人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程 导学案设计

第21章一元二次方程(3)把一元二次方程-(X+2)=-lx*2化成一般

形式为其二次项为,

第1课时一元二次方程一次项系数为常数项为

一、课前预习

(4)一个矩形的长比宽多2,面积为80,求矩形的

1.自学导航(阅读课本3内容，并完成预习内长.若设矩形的长为x,则可列方程为

容.)，化为一般形式为

(1)方程①②③有什么共同特点？(5)在数：—4,一3,-2,—110,1,

2,3,4中，是方程x2-x-6=0的根是

(2)什么叫一元二次方程？

二、例题解析

例1.判断下列方程是不是一元二次方程？

(3)一元二次方程的一般形式是怎样的？

(1)x2—x=0(2)9)@+6=2y(3y+l)

(4)为什么awO?b、C可以等于0吗？

(3)3x2=5y(4)3/=。+6

2

(5)将一元二次方程化为一般形式后，指出二次项(5)―7=2(6)

系数、一次项系数、常数项要注意什么？3厂

x(5尤-2)-x(x+1)+4x2

例2.课本P3的例题

2.诊断检测

(1)下列方程是一元二次方程的是()例3.关于x的一元二次方程

2

4.x,2-2j+l=0B.-14+-1=2(m+3)x+2x=9

xx

-，〃2的常数项为0,求可的值.

C.x~+2x——x?—1D.Jr?+1=0

(2)下面的一元二次方程中，是一般形式的是

()

A.x2=x+1B.x2—X=2

C.2(x+3)=3x(x—1)D.x~—2x—1—0

三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重

点、难点都有哪些？)

四、课后练习

【基础训练】

1.下列命题：①方程尔2+5工+〃=0一定是关

5.有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友

于的一元二次方程；②方程

X发送了一条信息，这样共发送了756条信息.

(X-2)vf4

(1)列出关于x的方程；

(2)写出方程中的二次项系数、一次项系数和常数

2-1

—1是一元二次方程；③方程^%^―^=x+2是一项

3

元二次方程；④/=一2不是一元二次方程，其

中正确的命题是()

A.①③B.②③C.③④D.③

2.方程2炉—6x=9的二次项系数、一次项系数、

【能力提升】

常数项分别为()

A.6,2,9B.2,—6,96.若a是方程V+x-lnO的一个根，求2a2+

C.2,—6,—9D.—2,6,9

2a—2014的值.

3.当加..时,方程

{in1一1*一(/%+1)%+5=0是一元二次方

程；当机时，该方程是一元一次方程.

4.将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二

次项系数、一次项系数和常数项.

关于的一元二次方程(机+

(I)%2-4=-3x(2)(y+3)(y-3)=07.x3)/+2x—9

(3)(2x—3)(x+l)=—3(4)2x2=(V3x-l)2+m2=0有一根为0,求m的值.

【拓展探究】第2课时配方法（1）

8.小丽为校合唱队购买服装时，商店经理给出了一、课前预习

如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，

单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么1.自学导航（阅读课本4_6练习前内容，并完成

每增加一件，购买的所有服装的单价降低2元，

预习内容.）

但单价不得低于50元.按此条件，小丽一次性

购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少（1）书上问题1方程化简后根据什么得出了方程

件这种服装？请根据题意列出方程，并化为一元的解？为什么要验证？

二次方程的一般形式.

（2）解一元二次方程的基本思想是什么？

（3）什么叫直接开平方法解一元二次方程？要把

一元二次方程化成怎样的形式？

（4）能用直接开平方法求解的一元二次方程的特

征是.

9.己知m是方程f—x—2=0的一个实数根，求2.诊断检测

2

代数式（相？----+1）的值.（1）方程丁—16=0的解是.

m

（2）方程（x—2尸一3=0的解是.

（3）方程4x+4=5的解是.

二、例题解析

例1.解方程：

（1）9X*2-5=3（2）3（X—1尸一6=0

3.方程2(x—3产=54的解是

4.解方程：

(1)(X+3)2=10(2)4X2+4X+1=0

例2.解方程：

(1)y2+4y+4=l(2)9/-6X+1=4

例解方程：（。-（。+）

3.2Ip=32212(3)y2-6y+9=8(4)(x-2)2=9x2

5.解方程：4(2x—5尸=9(3x—1产

三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重

点、难点都有哪些？）

四、课后练习

【基础训练】【能力提升】

6.解下列方程

1.方程V-121=0的解是_________________.

(1)(x+6)2—9=0(2)3(X-1)2-6=0

2.方程16/—25=0的解是

(2)对于二次项系数为1的一元二次方程，配方

的关键做法是怎样的？

(3)/—4》+4=5(4)7a2+6=1

(3)对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配

方法解又怎么办？

(4)用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的？

(5))?+2y+l=24；(6)9/22-24M+16=

11.

【拓展探究】

2.诊断检测

7.如果实数X、y满足(f+y2—i)2=25,那么

(1)填空：①X?+101+____=(X+______y

X2+y2的值为___________.

(2)x2-12x+____=(x-_____)2

8.若a、b为实数，满足

2

j3a+4+〃-120+36®y2--y+____=(y-____)2

=0,则关于x的方程0?+。=。的解是@x2+ax+___=(x+____)2

(2)当机=___时，x2+mr+36是完全平方式.

(3)用配方法解方程一一2x-5=0时配方正确的

第3课时配方法(2)

是()

一、课前预习

A.(x+1)2=6B.(x-1)2=6

1.自学导航(阅读课本4_9练习前内容，并完成

预习内容)C.(X+2)2=9D.(X—2)2=9

(1)什么叫配方法？

1.填空：

(4)方程经过配方后为(x-2)2=-3,那么此方程

(填“有实数解''或"无实数解”).①一+8x+=(x+)2

二、例题解析

②y2_5y+=(y-)2

例1、课本外的例1

③Y+6痣x+=(x+_)2

④3y2_18y+=3(y_)2

2.用配方法解方程——4x—1=0配方后得到的

例2.用配方法比较代数式5炉-6%+11的值与零方程是()

的大小关系。

A.(x-2)2=1B.(JC—4)2-5

C.(x—2)2—5D.(x+2)"=5

3.下列配方有错误的是()

A.V-12x-l=0化为(x-6)2=37

B.+6x+8=0化为(x+3)2=1

变式1：求证关于代数式4a2一4。+3的值始终为707

C.2%2—7x—6=0化为(x—」)2

正。416

D.3尤2-4工一2=0化为(3%—2)2=6

4.用配方法解方程：

三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重

①/一2%一2=0②/_4岳—1=0

点、难点都有哪些？)

四、课后练习

【基础训练】

9.若。2+匕2+。―2b+*=0,则^^=

4a+b

22

(§)2x-4=7X©3x-6%+4=010.二次三项式y2-4y+5的值一定是()

A.正数B.负数C.非负数D.无法确定

第4课时公式法(1)

一、课前预习

1.自学导航(阅读课本6T2练习前内容，并完成

预习内容)

(1)什么叫一元二次方程内2+云+。=()根的

5.己知三角形两边长分别为2和4,第三边的长是

判别式？它有什么作用？

方程》2—4x+3=0的解，求这个三角形的周长.

6.如图，在RdABC中，ZC=90°,AC=8in,

CB=6m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿

(2)一元二次方程由？+灰+c=o的求根公式有

AC,BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1

m/s,几秒后APCQ的面积为RAABC面积的一半？怎样的限制条件？

⑶什么叫公式法?

【能力提升】(4)用公式法解一元二次方程要注意些什么？

7.若一元二次方程》2一2%—3599=0的两根为

a、b,且a>Z?,则2a—b的值为

(5)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？

8.已知二次方程一(2a—5)x—3a—1=0有

一个根为0.求另一根并确定”的值.

【拓展探究】

2.诊断检测

(1)用公式法解方程4x2-12x=3的步骤是:1.当*=时，代数式一一8x+12的值是-

4.

①化为一般式为；

2.关于x的一元二次方程

②计算从-4改=；

(m-l)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为

③代入求根公式：x=；0,则m的值是.

④写出方程的解：内==3.将方程(21+1)。+2)=6化为一般形式是_

,用求根公式求得』=,x2

(2)方程/—l=&y的解为

4.用公式法解下列方程：

二、例题解析

(1)3x~—3%+2=0

例1.用配方法解方程：

ax*1+bx+c=0(<2*0,且从-4ac>0)

⑵3y2+1=273y

(3)(x+l)(x+3)=6x+4

例2.课本用的例2

三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重(4)x(x-4)=2—8x

点、难点都有哪些？)

四、课后练习

【基础训练】(5)/―-\[2,x---=0

第5课时公式法(2)

(6)x~+2(^3+l)x+2^/3-0一、课前预习

1.回顾

(1)一元二次方程办2+么+。=0根的判别式

是.

当△>()时，；

当AV0时，；

当△=0时，_________________________________

2.诊断检测

不解方程，判断方根的情况：

【能力提升】

(1)2x2—7x+3=0(2)x~+3x+4=0

关于x的一元二次方程为(机—1)/一2如+m

+1=0.(1)求出方程的根(可用含根的式子

示)；

(2)，〃为何整数时，此方程的两个根都为正整

数.

二、例题解析

例1.(1)下列一元二次方程中无实数解的方程是

()

A.x?+2x+1—0B.+2>x+3-0

C.无2=2x—1D.x?-4x-5=0

(2)若关于X的一元二次方程依2-2x—1=0有

两个不相等的实数根，求实数z的取值范围.

四、课后练习

【基础训练】

1.一元二次方程4f+l=4x的根的情况是

例2.求证：方程()

(m2+l)x2-2mx+(m2+4)=0A.没有实数根

B.只有一个实数根

没有实数根.

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

2.关于x的方程f—2x+m=0有两个实数根,

则机的取值范围是.

3.不解方程，判断下列方程根的情况：

(1)9x2+6x+1=0(2)16x2+8x=-3

例3.若关于x的一元二次方程

(。一2)——2℃+。+1=0没有实数根，求a

的取值范围.

(3)2x2-9x+8=0(4)X2-7%-18=0

4.已知关于x的方程

三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重x2+(m+2)x+2m-l=0,求证：方程有两

点、难点都有哪些？)

个不相等的实数根.

【拓展探究】

8.如果关于x的一元二次方程

k2x2一(2%+1)》+1=0有两个不相等的实数

根，那么攵的取值范围是

9.如果关于X的一元二次方程方2—212k+lx

6.当〃为何值时，关于x的一元二次方程+1=0有两个不相等的实数根，求上的取值范

，一4%+机—4=0有两个相等的实数根？此围.

2

时这两个实数根是多少？

【能力提升】

7.已知关于x的一元二次方程(a+c)x1+2bx+(a

-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.

(1)如果广-1是方程的根，试判断△ABC的形

状，并说明理由；

第6课时因式分解法(1)

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断

△A8C的形状，并说明理由；一、课前预习

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二

1.自学导航(阅读课本耳2~14练习前内容，完成

次方程的根.

预习内容)

(1)什么叫因式分解法?

(2)用因式分解法解一元二次方程，最终要将方程

化为怎样的形式？

(3)因式分解法的步骤是：二、例题解析

例1.课本片4例3

_2.诊断检测

例2.解方程：

(1)方程X2=2x的解是.(1)x2-2x-3=0

(2)方程(x—l)(x+2)=2(%+2)的根是()

A.1,-2B.3,-2C.0,-2

D.3

(2)(x+l)(x—l)+2(x+3)=8

(3)用因式分解法解方程12+〃优+〃=。时，若将

/+〃吠+〃分解为(龙一2)(x+5),则相、〃的

值分别是()

A.3,10B.-3,10C.3,-10

(3)9(2x+3)2—4(2x—5>=0

D.-3,—10

(4)下列说法正确的是()

A.解方程*2=3%时，可以两边同除以X得方程

的解为X=3；

B.解方程(％+2)(》+3)=3乂4时，对比方程两

边有尤+2=3,x+3=4,所以x=l；三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重

点、难点都有哪些？)

C.解方程(3y+2)2=4(y—3)2时，只要将两边

开平方，方程就变形为3y+2=2(y-3),解得

四、课后练习

y=-8；

【基础训练】

D.若一元二次方程的常数项为0,则x=0必是

它的一个根.1.方程x—2=x(x—2)的解是.

(5)解一元二次方程(x—2尸一9=()用法

2.已知关于x的方程，一伙+1次—6=0的一个

和法都较简便.

根是2,则方程的另一个根是.

3.解方程x(x+2)=3x+6用法较简便.

4.方程9x+18=0的两个根是等腰三角形

7.若x、y为实数，且(Y+y2-1)2一4=0,则

的底和腰，则这个等腰三角形的周长为

x2+y2=.

【拓展探究】

5.用因式分解法解方程：

8.若x、y为实数，且(1+/―1)2一4=0,则

(1)5%2-4%(2)3(%-5)2=2(5-%)

x2+y2=.

9.阅读下列材料，解答问题：

为解方程(x2-l)2-3(/-1)=0,我们可以将

(――1)视为一个整体，然后设x2-l=y,

则(》2—l)2=y2,原方程化为y2-3y=0①

(3)(2x—1)-—5=0(5)x~+3x+2=0

解①得y=0，必=3；当Y=0时，

/—1=0,/.x2=1,x=±1

当卜2=3时，/-1=3,x2-4,

(4)16(2x-5)2=25(3x7)2(6)x2-5x+4=0二x=±2..•.原方程的解为：

X1=1,%2=—1，X3=2,X4=—2

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到①的过程中，利用

法达到了降次的目的，体现了的数学思

想.

【能力提升】

(2)解，方程(x2+3)2-4,+3)=0

6.关于x的两个方程x2-x-2=0与一^

x—2.

2

二——有一个解相同，求。的值。

@(x-l-=2(1)

适宜用直接开平方法的是：、

适宜用因式分解法的是：:

适宜用公式法的是：:

适宜用配方法的是：.

例2.用适当的方法解方程：

第7课时因式分解法(2)

一、课前预习(1)5/=2x(2)(3x-2>—49=0

1.思考：一元二次方程的解法有几种？各种解法

你如何根据方程特征进行选择？

2.诊断检测

(1)方程4x(x+2)=-5化成一般形式为

，其中二次项系数为,一次

项为，常数项为.

(3)(x-2尸=9/(4)x2-4x+l=0

(2)若方程(x-4)2=。有实数解，则a的取值范围

是；用法解较简便.

(3)方程5x(2x+l)=4x+2用法解较

筒便.

(4)方程X2-4X_1=0用法解较简便.

⑸方程一一4岳一加=0一般选择法(5)(x+l)(x—1)=2叵x(6)(x+I)?=(x+1)+56

求解.

二、例题解析

例1.灵活选择解法：(填序号)

①一一3犬+1=0②31-1=0③3y2=y

@x2-4x=2@2x2-x=0©5(y-2)2=8

©2/-y-l=0®2X2+4X-1=0

三、小结提炼(本节课涉及到的思想方法、重

点、难点都有哪些？)

(5)U-2)(x-5)=-2

四、课后练习

【基础训练】

1.方程(X-1)2=4的解为.

2.方程x2-2x—l=0的根是.【能力提升】

7.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,

3.已知/一〃x+7在有理数范围内能分解成两个场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

因式的积，则正整数〃的值是.

8.已知V一奴+7在有理数范围内能分解成两个

4.如果(2。+2。+1)(2。+2〃-1)=63,那么因式的积，则正整数。的值是.

a+b的值是.【拓展探究】

5.对于任意实数x,多项式，一5x+8的值是一9.如果(2a+2b+l)(2a+2。-1)=63,那么

个()a+6的值是.

人非负数B.正数C.负数D.无法确定10.若规定两数a、b通过“※”运算，得到4。①

即。※匕=4a。，例如2X6=4x2x6=48.

6.用适当的方法解方程：

.(1)求3X5的值是.

⑴(2x—3>=16(2)(2%-3)2=5(2%-3)

(2)求尢※％+2Xx—2X4=0中x的值.

(3)(2x—3)=x(3x—2)(4)x~—2,x—8—()

第8课时一元二次方程的根与系数的关系

一、课前预习

1,自学导航(阅读课本几卷的内容，完成预习例2.设王、4是方程V+3x-3=0的两个实

内容)

数根，求：(1)--1---；(2)—H--.

(1)一元二次方程根与系数的关系是怎样的？是

由什么推导出来的？

(2)韦达定理的结构特征是怎样的？

2.诊断检测

(1)一元二次方程4?+法+c=0(a70)的两根

为X］和X2,则王+=，

X］•/=___-

(2)已知事和4是方程Y—X—1=0的两根，则例3.已知》=—2是方程f+,nx—5=0的一个根,

则方程的另一根是多少？

X/2的值是

(3)若X］和&是一元二次方程x?—3x+2=0的

两根，则玉+x2的值是

(4)已知方程2/+如+3=0的一个根是一1,

则另一个根是,m的值是.

⑸已知/〃和”是方程2/—5x—3=0的两根，则

11

--1—=.。

mn例4.已知再、々是一元二次方程(。一6)x?+2ax

二、例题解析

+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数。，使

例1.课本小的例4一%=4+/成立？若存在，求出“的值;

若不存在，请说明理由.m=.

（2）求使（玉+1）（々+1）为负整数的实数。的整数值.7.已知一元二次方程a/+公+，=0（aN0）中,

下列命题是真命题的有（）个.

①若a+b+c=0,则82—4acN0；②若方程

ax2+bx+c-0两根为1和2,则2a+c=0；

③若方程以2+。=0有两个不相等的实根，则方

三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重

点、难点都有哪些？）程a?+/ZX+C=O必有两个不相等的实根.

A.IB.2C.3D.0

8.已知a、尸是关于x的方程f+（2加+3）x

四、课后练习

【基础训练】+加2=0的两个不相等的实数根，且满足上+一

ap

1.若关于x的一元二次方程一+（%+3»+%=0

的一个根是-2,则另一个根是.

—1,求小的值.

2.若王、%是一元二次方程/+2分+人=0的

两根，且玉+无2=3，则4、〃的值分

别是.

3.已知帆、w是方程/+2，或+1=0的两根，

则代数式+〃2+3加2的值为（）.

A.9B.±3C.3D.5

4.设a,人是方程f+x—2013=0的两个不相

等的实数根，〃+2a+b的值______.

【能力提升】

5.以3和—2为根的一元二次方程是.

9.已知a、4是方程N2—4x+3=0的两实数

6.方程3--8x+m=0的两根之比为3:1,则根，求：

(1)a1+p-⑵2a2+3夕―46

第9课时实际问题与一元二次方程(1)

一、课前预习

(3)a3+4^2-3y9-l

1.自学导航(阅读课本片9~20的内容，完成预习

【拓展探究】内容)

(1)列方程解应用题的步骤是怎样的？

10.已知a、。满足〃一15。一5=0,

从—15b—5=0,则0+2的值为.

ba

(2)预习探究1,你对类似的传播问题中的数量关系

有哪些新的认识？

11.已知关于x的一元二次方程V+(加+3)x+m

+1=0.

(1)求证：无论加取何值，原方程总有两个不相等(3)预习探究2,思考：你能得出什么结论？成本下

的实数根；降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应

该怎样全面地比较几个对象的变化情况？

(2)若朴工2是原方程的两根，且|西-百=2点，

求，〃的值，并求出此时方程的两根.

2.诊断检测

(1)有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有

49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传

播了个人.

(2)参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有

人共握手10次，那么参加聚会的有人.

(3)某公司4月份的利润为160万元，要使6月份

的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率

是.