七年级上册全章辅导教学学案

第1讲与有理数有关的概念

考点•方法•破译

1.了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.

2.会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典•考题•赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前一7米⑵收入一50元⑶体重增加一3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反.二是它们具

有数量.而且必须是同类量，如“向前与向后、收入与支出、增加与减少等等”

解：（1）向前一7米表示向后7米（2）收入一50元表示支出50元（3）体重增加一3千克表示体重减小3千克.

【变式题组】

01.如果+10*表示增加10%,那么减少8%可以记作（）

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.如果+3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（）

A.-5吨B.+5吨C.—3吨D.+3吨

22

【例2】在一亍，77,0.0333这四个数中有理教的个教（）

4.1个8.2个C.3个D.4个

,正整数'正整数

正有理数＜

、正分数整数，0

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数，0:按整数、分数分类，有理数♦负整数

'负整数'正分数

负有理数,分数，

[,负份数.负分数

其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为"=3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以"不是有理数，一

•y是分数0.0333是无限循环小数可以化成分数形式，。是整数，所以都是有理数，故选C.

【变式题组】

11

01.在7,0.15,-301.31.25,100./,-3001中，负分数为________,整数为_____,正整数_____________-

ZO

02.请把下列各数填入图中适当位置

【例3】有一列数为一1,

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律.击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会

有这样的规律：⑴各数的分子部是1;（2）各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…（3）处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是

1

正数，所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数，故答案为一诉

【变式题组】

01.（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3=24-1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想

第六个数是.

02.毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.

03.有一组数/,2,5,10,17,26…请观察规律，则第8个数为____.

【例4】若/十称的相反数是一3,则用的相反数是____.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁

且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题/=-4,加=—8

【变式题组】

01.-5的相反数是（）

11

A.5B.-C.—5D.——

□3

02.已知a与6互为相反数，c与d互为倒数，则a+b+cd=

03.如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形48、C内分别填入适当的教，使得它们折成正方体.若相对的面上的

两个数互为相反数，则填入正方形48、C内的三个数依次为（）

A.-1,2,0B.0,-2,1C.-2,0,1D.2,1,0

【例5】a、6为有理数，且a>0,b<Q,\b\>a,则同仇一a,一6的大小顺序是（）

A.6V—aVaV—bB.-a<b<aV—bC.-bVaV—a<bD.-aVaV—bVb

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离，即|a|,用式子表示为|司=

a[a>0）

1A111H

<0（。=0）.本题注意数形结合思想，画一条数轴b-a0a-b标出a、6,依相反数的意义标出一6,一当故选4

-a（a<0）

【变式题组】

01.推理①若a=b,则|a|=|6|;②若|司=|引，则a=6:③若aWb,则|石|H㈤；④若|a|手|引，则a*b,其中正确的个数为（）

44个8.3个C.2个Z7.1个

02.a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则‘红+州_+区~=

【例6】已知|a一4|+|b—8|=0,则一的值.

ao

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|s|20.所以|a-4|20,|6一8|20.

而两个非负数之和为0,则两数均为0.

a।b

解：因为|a-4|20,|b-8|20,又|a—4|+|b—8|=0,|a—4|=0,|b—8|=0即1一4=0,b—8=0,a=4,6=8.故一―=

123

【变式题组】

已知|s|=1,\b\=2,|c\=3,且a>6>c,求a+b+C.

若|/TT-3|+|"+2|=0,则ZTT+2〃的值为（）

A.-4B.-1C.0D.4

已知|a|=8,|b|=2,且|a—b|=6—a,求a和6的值

【例7】已知（/H■而?+|加|=加，且|2m一〃一2|=0.求加的值.

【解法指导】本例关键是通过分析（加+42+|屈的符号，挖掘出加的符号特征，从而把问题转化为（历+,/,12/77—〃-21=0,找

到解题途径.

解：V（/H-/7）2^0,|加

，（川+〃）?+|m|20,而（6+"）?+|m|=m

历20,；・（川+〃）？+勿=加，即（6+/7）?=0

/./?H~n=0①

又・.・|26一勿一2|=0

A2/77-<7-2=0②

224

由①②得而§,"=_§，mn=~g

【变式题组】

已知（3+6）?+|6+5|=6+5且12a—b-/|=0,求a—B.

演练巩固-反馈提高

111111

01.观察下列有规律的数3,T,——,—而…根据其规律可知第9个数是（）

ZOIzzUJU4Z

1111

A.B.C.D.

567290iw

02.-6的绝对值是（）

11

A.6B.-6C.TD.-7

oo

03.在一亍，",8.0.3四个数中，有理数的个数为（）

41个8.2个C.3个24个

04.若一个数的相反数为a+6,则这个数是（）

A.a-bB.b-aC.-a+6D.~a—b

05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是（）

A.。和6B.0和一6C.3和一3D,0和3

06.若一a不是负数，则a（）

A.是正数B.不是负数C.是负数D.不是正数

07.下列结论中，正确的是（）

①若a=b,则|a|=|引②若a=-b,则|a|=|引

③若|=Ib|,则a=-6④若|a|=|b|,则a=b

A.①②B.③④C.①④D.②③

08.有理数a、。在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b,-a,|同的大小关系正确

的是（）

A.|b\>5>_a>bB.\b\>b>a>—a

C.a>\b\>b>~aD.a>\b\>-a>b

09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是.

10.已知|x+2|+|y+2|=0,则xv=__.

11.石、b、c三个数在数轴上的位置如图，求同~+巧~+"%+但~

ababcc

12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a+b也可以表示成0、b、々的形式，试求a、b的值.

a

13.已知|a|=4,|d|=5,|c\=6,且a>b>c,求a+b—C.

第02讲有理数的加减法

考点•方法•破译

1.理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2.准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3.理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4.会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典•考题•赏析

【例1】某天股票4开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票4这天的收盘价为()

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确

选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18

+(-1.5)+(0.3)=16.8,故选C.

【变式题组】

01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为一6"C,西安市最低气温2℃,这一天延安市的最低气温比西安低()

A.8℃B.-8℃C.6'CD.2℃

02.飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为

03.珠穆朗玛峰海拔8848m,吐鲁番海拔高度为一155m,则它们的平均海拔高度为

【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)

【解法指导】应用加法运算简化运算，-83与-17相加可得整百的数，+26与一26互为相反数，相加为0,有理数加法常见技

巧有：⑴互为相反数结合一起；(2)相加得整数结合一起；(3)同分母的分数或容易通分的分数结合一起；(4)相同符号的数结合一起.

解：(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+

15=-85

【变式题组】

131

01.(-2.5)4-(-3—)+(-1—)+(-1—)02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)

244

II11

【例3】计算-----+------+------+H----------------------

1x22x33x42008x2009

【解法指导】依---------=-----------进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

及(〃+1)n〃+1

解：原式=(1_L)+(L-L)+(J_L)++(-.....—)

2233420082009

,1111111

2233420082009

,12008

20092009

【变式题组】

计算1+(-2)+3+(-4)+-+99+(-100)

【例4】试看下面一列数：25、23、21,19-

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第〃个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第〃个数的规律，再用

其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7,第"个数为25—2("-1)

⑵T"=13时，25-2(13-1)=1,n=14St,25-2(14-1)=-1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

(3)这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+-­•+(15+11)+13=26X6+13=

169

【变式题组】

01.观察下列等式的规律

9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20

⑴用关于"(/7>1的自然数)的等式表示这个规律；

⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

演练巩固•反馈提高

01.m是有理数，则"+|。|()

A.可能是负数B.不可能是负数C.比是正数D.可能是正数，也可能是负数

02.如果|a|=3,|引=2,那么|a+b|为()

A.5B.1C1或5±1或±5

03.在1,-1,一2这三个数中，任意两数之和的最大值是()

A.1B.0C.11D.一3

04.两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是()

4两数一定都是正数B.两数都不为0C.至少有一个为负数D.至少有一个为正数

05.下列等式一定成立的是()

A.\x\一x=0B.—x—x=0C.|x|+|-x\=0D.\x\-|x\=0

06.一天早晨的气温是一6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是()

4一40cB.4℃C.-3℃D.~5℃

07.若aV0,则|a—(一a)|等于()

A.-aB.0C.2aD.—2a

|X-|XII

08.设x是不等于0的有理数，则^——'~^值为()

2x

40或180或2C.0或一1D.0或一2

09.2+(—2)的值为

10.用含绝对值的式子表示下列各式：

⑴若aVO,b>0,则b-a=a—b=_________

⑵若a>b>0,则|a—6|=

⑶若a<b<0,则a~b=

11.计算下列各题：

(1)23+(-27)+9+5(2)-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25

I123

⑶-0.5-3—+2.75—7—(4)33.1-10.7-(-22.9)-|--------|

4210

12.计算1-3+5—7+9-11+…+97—99

第03讲有理数的乘除、乘■方

考点•方法•破译

1.理解有理数的求法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2.掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3.了解有理教除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.

4.掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5.理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典•考题•赏析

［例1］计算

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定

积的符号，后计算绝对值的积.

1/1、J1、1

解：⑴一x(——)=-(—X—)=——

24248

(3)(-l)x(-l)=+(lxl)=l

(4)2500x0=0

3713371031

⑸(--)x(--)x(l-)x(--)=-<-x-x—x-)=--

569756973

【变式题组】

01.⑴(-5)x(—6)⑶(—8)x(3.76)x(-0.125)

(4)(-3)x(-l)x2x(-6)xOx(-2)⑸-12x(2—1—I-1—1—)

42612

2403.(2x3x4x5)x(l---l-l)

02.(-9—)x5004.(-5)x3-+2x3-+(-6)x3-

252345333

【例2】已知两个有理数a、b,如果a6V0,里.a+bVO,那么()

A.a>0,b<QB.aVO,b>Q

C.a、6异号D.a.6异号且负数的绝对值较大

【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故小。异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由abVO知a、6异号，文由a+bVO,可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选。.

【变式题组】

01.若a+b+c=O,且bVcVO,则下列各式中，错误的是()

A.a+6>0B.6+cV0C.ab+ac>0D.a+6c>0

02.乙知a+b>0,a-bVO,abVO,则^0,bOf/a//b/.

b

03.如果a*6V0,—>0,则下列结论成立的是()

a

A.a>Qfb>0B.aVO,b<0C.a>Q,b<0D.aVO,b>0

04.下列命题正确的是()

A.若ab>Qf则a>0,b>QB.若ab<0,则a<Ofb<Q

C.若ab=O,则a=0或6=0D.若ab=O,则a=0且b=0

【例3】计算

(11(-72)-(-18)(2)1+(—2；)13

(3)(——)+(——)⑷0+(-7)

【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1,先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注

意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2,可直接确定符号，再把绝对值相除.

解：⑴(一72)+(—18)=72+18=4

【变式题组】

⑶0+(一2；)13

01.(1)(-32)4-(-8)(2)2-)(4)(-)^(-1-)

3678

53

02.⑴29+3x—(3)0-(--)x-

335

113

以-.(--)+(l-0.2.-)x(-3)

【例4】2015年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为()

A.0.135X106B.1.35X106C.0.135X107D.1.35X107

【解法指导】将一个数表示为科学记数法的aX1(T的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选8.

【变式题组】

01.武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（）

A.1.03X105B.0.103X105C.10.3X104D.103X103

02.沈阳市计划从2014年到2015年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）

A.25.3X10'亩B.2.53X106亩C.253X10’亩D.2.53X10’亩

演练巩固•反馈提高

01.三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）

41个82个C.3个D.1个或3个

02.两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）

A.互为相反数B.其中绝对值大的数是正数，另一个是负数

C.都是负数D.其中绝对值大的数是负数，另一个是正数

03.已知a6c>0,a>0,ac<0,则下列结论正确的是（〉

A.b<0,c>0B.b>0,c<0C.b<G,c<0D.b>0,c>0

04.若|a6|=a6,则()

A.ab>0B.abNQC.a<0,b<0D.ab<0

,a+b

05.若m、6互为相反数，c、"互为倒数，m的绝对值为2,则代数式加一Cd+---------的值为()

m

A.-3B.1C.±3D.-3或1

1

06.若a>一,则a的取值范围()

a

A.a>1B.0<a<1C.a>—1D.一1VaV0或m>1

07.已知a、6为有理数，给出下列条件：①a+b=O;®a-b=O;③abVO;④巴=-1,其中能判断

6互为相反数的个数是（）

b

41个8.2个C.3个24个

ab

08.去ab丰0,则「+於的取值不可能为（）

同\b\

A.0B.1C.2D.-2

9.2014年一季度，全国城镇新增就业人数289万人,用科学记数法表示289万正确的是（)

A.2.89X10’B.2.89X106C.2.89X105D.2.89X10"

10.已知4个不相等的整数a、b、c、d,它们的积abcd=2,帆a+b+c+d=.

第04讲整式

考点•方法•破译

1.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.

2.掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.

3.掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.

4.了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.

经典•考题•赏析

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.

【解法指导】理解单项式的概念：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0,兀是常

数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：(1)不是，因为代数式中出现了加法运算；

(2)不是，因为代数式是与x的商；

(3)4.,它的系数为n,次数为2;

3

(4)是，它的系数为一一，次数为3.

2

【变式题组】

01.判断下列代数式是否是单项式

02.说出下列单项式的系数与次数

【例2】如果与都是关于*、y的六次单项式，且系数相等，求久"的值.

【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对X或y或*、y等是有区别的，该题是针对*与y而言的，因此单

项式的次数指*、y的指数之和，与字母0无关，此时将用看成一个要求的已知数.

解：由题意得

【变式题组】

01.一个含有*、y的五次单项式，x的指数为3.且当*=2,/=—1时，这个单项式的值为32,求这个单项式.

02.写出含有字母x、y的五次单项式.

【例3】已知多项式

⑴这个多项式是几次几项式？

(2)这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】〃个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；

(2)最高次项是，二次项系数为一1,常数项是1.

【变式题组】

01.指出下列多项式的项和次数

(1)(2)

02.指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项

⑴⑵

【例4】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7.求勿〃一"的值

【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.

解：因为是关于x的三次三项式，依三次知加=3,而一次项系数为一7,即一（3/7+-1）=-7,故〃=2.已有三次项为，一次项为一

7x,常数项为5,又原多项式为三次三项式，故二次项的系数"=0,故"加一4=3+2—0=5.

【变式题组】

01.多项式是四次三项式，则加的值为（）

A.2B.-2C.±2D.±1

02.已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a—86的值.

03.已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求〃的值.

[例5]已知代数式的值是8,求的值.

【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.

解：由得由

（3

【变式题组】

01.如果代数式一2>3加8的值为18,那么代数式96—6尹2的值等于（）

A.28B.-28C.32D.-32

02.若，则的值为.

03.代数式的值为9,则的值为.

【例6】证明代数式的值与加的取值无关.

【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.

证明：原式=

，无论加的值为何，原式值都为4.

，原式的值与m的取值无关.

【变式题组】

01.已知，且的值与x无关，求a的值.

02.若代数式的值与字母x的取值无关，求a、6的值.

【例7】（北京市选拔赛）同时都含有a、6、c,且系数为1的七次单项式共有（）个

A.4B.12C.15D.25

【解法指导】首先写出符合题意的单项式,X、y、N都是正整数，再依A+J/+N=7来确定X、y、N的值.

解：为所求的单项式，则x、v、z都是正整数，且A+JH-Z=7.当x=1时，y=1,2,3,4,5,z=5,4,3,2,1.当x=2时，y=1,2,3,4,z

=4,3,2,1.当x=3时，y=1,2,3,N=3,2,1.当x=4时，y=1,2,N=2,1.当x=5时，y=N=1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1

=15,故选C.

【变式题组】

01.已知加、〃是自然数，是八次三项式，求加、。值.

02.整数==时，多项式是三次三项式.

演练巩固・反馈提高

01.下列说法正确的是（）

A.是单项式B.的次数为5C.单项式系数为0D.是四次二项式

02.a表示一个两位数，6表示一4"一位•数，如果把6放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）

A.100Zrt-aB.10a^-bC.a^bD.100K6

03.若多项式的值为1,则多项式的值是（）

A.2B.17C.-7D.7

04.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为"元，降低m元后，又降低20$,那么该电脑的现售价为

（）

A.B.C.D.

05.若多项式是关于x的一次多项式，则4的值是（）

A.0B.1C.0或1D.不能确定

06.若更关于*、y的五次单项式，则它的系数是.

07.电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有个座位.

08.若，则代数式xy+mn值为.

09.一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需6天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是.

10.有一串单项式

（1）请你写出第100个单项式；

⑵请你写出第"个单项式.

11.一个含有*、y的五次单项式，*的指数为3,且当x=2,尸一1时，这个单项式值为32,求这个单项式.

12.已知x=3时多项式的值为一1,则当*=-3时这个多项式的值为多少？

13.若关于X、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a—b的值.

14.某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.

A-.计时制:0.05元/分

5：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.

此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.

（1）某用户某月上网时间为*小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；

（2）若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.

第05讲整式的加减

考点•方法•破译

1.掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.

2.掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.

3.通过去括号，合并同类项和