人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（原卷版）

第08讲6.3.5平面向量数量积的坐标表示课程标准学习目标①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题；知识点01：平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则.【答案】【详解】因为，所以，故.故答案为：-5知识点03：向量模的坐标表示（1）向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】因为，所以，解得，所以，所以．故选：C．（2）两点间的距离公式已知原点，点，则，于是．其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．（3）向量的单位向量的坐标表示设，表示方向上的单位向量知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为．【答案】/0.5【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值.故答案为：题型01平面向量数量积的坐标表示【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（

）A．6 B．-6 C．3 D．-3【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则.题型02向量垂直的坐标表示【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则．【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则．【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．4题型03利用向量的数量积求参数【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数．【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则．【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（

）A． B． C． D．题型04向量的投影【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为.【变式2】（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.题型05向量的模【典例1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（

）A． B． C． D．2【变式1】（2023上·河北唐山·高三统考期中）已知向量，满足，，，则等于．【变式2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知向量，，若，则.题型06向量的夹角【典例1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知向量，．(1)若向量与垂直，求k的值(2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围【变式1】（2023下·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)【变式2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）已知向量，．(1)若，试判断向量与是否垂直；(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．题型07向量数量积的最值（范围）问题【典例1】（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·辽宁本溪·高二校考期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是.

【变式1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（

）.A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·模拟预测）如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．题型08向量模的最值（范围）问题【典例1】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为.【典例2】（2023下·河南周口·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知点,，(1)求的值；(2)是坐标平面上的点，，，求的最小值.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若，，，则的最小值为.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，向量，，且，则；当时，的取值范围为．题型09向量夹角最值（范围问题）【典例1】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2020上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为.【变式1】（2021下·江苏·高一期中）设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023上·海南海口·高二校考阶段练习）已知向量，，若，则（

）A． B．2 C． D．2．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．4．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则（

）A．4 B．5 C． D．26．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．8．（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（

）A．B．C．D．二、多选题9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若，则C．当时，向量在向量方向上的投影向量为D．若或，则与夹角为钝角10．（2023上·广东佛山·高二佛山市第四中学校考开学考试）若向量，，，则（

）A． B． C． D．三、填空题11．（2023·贵州黔东南·统考一模）向量在向量上的投影向量为，则.12．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则.四、解答题13．（2023上·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，向量.(1)若，且，求向量的坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.14．（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）给定三个平面向量．(1)求的大小；(2)若向量与向量共线，求实数的值．B能力提升1．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（

）A． B．1 C． D．3．（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为．C综合素养4．（2023下·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是