。于K,□△PM4中，HP=1.MP,NP+JLMP最小即是NP+HP最小，此

22

时MP、H共线，而将线段所绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,可得NQKP=N

FEP=60°,从而可证ML〃AC,四边形GHND是矩形，由DN=2NC,得DN=GH=2,

由等边△ABC中，A8=6,点E为A8中点时，点M为BE中点，可得8M=2,BD=

2

AB・sinA=3«,Rt/XBGM中，MG=1BM=^-,BG=BAfcos30°=^H.,可求

244

MG+GH=21,GD=BD-BG=^^,中，可得从而可得PN

4412

=HN-HP=GD-HP=^H,故S^DPN=—PN-DN=^3..

323

【解答】解：（1）①过。作O”_LGC于”，如图：

•••线段EF绕点E逆时针旋转60。得到线段EG,点E与点8重合，且GF的延长线过点

C,

：.BG=BF,NFBG=60°,

・'./\BGF是等边三角形，

：.ZBFG=ZDFC=6^°,BF=GF,

•・•等边△ABC,AB=6,BDLAC,

/.ZDCF=180°-ZBDC-ZDFC=30°,NOBC=」/ABC=30°,C£>=2AC=LB

222

=3,

:・NBCG=NACB-NDCF=30°,

:・/BCG=/DBC,

:・BF=CF,

：.GF=CF,

RtZXBOC中，CF=——迎——=——3——=2f，

cos/DCFCOS300

:.GF=2M，

RtZ\C£»H中，£>//=CD*sin300=3,C”=C£）・cos30°=色巨，

22

：.FH=CF-C”=返，

2

GH=GF+FH=^^,

2

为△GH。中，亦=/^2+.[{2=技;

②过E作EP_LAB交B£＞于尸，过H作M”_LBC交B。于"，连接PG,作8P中点N,

连接EM如图:

・・・“绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,

•••△EG/是等边三角形，

:・NEFG=NEGF=NGEF=60",NEFH=120°,EF=GF,

***/\ABC是等边三角形，

AZABC=60°,

AZABC+ZEFH=\S00,

・•・&E、F、"共圆，

：,/FBH=/FEH,

而△ABC是等边三角形，BD±ACf

：.ZDBC=ZABD=30°,即NF3H=30°,

：・/FEH=30°,

：.ZFHE=}S0°-ZEFH-ZFEH=30°,

:・EF=HF=GF®,

V£P±AB,NABD=30°,

；・NEPB=60°,NEP产=120°,

；・NEPF+NEGF=180°,

:・E、P、尸、G共圆，

：.ZGPF=ZGEF=60Q,

NDBC=30°,

AZBMH=60°,

・・・/BMH=NGPF®,

而/GFP=NHFM③,

由①②③得4G尸P丝”FM(AAS),

：.PF=FM,

^EPLAB,BP中点N,ZABD=30a,

:.EP=LBP=BN=NP,

2

:.PF+NP=FM+BN,

:.NF=、BM,

2

2

:.NF=MH,

：.NF+BN=MH+EP,即BF=MH+EP,

为△BEP中，EP=8E,tan30°=®BE,

3

中，MH=8/1・tan30°=返84,

_3

：.BF='&.BE+&BH,

33

：.BE+BH=y[3BF；

(2)以M为顶点，MP为一边,作/PML=30°,ML交BD于G,过P作于

H,设MP交BD于K,如图：

中，HP=LMP,

2

；.NP+工MP最小即是NP+HP最小,此;时N、P、”共线,

2

•••将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,

二厂在射线。尸上运动，则P在射线上运动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，P是

从动点，E为定点，NFEP=60°,则尸、P轨迹的夹角NQKP=NFEP=60°,

，NBKM=60°,

VZABD=30°,

:.NBMK=90°,

VZPML=30°,

:.NBML=6Q°,

：.ZBML=ZA,

：.ML//AC,

：.ZWM4=180°-/PHM=90°,

而BDA.AC,

：.ZBDC=ZHNA=ZPHM=90°,

...四边形GHM）是矩形，

：.DN=GH,

♦.•边△力BC中，AB=6,BDA.AC,

：.CD=3,

又DN=2NC,

:.DN=GH=2,

♦.•等边AABC中，AB=6,点E为AB中点时，点M为BE中点，

；.BM=S,8D=AB・sinA=6Xsin60°=3«,

2

为△BGM中，MG=1BM=A,BG=BM,COS30°=^R-,

244

：.MH=MG+GH=H-,GD=BD-BG=^S,

44

RtZUWP中，/7P=MWtan30