人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体-20

两个平面平行的判定和性质(二)

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.两个平面平行的性质.

2.两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义.

(-)能力训练点

1.利用转化的思维方法掌握和应用两个平面平行的性质.

2.应用类比的方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的

定义.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；掌握两平行平面间的距

离的概念，会求两个平行平面间的距离.

2.教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用.

3.教学疑点：正确掌握如何将两个平面平行的性质的研究转化为线线平行、

线面平行、线面垂直的研究.

三、课时安排

1.12两个平面的位置关系及1.13两个平面平行的判定和性质这两个课题

调整安排为2课时.本节课为第二课时，主要讲解两个平面平行的性质.

四、教与学过程设计

(-)复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定

(-)复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定

师：两个平面的位置关系有哪几种？

生：平行或相交.

师：两个平面平行的判定方法有哪几种？

生：第一种可根据定义（一般用反证法）.

第』可何热定定理，即，MI-W9,若au。，bua,an

b=0,a〃B,b〃B,则a〃B.

第三种可根据例1的结论，即：如图1—110,若a，AA',BLAA',则a

//B.

（二）两个平面平行的性质

师：今天我们研究两个平面平行的性质.根据两个平面平行直线和平面平行的定义可

知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.因此，在解决实际问题

时，常常把面面平行转化为线面平行或线线平行.这个结论可作为两个平面平行的性质1：

若a//

B,auQ,Maf除了这外，聒一皿.

1.两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

已知：a〃B,Yna=a,YAp=b.

求证：a〃b.

p

图1-111

师：要证明这个定理，有两种证法：直接证法和间接证法（即反证法）.下面请同学

们书写直接证法，口述反证法.

生：（直接证法.）

；a〃B,

a与B没有公共点.

X,.ac7,baT,

...a〃b.

（反证法.）

假设直线a不平行于直线b,因为直线a、b在同一个平面Y内，

所以a与b相交，设交点力P.又因为auG,buB,所好面d.5有

公共点P,即a,B相交，这与“a〃B”矛盾，所以假设不成立，即a〃b.

师：这个结论可作为性质2：若&〃8,aAy=a,BCY=b,则a〃b.下

面我们再看一个例题.

2.例题

例2一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平

面.

已知：a〃B,1±a,1Da=A.

求证：1J.B.

图1-112

师提问：证明直线与平面垂直的方法有几种？

师与生共同回忆：方法一，证明直线与平面内的任何一条直线都垂直；方法二，证明

直线与平面内两条相交的直线垂直；方法三，证明直线的一条平行线与平面垂直.

比较几种方法，我们可以试着用第••种方法来证明.

证明：在平面6内任取一条直线b,平面Y是经过点A与直线b的平面，设Y

nQ=a.

:二卜“b

PCI7=b>=Mib

aua'

=>lla

IJL。

因为直线b是平面B内的任意一条直线，所以

师：这个例题的结论可与定理”•个平面垂直于两条平行直线中的•条直线，它也垂

直于另一条直线.”联系起来记忆，它也可作为性质3：若a〃0,l±a,则.

3.两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离

师：象性质3这样的，和两个平行平面a,B同时垂直的直线1,叫做这两个

平行平面a,8的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面

的公垂线段.

如图1—113,a〃(3.如果AA'、BB7都是它们的公垂线段，那么AA'//

BB',根据两个平面平行的性质定理有A'B'〃AB,所以四边形ABB'A'是平

行四边形，AA'=BB'.

图1-113

由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度具有唯一性.与

两平行线间的距离定义相类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.两个平行

平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得

4.练习(幻灯显示)

(1)如图平面a//B,aABC在B内，P是a、B

间的一点,线段PA、PB、PC分别交a于A'、B'、C',若BC=12cm,AC=50cm,

AB=13cm,且PA'：PA=2：3,则4

A，B，C的面枳为与cm，

图1-114

师提示：AABC^AA7B'C',且相似比为3：2.

C2)MBt—115,ABca,dEP,AA，iB于A，，

BB'J.B于B',若AC±AB,AC与B成60°角，AC=8cm,B'

C=6cm,。异面直线AC与BB'闰的距离为2』.

师提示：可求A'C=4cm,又可证ABJ_平面AA'C,且四边形AAZB'B为矩

形，I.AB=A'B',AB〃A'B'.：.N'B'，平面AA'C,从而A'B'±AZ

C.在RtZXA，BzC中，

进一步可求得弁面直线M与BB'间的距离AB=24.

（3）（P.38中练习3）夹在两个平行平面间的平行线段相等.

已知：如图1—116,a〃B,AB〃CD,AGa,CEa,BCB,DEp.

求证：AB=CD.

证明：•••AB〃CD,

.•.过AB、CD的平面Y与平面a和B分别交于AC'和BD.

；a〃B,

.••BD〃AC.

四边形ABCD是平行四边形，

/.AB=CD.

师：这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

（三）总结

这节课，我们不仅学习了两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离的定义，还学习了

两个平行平面的四个性质.此外，两平行平面的第五个性质：经过平面外一点只有一个平面

和已知平面平行.它的证明作为今天的作业