2022-2023学年人教A版（2019）高二数学上学期期中达标测评卷（B卷）

2022-2023学年人教A版(2019)

高二数学上学期期中达标测评卷（B卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.在四棱锥P—45CD中，底面A3CD是正方形，E为的中点，若发l=a,

UUuuu_LU.B1

PB=h,PC=c,则用基底｛a,b,c｝表示向量8《为()

2.已知直线ox-出+14=0平分圆C:d+y2-4x-2y-ll=0的面积，过圆外一点

PQ力向圆作切线，切点为Q,则|PQ|的最小值为（）.

A.4B.5C.6D.7

3.设双曲线1-1=1（4>0力>0）的左、右焦点分别为不£,若双曲线上存在一

a~

点P,使N/线耳=方，且仍用=4|P段,则双曲线的离心率为（）

A.—B.—C.—D.V2

223

4.如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，平面ABCZXQ为线段好的中

点，AB=3,3C=4,PA=2,则点P到平面BQO的距离为（）

5.已知圆4+y2-6x+4y+12=0与圆C?:炉+y2-14x-2y+a=0,若圆G与圆C2

有且仅有一个公共点，则实数。等于（）

A.14B.34C.14或45D.34或14

22

6.已知0为坐标原点，椭圆E：［+与=13＞。＞0）的左、右焦点分别是耳,耳，离

CTb~

心率为乎，M,尸是椭圆E上的点，M耳的中点为N,|ON|+|N用=2,过P作

圆。：/+（＞-4）2=1的一条切线，切点为B,则|P3|的最大值为（）

A.20B.2A/6C.2蓬D.5

7.已知双曲线C:=-1=l（a＞0,b＞0）的右焦点为凡右顶点为A,虚轴的两个端

a"b"

点分别为综鸟，以尸为圆心，10Al（0为原点）为半径的圆与C的右支在第一

象限交于点P,西•理'=0,则C的渐近线方程为（）

A.y=±0xB.y=±2\/2x

C.y=±A/3JCD.y=i2乖ix

8.设抛物线y2=8x的焦点为尸，过户的直线，与抛物线交于点A,B,与圆

丁+丫2_4》+3=0交于点P,Q,其中点A,P在第一象限，则21Api+|沙|的最

小值为（）

A.2夜+3B.272+5C.40+5D.4及+3

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

2222

9.已知圆G:（x-3）+（y-l）=4,C2:x+（y+3）=l,直线/:y=A（x-l）,点MN分别

在圆G，G上.则下列结论正确的有（）

A.圆G，G没有公共点

B.|MN|的取值范围是［1,7］

C.过N作圆G的切线，则切线长的最大值是4近

D.直线/与圆G，G都有公共点时，哈

丫22

10.已知点P为双曲线C:二-占=15＞0力＞0）所在平面内一点，耳（-c,0）,工（c,0）分

ab~

别为C的左、右焦点，PF.lF^PF^Ac,线段PJPK分别交双曲线于M,N两

点，器=2,熠=〃.设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有（）

A.若/¥；平行渐近线，则e=2

8.若4=4,则e=x/5+2

C.若〃=3,则e=G

D彳_6（2+e）

〃3

11.已知正方体A8CO-A4CQ的棱长为1,E,F分别为线段与R，8G上的动

点，则下列结论正确的是（）

A.DB,，平面acn

B.平面AGBP平面4cA

C.点尸到平面ACA的距离为定值。

D.直线AE与平面B8QO所成角的正弦值为定值g

22

12.已知椭圆。=+与=1（〃＞。＞0）与直线/:x-y-l=0交于A,B两点，记直线I与

atr

x轴的交点）E,点E,尸关于原点对称，若ZAFB=90",则（）

A.2a2+/?2=a2b2

B.椭圆。过4个定点

C.存在实数a,使得|A8|=3

7

D.|A8|＜-

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a=(3,24—1,1),A=(〃+1,0,2〃).右，a_1_)，则〃=；右al/b,则2+〃=

14.已知圆C:Y+y2+2x_4y+l=0,若存在圆C的弦A8,使得|相|=2扃，且其

中点M在直线2x+y+Z=0上，则实数k的取值范围是.

15.已知点和抛物线C:丁=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于

A,8两点.若拉WB=90。，则左=.

22I

16.已知双曲线［-•E侬〉。,。〉。)的左焦点为F,过户且斜率为2的直线交双

ab4a

曲线于点A(x”yJ,交双曲线的渐近线于点8(占,为)且占<0<%.若|FB|=3|E4|,

则双曲线的离心率是.

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知过点尸(0,-2)的圆M的圆心为(a,0)(〃40),且圆M与直线

x+y+2应=0相切.

(1)求圆M的标准方程;

⑵若过点。(0,1)且斜率为后的直线/交圆M于A,B两点,若△PA8的面积为

斗，求直线/的方程.

18.(12分)如图，在四棱台ABCD-A始CQ中，底面ABCD是正方形，DDtI

平面ABC。，A4=QR=2AB,2e(0,l).

(2)若二面角B-AR-C的大小为30。，求力的值.

19.(12分)已知椭圆C:£+£=l(a>b>0)的离心率为坦,其右顶点为A,下

a"b~2

顶点为8,定点C(0,2),八钻。的面积为3,过点C作与y轴不重合的直线/交

椭圆C于P,。两点，直线BP,8。分别与x轴交于M,N两点.

(1)求椭圆。的方程.

(2)试探究点M,N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不

是，请说明理由.

22

20.(12分)已知双曲线C:£T=l(a>0,b>0)的右焦点为尸(2,0),点尸到。的

渐近线的距离为1.

(1)求C的方程.

(2)若直线《与C的右支相切，切点为P4与直线4：x=|交于点Q，问x轴上是

否存在定点M,使得MP_LMQ?若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理

由.

21.(12分)在四棱锥P—中，PZ)_L底面ABC。，CD//AB,

AD=DC=CB=l,AB=2,£)P=73.

(1)证明：BD工PA;

(2)求PO与平面所成的角的正弦值.

22.(12分)已知抛物线C:x2=2p)，(p>0)的焦点为为坐标原点，横坐标为

夜的点尸在抛物线。上，满足IPFRP。.

(1)求抛物线。的方程.

(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线/,A与。不重合，过。作/的垂线，

垂足为8,直线80与抛物线C交于点D当原点到直线4)的距离最大时，求点

A的坐标.

答案以及解析

1.答案：c

解析：连接8。，QE为PO的中点，

uun1iiiruuntuiruuuitiwnruunutr

.­.BE=-(BP+BD)=-(-b+BA+BC)=--b+-(PA-PB+PC-PB)=

iioruurinnuirii131工心3

——b+-(PA-PB+PC-PB)=——b+-(a+c-2b)=-a--b+-c.MJ&C.

2222222

2.答案：A

解析:将圆C:/+y2-4x-2y-ll=0化为标准方程，得(x-2)2+(y-l>=16,

所以圆心C(2,l),半径r=4,因为直线or-物，+14=0平分圆

C:f+y2_4x-2y-11=0的面积，所以圆心C(2,l)在直线or-孙+14=0上，故

2a—%+14=0,即6=a+7.

在RtAPgC中，|P012=|PC|2-r2=(a-2)2+(Z>-1)2-16=(a-2)2+(a+6)2-16

=2a2+8a+24=2(«+2)2+16,

所以当a=-2时，IP。/的最小值为16,故|PQ|的最小值为4.故选A.

3.答案:C

„2,,2

解析：因为点尸在双曲线/-方=13>08>0)上，且冏卜41P周，

所以附卜归闾=2”,

所以冏|号,陶卷,

因为NPB耳=会

所以|啕2+忸闻=忸闻2,

即用+.唁卜

整理得°2=*〃2,

3

所以离心率用样=半.故选C.

4.答案:B

解析：如图，以A为原点，分别以A氏A£>,AP所在直线为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，则3(3,0,0),£)(0,4,0),尸(0,0,2),Q(0,0,1),

UUUUUU1UUU

QB=(3,0,-1),BD=(一3,4,0),。尸=(0,0,1).

min

〃V即。+?=0,

("3=0,13—=0.

令x=4,则z=12,y=3,.•.”=(4,3,12).

UUU

.•.点P到平面3QD的距离4=叱包=上.

|n|13

5.答案：D

解析：设圆G、圆G的半径分别为4、4•圆G的方程可化为

(x-3)2+(y+2)2=l,

圆G的方程可化为(X-7)2+(y-1)2=50-“.

由两圆相切得，[C£|=4+4或|(7£]=,-讣

22

0|q02|=74+3=5,

.1乃+1=5或|1一引=5n乃=4或4=6或弓=T(舍去).

因止匕，50-。=16或50—。=36=。=34或。=14,故选D.

6.答案：B

解析：连接“心，QMK的中点为N,

:\ON\=^\MF2\,

:\ON\+\NFt\=-[\MF2\+\MF^=-x2a=a=2,

Qe=—=,r.c=G,.,.椭圆E:土+)*=1.

a24

设P(x。，％)，则本+必=1，.,.x：=4-4y：,-1<y0<1.

连接Q3,PQ,由题知，Q(0,4),QBLPB,

|Q81=1,PB|=^\PQ\2-1=&+(%-4)2-1

="-4y：+(%-4/-1=-8%+19

=p(%+g)+暂(TW%41),

由二次函数的性质知，当为=-1时，|P8|取得最大值，且|「8|皿、=2而，故选B.

7.答案：A

UUllUUUUUlluuu

解析：因为PB「PBLO,所以PAIPB],连接产。，PF,设。的左焦点为F',

ULOUIILIUUUUUL1UUUU

连接尸尸，^\PO\=b,\PF\=a,\PF'\-\PF\=2a,所以|尸产|=3a,因为

ULM1UUUUIHU__...,n

\PO\=b,\PF\=a,\OF\=c,所以VOP尸是直角三角形，因为cosNPFF=—,所以在

C

VPFF'中由余弦定理得9a2=4c2+a2-2x2cxaxcosNP/7;'',即c=6a,所以

b=®,所以C的渐近线方程为y=±夜x.

解析：由抛物线方程，得/?=4,因此F(2,0).

设直线/的方程为了=殁+2,联立了="‘得＞2_8冲76=0.

[X=my+2,

设A（%,yJ（占>0,y>0）,8（孙％）（%>°，%<。），则%必=-16,

“…兰.》普=%从而

又|AP|=x,+-^-1=%1+2-1=%,+1>|QB|=X2+-^-1=X2+2-1=JC,+1,

4

.■.2\AP\+\QB\=2xl+x2+3=2x1+—+3（xl>0）.

玉

因止匕21Api+|。8|42,工「：+3=4收+3,当且仅当占=拒时取等号.故选D.

9.答案：AC

解析：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.圆G的圆心G(3,l),半径4=2,

圆的圆心。2(0，-3),半径4=1.对于选项A,圆心距

d=J(0-3)2+(-3-1)2=5>{+",所以圆G，G外离，选项A正确；对于选项B,

|MN|的最小值为4-({+4)=2,最大值为d+«+4)=8,选项B错误；对于选

项C,连接GG与圆交于点M外侧交点)，过N作圆G的切线，切点为P，

此时|NP|最长，在RtVc/N中，|NP|=+一片=五-2。=40,选项C正

确；对于选项D,直线/方程化为：kx-y-k=0,圆心G到直线/的距离

先1^2,解得--』，圆心C,到直线/的距%^41,解得所以直线

7F714-VFTi3

/与圆G，G都有公共点时，k>^,选项D错误.故选AC.

10.答案：ACD

解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意△尸耳用为直角

三角形，点P坐标为(。,±2其)，直线附斜率％=±后,々6g=60;不妨设点/>在

第一象限，如图.

选项A,若历平行渐近线，则2=石，得e=2,故A正确.

a

选项B,若;1=4,则=连接M鸟（图略），由/尸/诏=60。，解得

\MF2\=>j3c,:.2a=\MF2\-\MFt\=（>j3-l）c,得e=6+l,故B错误.

选项C,若〃=3,则|叫|=半。.连接样（图略），由NPKR=90。，解得

|^|=4^1G...2a=\NF,\-\NF2\=,得e=K,故C正确.

选项D,Q|尸用=4c=X阿I，.•』岬|=',点M的坐标为为="-c,y“=*,

4AA,

代入双曲线方程得彳=2（2：Y）,Q|N用=?,则

禺=""4=/=回且，故D正确.故选ACD.

2

\NF2\bAV33

11.答案：ABC

解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Aryz,

由题意知，A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),50,1,0)，A(。，。」)，4(1，。，1)，

uuuuuuu

q(1,1,1),0,(0,1,1),则BQ=(-1,1,0),BCt=(0,1,1),

、uuuuuuu

设E(x,y,l),B]E=AB,D],^1,

则(x-l,y,0)=(—；M,0),

x-1=-2,Jx=l-2,

y=4,[y=2,

E(1—A,A,1).

设F(l,y',z),BF=RBG，硼1,则(0,y；z)=(0,〃,〃).

UUUUUUiLlUU

对于A,QDB,=(1,-1,1),AC=(1,1,0),=(0,1,1),

uuiruuu

DB.AC=0,

5uuiruuir「.。旦-LAC,DB】_LAR,

DB1•A»=0,

又AC,AQu平面AC〃，ACr>AD,=A,

.•.£>4_L平面ACQ,故A正确;

uuuuuuuuuu

对于B,QAG=(1，1，。)，AB=(l，0，T)，OB,=(1,-1,1),

:.DBtLA.Q,DBt,

又AC，ABu平面AC],AGCAB=A，

.•.。q_L平面AG8,

又Q£)4_L平面ACDt,

平面AG8P平面ACQ,故B正确;

对于C,QO81_L平面AC〃，线=(1,-1,1)为平面ACR的一个法向量，

|UumuiaTi

uiui_lA.F',DB,i/q

QAF=(1,〃,〃)，.■.点尸到平面4CR的距离d=—HH^=7=在，为定值，故C

网G3

正确；

对于D,易知ACJ_平面

.­.AC=(1,1,0)是平面阴。Q的一个法向量，

设直线AE与平面88Q。所成的角为3,

U11U

又QAE=(1-Z九1),

UlUUUlU

.八\AC-AE\1

sin"=-tw_ttt»-=——,--------

\AC\\AE\后,2万-22+2

不是定值，故D错误.故选ABC.

12.答案：ABC

22

尸+>-1

解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.设4(不必),8(七,必).由靛瓦'得

y=x-l,

(a2+Z?2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,A=4a4-4(a2+i2)(a2-a2b2^=4a2b2(^a2+b2-l)>0,

2a2

%+%=-->rr,wULt

贝<f+,,因为E(l,0),所以F(—l,0),又FAFB=G,所以

a2-a2b2

(x,+1)(*2+1)+X%=(%+1)(*2+1)+(-^-1)(^2-1)=2玉W+2=0,所以名

22222

X「W="””=T，2a+h=ah,故A正确；所以二+马=1,即椭圆过定点

-a2+b2a2b2

工(1,扬，4(1,-&)，4(-1,0),7；(-1,-立)，故B正确；

|A8|=a•归一々|=&,J(%+W)一4占占=20(―^-)2+1,由2/+从="从得

2

从=/_>0,贝卜2>1,所以4=3,则有|A8|=2/.|(—4)、1,因为

CI—1UC141--

\a2-\

a2>\,所以|AB|的取值范围为(2夜,4),故C正确，D错误.故选ABC.

13.答案:—

510

解析：由aD,得eb=3(〃+l)+2〃=O,解得〃=-1.由a//b,得怨=斗，且

22—1=0，解得〃=1，2=—>所以义+〃=工.

5210

14.答案：—A/5<k<>/5

解析：圆C的方程可化为(x+l>+(y-2)2=4,圆心C(-1,2),半径厂=2,

由于弦满足|AB|=2百，且其中点为M,则|CM|=

因此M点在以C(-L2)为圆心，1为半径的圆上,

又点、M在直线2x+y+A=0上，

故直线2x+y+A=0与圆(x+l)?+(y-2)2=l有公共点，于是解得

A/5

-75<A:<x/5.

15.答案:2

解析：解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为々

的直线方程为*=菅+1,设4傅+1,小8修+1,%)将直线方程与抛物线方程

联得*，2=-4・

K

NAM3=90。，

.-.MAMB=0,即[5+2)(亳+2)+(y—1)(丫2-1)=0，

即公一4%+4=0,解得5=2.

解法二:设A(X],y),8(占,乃)，

#=4%,①

£=4X2,②

②-①得代-犬=4(七一%)，从而左=互q=」一.

々一士乂+%

设45的中点为,连接W」.•直线A8过抛物线)，、4x的焦点，

，以线段A8为直径的0”与准线/:x=T相切.

ZAMB=90°,

，点M在准线/:x=-l上，同时在0”上，

.•.准线/是O"的切线，切点为M,且A/WU,即MW与x轴平行,

.•.点的纵坐标为1,即"^=1=%+必=2,

解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点尸(-G0)且斜率为2的

(x+c)

直线的方程为y=2(x+c),由心"，解得:,所以B:冬.因为

4ahbe133aJ

y=~x]

5c

%=---

|FB|=3|FA|,所以丽=3而，即(竺，"]=3(x+c,y),得J,所以

I33a)pF

将jw,人〕代入双曲线方程马一耳=1,可得31-12吐=i,

[99a)199a)a2b2a2b2

结合离心率心得，卷,又所以双曲线的离心率为手.

(2)直线/的方程为丫=±》+1.

解析：⑴设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=，(a40,r>0).

圆心M到直线x+y+2夜=0的总巨离为

a2+4=r,

由题意得+所以a=0或.=4立(舍去)，所以产=4,

---夜7=~=r，

所以圆M的标准方程为X2+/=4.

(2)易知直线I的斜率存在.设直线I的方程为y=fcc+l,

由⑴知圆心M的坐标为(0,0),半径为2,则圆心M到直线/的距离为r二

VF+1

所以|AB|=2/-=2J爷q，设点P(0,-2)到直线/的距离为4,则

所以与叩乎，解得々=土1,

，2，左+17k+1L

则直线/的方程为y=±x+l.

18.答案：(1)见解析

⑵彳=遮

2

解析：(1)设四棱台ABO-AAGR的侧棱交于点P，

连接8。交AC于点0,

因为四边形A3CO是正方形，所以。为8。的中点，

因为A8//A4，A4=gA8,所以用为PB的中点，

连接0耳，所以OBJ/DR.

因为OR_L平面ABCD,所以04d.平面ABCD,

因为。与u平面AB。，所以平面ABC-L平面ABCD.

(2)由题可以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

JkZ

X

设筋=1,则力&=AS=2,AG(O,I),

所以50,0,0),A(l,0,0),D,(0,0,2),C(0,l,0),

所以而；=(-l,0"),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0).

设平面ABD、的法向量为n}=(%,y,4),

则卜=0,即户;名=0,得％=o,令玉=2,则4=1,

"「AB=01y=°

所以马=(2,0,1)为平面ABA的一个法向量.

设平面ACQ的法向量为%=(%2，》2,22)，

则心明=0,即尸+电=0,令人则z,=l,

“AC=0[-x2+y2=0

所以%=(2,2,1)为平面ACDt的一个法向量.

因为二面角B-AD,-C的大小为30°,

所以|cos(nl，4)|=•/刍.=g，

整理得2万+矛-1=0,得力」，

2

因为/le(0,l),所以；1=也.

2

19.答案：(1)£+丁=1

4

(2)是定值，g

解析：(1)由已知，A,8的坐标分别是4。,0),,由于ZVWC的面积

为3,

,g(2+A)a=3①，又由e=等=2=J1-(»,化简得q=2Z>②，

①②两式联立解得：b=l或6=-3(舍去)，."=2,b=l,

椭圆方程为1+丁=1;

4

(2)设直线P。的方程为、=履+2,P,0的坐标分别为P(XQJ,Q(x2,%)

则直线8P的方程为y=X土\-1,令y=0,得点M的横坐标％=一三,

为M+1

直线8。的方程为、=口>1,令y=0,得点N的横坐标4=上、，

W%+1

_x,x2_x{x2_x^x2

29

“'(y+l)(%+l)(3+3)(优+3)kx]x2+3^(x)+x2)+9

把直线丫="+2代入椭圆千+V=1得(1+4/*+16西+12=0,

由韦达定理得不々=n,,玉+々=一1%

1।1।^TK,

12

"Xm%=12k248^一­=12--48-2+9+36r=]，是7E值.

-------------1-9

1+4公1+4公

20.答案：⑴5-V=1

(2)M(2,0)

解析：（1）易知。的渐近线方程为for土ay=0,c=2,

所以F（2,0）到渐近线的距离公下3=="=b=l,

\/a2+b2c

所以a?=/-/=3,

所以C的方程为1->2=1.

（2）由题意易知直线4的斜率存在，设其方程为y=fcr+,〃，联立《与。的方程,

消去y,得（3公一l）d+6Amr+3/+3=0,

因为直线4与C的右支相切，所以13&2一1>°,

1［加<0

A=36公M-12（3-一1）（"+］）=］2（病+1-3炉）=0

得m2=3k2-1,则0.

设切点尸（2j,则「一瓷厂子，

,3d2-3k21

X=但+机=---+m=-m-------=---.

mmm

设。（4,%），因为。是直线/|与直线4的交点，所以超=5,%=?+小

假设X轴上存在定点M（%,0）,使得MP_LMQ,

UUUUUU

则MPMQ=(xt%，乂）・（々一%,必）=（占-兑）（±-Xo）+%%

=xlx2+yly2-x0(xl+x2)+xl

9k3k,<33八2

=~zzi。J―+%

2m2m(2m)

233k/\

=^o--^-1+—U)-2)

2m

i3〃

二3(x。一2)(2%)+1)+—(x-2)

2m0

=(七一2)1+；+•，

UUUUUU

故