初中数学 人教版 第二十四章 圆 章节小练

人教版数学九上圆章节小练

一、单选题

1.已知00的半径为5,一条弦的弦心距为3,则此弦的长为（）

A.6B.4C.8D.10

2.已知△ABC中，AB=AC,求证：ZB<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步

骤：

①所以NA+ZB+Z0180°,这与三角形内角和为180。矛盾②因此假设不成立.所以NB<

90°③假设在△ABC中，9B290°④由AB=AC,得NC=NB290。，即NB+NC2180。.这四个步

骤正确的顺序应是（）

A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②

3.牛顿曾说："反证法是数学家最精良的武器之一J用反证法证明命题"在△ABC中，若

ABWAC,则NBZC",首先应假设（）

A.ZB=NCB.AB=ACC.ZB>ZCD.ZB<ZC

4.用反证法证明"在△ABC中，若NA>NB,则a>b"时，应假设（）

A.a<bB.a<bC.a=bD.a>b

5.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2）.将弓形沿x轴正方向无滑动滚动,

当圆心经过的路径长为20217r时，圆心的横坐标是（）

A.20207TB.10107T+2020C.2021TTD.IOIITT+2020

A.30°B.35°C.45°D.60°

7.如图，AB为。。的直径，C,D为。。上的两点，若ZABD=54°，则4的

度数为（）

A.34°B.36°C.46°D.54°

1

8.用反证法证明忆>0〃时，应假设（）.

A.a<QB.a<0C.a*0D.a=0

9.用反证法证明某个命题的结论〃a>0〃时，第一步应假设（）

A.a<0B.QW0C.a>0D.a<0

10.正多边形的一个外角等于45°，这个多边形的边数是（）

A.6B.8C.10D.12

11.用反证法证明命题"在直角三角形中，必有一个锐角不小于45。”时，首先应假设这个直

角三角形中（）

A.两个锐角都大于45°B.两个锐角都小于45°

C.两个锐角都不大于45°D.两个锐角都等于45°

12.用反证法证明"直角三角形中至少有一个锐角不大于45。"，应先假设（）

A.直角三角形中两个锐角都大于45°B.直角三角形中两个锐角都不大于45°

C.直角三角形中有一个锐角大于45°D.直角三角形中有一个锐角不大于45°

13.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结,如下图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到

如图2所示的正五边形ABCDE,则NBAC的度数是（）

A.36°B,30°C,45°D.40°

14.在RtAABC中，Z8=90°,BC=15,AC=17,以AB为直径作半圆，则此半圆的面积

()

A.87rB.67rC.327rD.647r

15.如图，点A,B,C在。0上,AC=2ABfZABC=38°,连接。4交

BC于点M,则ZAMC的度数是（）

A.108°B.109°C.110°D.112°

2

二、填空题

16.如图，在0。中，弦AB=16,C为弦AB的中点，00的半径长为10,则线段0C的长

为____

17.如图，四边形ABCD内接于00,连接BD,AC=,NBDC=40。，则NADC的度数

是_______

18.已知扇形的弧长为4n,半径为48,则此扇形的圆心角为度

19.如图，00直径CD=20,AB是。0的弦，ABJ_CD,垂足为M,若。M：0C=3：5,则弦

AB的长为.

20.如图，点A、B、C在O0上，若ZA0C=140a，则ZABC的度数为.

三、综合题

21.如图,四边形ABCD是。O的内接四边形，ZBAC=60°,ZDAC=30°,AB=2,AD=6.

(1).求NDCB的度数.

(2).求CD的长.

3

22.AABC内接于弦CD_LAB于点E,AFJ_BC于点F交弦CD于点G.

(2).如图2,连接BD、OF,若BD=V2FG,求证：FO平分NAFC；

(3).如图3,在(2)的条件下，点H在线段CG上，连接FH,若NCFH=NABD,FH=4

V2,CG=10,求线段OG的长.

23.如图，已知AB.MD是。。的直径，弦CDJ.4B于E.

(1).若CD=16cm,BE=4cm,求。0的半径;

(2).若NMDC，求ZMDC的度数.

4

答案部分

一、单选题

1.C2.D3.A4.B5.D

6.A7.B8.B9.D10.B

11.B12.A13.A14.A15.B

二、填空题

16.617.14018.1519.1620.1100

三、综合题

21.(1)解：・二四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZBAD+ZDCB=180°,

ZDCB=180o-60°-30°=90°.

ZBAD=90",AB=2,AD=6,

由勾股定理得BD=VXfi2+AD2=V224-62=2V10

在RtABCD中，NBCD=90°,ZDBC=ZDAC=30°,BD=2A/W,

CD=IBD=V10.

22.(1)证明：连接AD,如图，

vAC=AC,

:・/B=ND，

•・•ABLCD,AFLBC,

5

・•・NB+/BAF=90°fZBAF4-NAGE=90,

・・・/B=ZAGE,

・•・ND=ZAGE,

・•.AD=AG,

•・,AE1GD,

・•.DE=EG,

(2)证明：连接BG,AOtCO,如图,

由(1)可得DE=EG,DGLAB,

・•・BG=BD,

vBD=V2FG,

・・・BG=y[2FG，

./「口口_GF_y/2

**-sin^_GBF—，

・・.NGBF=45°,

%•AF1BC,

・・.NBGF=45°,

・・・GF=BF,

•・•ABLCD,AFIBC,

・・・ZBAF+NABF=90\ZEAG+ZAGE=90°,/CFG=/AFB

・・.ZABF=ZAGE,

vNCGF=ZAGE，

・•・ZABF=NCGF,

CFG=△AFB9

/.CF=CF,

6

在△AOF和ACOF中,

AF=CF

[AO=CO,

FO=FO

••△AOF=△COF,

・・・ZAFO=ZCFO，

■.OF平分NAFC，

（3）解：如图，过F点作FL1CG于点L，

AD=AD,

・・・ZABD=ZACD

vNCFH=/ABD，

・・・ZCFH=ZACD,

・・・NFHG=NHFC+NFCH=ZACD+NFCH=ZACF，

・・・ZAFC=90°,

由（2）可得AF=CF,

・・・ZACF=/FHG=45°，

•・•FH=4V2,

・•.LF=LH=FH•sin450=4,

-AF1AC,FL1CD，

・•・NFGL+NGFL=90°,NFGL+CFL=90",

・・・ZFGL=NCFL,

7

・•・tan^FGL=tanFL，

即FL_CL

即GL-FL9

•・•CG=10,

设GL=%,贝！JCL=10—x,

410-x

:.—=——3——，

x4

解得x=2或％=8,

•・•CF=AF>FG,

・•・tan^FGC>1

x-2,

・•・tan^FGC=2

・・・CF=2GF,

在Rt△CFG中，

FG2+FC2=CG2,

即FG2+(2FG)2=102,

解得FG=2V5(负值舍去)，

.・.BF=FG=2V5，

・・・BC=BF+FC=6V5，

过点。分别作BCtAF的垂线，垂足为M,N，如图,

-1

・・・MC=MB=^BC=3^5，

•・•OF平分ZAFC,

・•・NOFN=ZOFM=45°:

・•・ON=NF,FM=OM,

vNF=OF-sin450=MF,

8

ON=NF=FM=OM,

四边形NFOM是正方形，

FM=FC-FM=V5，

:.NG=GF-NF=2遍-有=小，

OG=NO,

Rt△NOG中，

OG=-JNO2+NG2=y/2NG=V10，

••OG=A/10.

23.(1)解：设半径为r

弦COJ.ZB,CD=16

•••DE=1CD=8

BE=4

OE=OB-BE=r—4

在^DOE中，OE?+DE2=OD2

(r-4)24-82=r2

解得r=10

即。。的半径为10cm.

(2)解：连接BD

*/是O。的直径

/MBD=90°

・•・/MDC+/BDC+4=90

.・•弦CD1AB

・•.=

・•・/M=/BDC

/M=ZMDC

・•・ZMDC=NBDC=ZM

ZMDC=30"

9

解析部分

一、单选题

1.C

【解析】【解答】解：根据垂径定理，由己知得，这条弦的一半为725^9=4,

所以弦为8.

故答案为：C.

【分析】画出草图，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案。

2.D

【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①假设在△ABC中，ZB>90°,

②由AB=AC,得NB=NC290°,即NB+NC2180。，

③J.NA+ZB+Z0180°,这与三角形内角和为180。矛盾，

④因此假设不成立.

ZB<90°,

故答案为：D.

【分析】利用反证法的步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题

矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立;

即可得到这四个步骤正确的顺序的选项.

3.A

【解析】【解答】解：反证法证明命题"在△ABC中，若ABWAC,则NBXNC"时，

首先假设NB=NC,

故答案为：A.

【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答

案.

4.B

【解析】【解答】解：由题意得在△ABC中，若nA>zB,则a>b要假设a<b,

故答案为：B.

【分析】运用反证法即可求解.

5.D

【解析】【解答】如图，圆心在(0,2),可得r=2

10

111

0A=-x2nr=n,AB=2r=4,BC=-x2nr=n,I0必=-x2nr=TT=l^

441N40z3

二一个周期圆心经过的路径长为。A+，。强2+2。M+BC=4n,

C（4+2兀，0）,

故当圆心经过的路径长为20217T时，

202171+4兀=505...1

圆心的横坐标是505x（4+2兀）+兀=10117T+2020

故答案为：。.

【分析】根据题意，计算得到一个周期圆心经过的路径长，求出横坐标即可。

6.A

【解析】【解答】解：如图，

六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，

六边形花环为正六边形，

(6—2)y180°.

..ZABD=______2____=120o,

6

而NCBD=ZBAC=90°,

ZABC=120°-90°=30°.

故答案为：A.

【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断出六边形花环为正六边形，根据

多边形的内角和定理可计算出NABD=120°,再把NABD-90。得到NABC的度数。

7.B

【解析】【解答】解：连接A。，如图，

11

D

•••A8为。。的直径，

/ADB=90°,

[4=90°-/ABD=90°—54°=36°,

[4=4=36°.

故答案为：B.

【分析】连接AD,根据直径所对的圆周角是直角可以得到NADB=90。，再利用三角形的内

角和求出NA,最后利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可以得到NC=NA=36。。

8.B

【解析】【解答】假设a>0不成立，即乘0

故答案为：B

【分析】(1)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就

是一个间接证法.反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的.②命题的

结论是无限型的.③命题的结论是"至多"或"至少”型的.

(2)反证法的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.

解题关键：熟悉反证法的一般步骤。

9.D

【解析】【解答】解：用反证法证明某个命题的结论"a>0"时，第一步应假设aSO；

故答案为：D.

【分析】找出a>0的反面即可.

10.B

【解析】【解答】360°+45°=8

故正多边形的边数为8

故答案为：B.

【分析】由题意可知，用360。+正多边形的一个外角的度数，即可求出其边数.

11.B

12

【解析】【解答】解：：一个直角三角形有两个锐角，

•••用反证法证明命题"直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于45。"时，应该假设

每一个锐角都小于45。，即两个锐角都小于45。.

故答案为：B.

【分析】利用反正法证明时，首先应假设结论的反面成立，根据命题"直角三角形中的两个

锐角中至少有一个角不小于45"的否定是：两个锐角都小于45。，即可得到答案.

12.A

【解析】【解答】解：用反证法证明命题"在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45。"时，

应先假设两个锐角都大于450.

故答案为：A.

【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出

的结论是否成立即可。

13.A

【解析】【解答】因为正五边形ABCDE,

所以NABC=(5-2)x180°_108。，

因为三角形ABC是等腰三角形，

所以NBAC=180°108°,36°,

2一

故答案为：A.

【分析】根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据三角形内角和定理解

答即可。

14.A

【解析】【解答】解：VZ8=90°,BC=15,AC=17,

AB=>/AC2-BC2=V172-152=8,

•••以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为：

-TTX(-)2=-7TX82=87r.

2v278

故答案为：A

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据半圆的面积公式解答即可。

15.B

【解析】【解答】解：如解图，连接OB,OC,

13

c

B

,/ZABC=38°,

・•・NAOC=2NABC=76。.

•・,AC=2AB,

i

・•・ZAOB=^ZAOC=38".

•/OC=OB,

・•・ZOCB=ZOBC=|x(180。—76°—38°)=33°,

ZOMB=1800-ZAOB-ZOBC=180°—38°—33°=109°，

•二ZAMC=/OMB=109".

故答案为：B.

【分析】连接OB,OC,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得NAOC=76。，根据弧、

圆周角的关系可得NAOB=|zAOC=38°,然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理

可得NOCB二NOBC二33。，求出NOMB的度数，进而得到NAMC的度数.

二、填空题

16.6

【解析】【解答】解：••・AB=16,C为弦AB的中点，

AC=|AB=8,CO±AB,

ZACO=90°,

^=y/OA2-AC2=V102-82=6.

【分析】根据垂径定理的推论得出AC弓AB二8,COLAB,再根据勾股定理即可求出0C的长.

17.140

14

【解析】【解答】解：；_nr，

xAiCr—DC»

ZABC=ZBDC=40°,

四边形ABCD内接于OO,

ZABC+ZADC=180°,

・•・ZADC=180°-40°=140°.

【分析】根据圆周角定理得出NABC=ZBDC=40°,根据圆内接四边形的性质得出

ZABC+ZADC=180°,即可求出NADC的度数.

18.15

【解析】【解答】设扇形的圆心角为n。，则号禁=4n,解得，n=90,故圆心角为90。.

loU

【分析】利用扇形的弧长公式计算即可。

19.16

【解析】【解答】解：连接OA,

OO的直径CD=20,

则。0的半径为10,

即OA=OC=10,

又OM：OC=3：5,

OM=6,

AB±CD,垂足为M,

AM=BM,

在RtAAOM中，AM=7102-62=8，

AB=2AM=2x8=16,

故答案为：16.

【分析】连接。A,根据OO的直径CD=20,即OA=OC=10,根据。M：OC=3：5,求出OM=6,

根据垂径定理可知，得出AM=BM,根据勾股定理，即可求出AM的值，由此得出AB的长

度。

20.110°

【解析】【解答】如图，在圆上取一点D,连接AD、CD

15

•••ZAOC=140"

ZADC=NAOC+2=70°

四边形ABCD为圆。内接四边形

ZADC与NABC互补

ZABC=180o-70o=110")

故答案为：110°

【分析】在圆上取一点D,连接AD、CD,根据圆周角定理求出NADC的度数，再根据圆内

接四边形的性质即可得出结论。

三、综合题

21.(1)解：I，四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZBAD+ZDCB=180°,

ZDCB=180°-60°-30o=90°.

ZBAD=90°,AB=2,AD=6,

由勾股定理得BD=yJ^B2+AD2=V224-62=2V10

在RtABCD中，NBCD=90°,NDBC=ZDAC=30°,BD=2>/10,

•••CD=iBD=V10.

【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得出NBAD+NDCB=180。，得出

ZDCB=180°-ZBAC-ZDAC,即可得出答案；

(2)连接BD,根据勾股定理求出BD的长，根据直角三角形30。角所对的边是斜边的一

半得出CD§BD,即可求出CD的长.

16

22.(1)证明：连接AD,如图,

-AC=AC,

:・/B=ND，

vABLCD,AF1BC,

・•・/B+/BAF=90°,/BAF4-ZAGE=90,

・•・ZB=ZAGE,

・••ZD=ZAGE

・•・AD=AG,

•・,AE1GD,

.・.DE=EG，

(2)证明：连接BG,AO,CO,如图,

由（1）可得DE=EGfDGLAB，

・•・BG=BD,

・・・BD=V2FG,

・・・BG=V2FG,

17

・・・sinZGBF=盖=¥，

・・・NGBF=45°

vAF1BC,

・・・/BGF=45°

・・・GF=BF,

•・•ABLCD,AFIBC,

・••/BAF+/ABF=90°,ZEAG+ZAGE=90°,/CFG=/AFB,

・・・ZABF=ZAGE,

•・•ZCGF=ZAGE，

・・・ZABF=ZCGF,

CFG=△AFB9

・・・CF=CF,

在LAOF和ACOF中,

AF=CF

{AO=CO,

FO=FO

・•・△AOF=△COF，

・•・ZAFO=ZCFO，

OF平分/AFC,

(3)解：如图，过F点作FL1CG于点L,

18

・・•才力=旭，

・•・ZABD=ZACD,

•・•ZCFH=NABD,

・・・ZCFH=ZACD,

・•・ZFHG=NHFC+NFCH=ZACD+ZFCH=ZACF,

•・•ZAFC=90°,

由（2）可得AF=CF,

・・・ZACF=NFHG=45°,

・・•FH=4V2,

LF=LH=FH-sin45"=4,

-AF1AC,FL1CD,

・•・ZFGL+ZGFL=90°,NFGL+CFL=90",

・•・ZFGL=/CFL,

・•・tan/FGL=tanFL，

即FL_CL

GL-'FL9

・・•CG=10,

设GL=%,则CL=10—x,

4_10-x

Ax=~T~'

解得x=2或％=8,

•・•CF=AF>FG,

:.tan^FGC>1,

%-2,

:.tan^FGC=2,

・•・CF=2GF,

在Rt△CFG中，

FG2+FC2=CG2,

即FG2+（2FG）2=102,

解得FG=2V5（负值舍去），

19

BF=FG=2次，

BC=BF+FC=6V5，

过点0分别作BC.AF的垂线，垂足为M,N，如图,

•1•MC=MB=^BC=3A/5，

vOF平分/AFC,

NOFN=ZOFM=45°，

ON=NF,FM=OM,

vNF=OF-sin45°=MF，

ON=NF