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文档简介
第08讲6.3.5平面向量数量积的坐标表示课程标准学习目标①掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算。②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。1通过阅读课本,和前面平面向量坐标表示的基础上,掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算;2.截止当前,我们已经学习了两个数量积的公式,在学习过程中能根据实际情况,能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题;知识点01:平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中,设,分别是轴,轴上的单位向量.向量分别等价于,,根据向量数量积的运算,有:由于,为正交单位向量,故,,,,从而.即,其含义是:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.知识点02:两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量,(1).(2)【即学即练1】(2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知向量,若,则.【答案】【详解】因为,所以,故.故答案为:-5知识点03:向量模的坐标表示(1)向量模的坐标表示若向量,由于,所以.其含义是:向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.【即学即练2】(2023·全国·模拟预测)平面向量,若,则(
)A. B.2 C. D.【答案】C【详解】因为,所以,解得,所以,所以.故选:C.(2)两点间的距离公式已知原点,点,则,于是.其含义是:向量的模等于A,B两点之间的距离.(3)向量的单位向量的坐标表示设,表示方向上的单位向量知识点04:两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量,是与的夹角,则.【即学即练3】(2023上·上海黄浦·高三统考期中)已知向量,则向量与夹角的余弦值为.【答案】/0.5【详解】向量,所以向量与夹角的余弦值.故答案为:题型01平面向量数量积的坐标表示【典例1】(2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)在边长为2的正六边形中,(
)A.6 B.-6 C.3 D.-3【典例2】(2023上·上海松江·高三统考期末)已知向量,,则【变式1】(2024上·北京房山·高三统考开学考试)已知向量,满足,,则(
)A. B. C. D.【变式2】(2023上·天津·高三统考期中)在直角梯形中,,且,若,则.题型02向量垂直的坐标表示【典例1】(2023下·广东韶关·高二校考期中)已知向量,且,则实数(
)A. B. C. D.【典例2】(2023上·河南·高三校联考期中)已知向量,,,若,则.【变式1】(2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习)已知,若实数满足,则.【变式2】(2023·全国·模拟预测)已知向量,,,则实数的值为(
)A. B. C.3 D.4题型03利用向量的数量积求参数【典例1】(2023下·四川巴中·高一统考期中)已知向量,,,则实数的值为(
)A. B. C. D.【典例2】(2023下·广西河池·高二校联考阶段练习)已知平面向量,则实数.【变式1】(2023下·福建福州·高一校联考期中)已知向量,,若,则.【变式2】(2020上·江苏连云港·高三期中)在菱形中,,,,,若,则(
)A. B. C. D.题型04向量的投影【典例1】(2023·全国·模拟预测)向量,,那么向量在上的投影向量为(
)A. B.C. D.【典例2】(2023上·上海静安·高三校考阶段练习)已知向量,且,则向量在向量方向上的投影向量为.【变式1】(2023·上海杨浦·统考一模)已知向量,,则在方向上的投影为.【变式2】(2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习)已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为.题型05向量的模【典例1】(2023上·青海西宁·高三统考期中)已知平面向量,,且,则(
)A.2 B.3 C.4 D.5【典例2】(2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点,,且.设,则(
)A. B. C. D.2【变式1】(2023上·河北唐山·高三统考期中)已知向量,满足,,,则等于.【变式2】(2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习)已知向量,,若,则.题型06向量的夹角【典例1】(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)已知向量,若向量的夹角为钝角,则实数的范围是(
)A. B.C. D.【典例2】(2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习)已知向量,.(1)若向量与垂直,求k的值(2)若向量与的夹角为锐角,求k的取值范围【变式1】(2023下·河南焦作·高一统考期中)若向量的夹角为锐角,则实数的范围是(
)A. B.(,4)C. D.(,1)【变式2】(2023下·江西萍乡·高一统考期末)已知向量,.(1)若,试判断向量与是否垂直;(2)若向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围.题型07向量数量积的最值(范围)问题【典例1】(2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中)已知是边长为1的正的边上的动点,为的中点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【典例2】(2023上·辽宁本溪·高二校考期中)如图,在边长为4的正方形中,点是正方形外接圆上任意一点,则的取值范围是.
【变式1】(2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中)已知点是边长为2的正内一点,且,若,则的最小值为(
).A. B. C. D.【变式2】(2023·全国·模拟预测)如图,等腰梯形ABCD中,,,点E是线段BD上的动点,则的最小值为(
)
A. B. C. D.题型08向量模的最值(范围)问题【典例1】(2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)已知向量,,若非零向量满足,则取最小值时,的坐标为.【典例2】(2023下·河南周口·高一统考期末)在平面直角坐标系中,已知点,,(1)求的值;(2)是坐标平面上的点,,,求的最小值.【变式1】(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,若,,,则的最小值为.【变式2】(2023·全国·高三专题练习)设,向量,,且,则;当时,的取值范围为.题型09向量夹角最值(范围问题)【典例1】(2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习)若平面向量,,满足,,,,则,夹角的取值范围是(
)A. B. C. D.【典例2】(2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中)已知为△边上的中线,点满足且,则的最小值为.【变式1】(2021下·江苏·高一期中)设为单位向量,满足,设的夹角为,则的可能取值为(
)A. B. C. D.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1.(2023上·海南海口·高二校考阶段练习)已知向量,,若,则(
)A. B.2 C. D.2.(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知向量满足,且,则(
)A. B. C. D.3.(2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中)已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量是(
)A. B.C. D.4.(2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知向量,,若,则()A. B. C. D.5.(2023·全国·模拟预测)已知平面向量,满足,且,则(
)A.4 B.5 C. D.26.(2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习)已知向量,,,若,(
)A. B. C. D.7.(2023·四川内江·统考一模)已知向量,,其中.若,则当恒成立时实数的取值范围是(
)A.或 B.或C. D.8.(2023上·安徽·高二校联考期中)如图,在长方形中,,点P满足,其中,则的取值范围是(
)A.B.C.D.二、多选题9.(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中)已知平面向量,,,则下列说法正确的是(
)A.若,则或B.若,则C.当时,向量在向量方向上的投影向量为D.若或,则与夹角为钝角10.(2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试)若向量,,,则(
)A. B. C. D.三、填空题11.(2023·贵州黔东南·统考一模)向量在向量上的投影向量为,则.12.(2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习)已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示,且每个小菱形的最小内角为60°,图中的A,B,C,D四点均为菱形的顶点,则.四、解答题13.(2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习)已知平面直角坐标系中,向量.(1)若,且,求向量的坐标;(2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.14.(2023上·辽宁沈阳·高二学业考试)给定三个平面向量.(1)求的大小;(2)若向量与向量共线,求实数的值.B能力提升1.(2023上·云南·高三校联考阶段练习)设,向量在向量上的投影向量为,则的最小值为(
)A. B. C. D.2.(2023下·河北石家庄·高一校考期中)等腰梯形ABCD中,AB平行于CD,,,,P为腰AD所在直线上任意一点,则的最小值是(
)A. B.1 C. D.3.(2023上·江苏南京·高二统考期中)已知向量,,,则向量最大夹角的余弦值为.C综合素养4.(2023下·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1,其平面图是
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