广西柳州市鱼峰区五里亭中学2025届数学九上期末考试试题含解析

广西柳州市鱼峰区五里亭中学2025届数学九上期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限2．反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动(如图)，点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是()A． B．C． D．4．二次函数图像的顶点坐标是（）A． B． C． D．5．在中，，，则（）A．60° B．90° C．120° D．135°6．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为()A．-2 B．2 C．-1 D．17．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝()A． B． C． D．8．如图，AB为的直径，点C在上，若AB=4，，则O到AC的距离为()A．1 B．2 C． D．9．下列计算正确的是（）A．2a+5b＝10ab B．（﹣ab）2＝a2b C．2a6÷a3＝2a3 D．a2•a4＝a810．如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．12．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．13．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有_________个14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm．15．如图，一下水管横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面上升了，则水面宽为__________．16．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k，则既能使函数y＝的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根的概率为_____．17．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣7的值等于_____．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a_____1，b_____1，c_____1．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧分别交OA、OB于点M、N．(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；(2)点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．(3)Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为．20．（6分）如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底交于点，．（1）求证：是的切线；（2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求的半径．21．（6分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．22．（8分）每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价(元/个)与时间第天(为整数)的数量关系如图所示，日销量(个)与时间第天(为整数)的函数关系式为:直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；设日销售额为(元)，求(元)关于(天)的函数解析式;在这天中，哪一天销售额(元)达到最大，最大销售额是多少元；由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根.（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．24．（8分）已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.25．（10分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．26．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，

∴m＞0，n＜0，

则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．

故选：B．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．2、C【分析】先根据反比例函数图象确定k的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可【详解】A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；D、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；故选Ｃ．【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．3、B【分析】设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1(，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)”，依此规律即可得出结论．【详解】解：设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，观察，发现规律：P1(，)，P2(1，0)，P3(，﹣)，P4(2，0)，P5(，)，…，∴P4n+1(，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)．∵2019＝4×504+3，∴P2019为(，﹣)，故答案为B．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律并根据规律找出点的坐标．4、D【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【详解】∵，∴二次函数的顶点坐标为．

故选：D．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．5、C【分析】首先根据特殊角的三角函数值求出∠C，∠A的度数，然后根据三角形的内角和公式求出∠B的大小．【详解】∵，，∴∠C=30°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及三角形的内角和公式．6、D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，解得b=1．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.7、B【解析】设AB=x，求出BC=x，CD=AC=x，求出BD为（x+x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．【详解】解：设AB=x，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC=x，

由勾股定理得：AC==x，∴AC=CD=x∴BD=BC+CD=x+x，

∴tan22.5°=tanD==故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x能求出BD=x+x是解此题的关键．8、C【分析】连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D，可得OD//BC，利用平行线段成比例可知和AD=，利用勾股定理，可得，列出方程，即可求出OD的长.【详解】解：连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D，∴∠ADO=90°，∵AB为的直径，AB=4，，∴∠ACB=90°，OA=OC=，∴OD//BC，∴，∴AD=，在中，，∴，解得OD=；故选C.【点睛】本题主要考查了平行线段成比例，勾股定理，掌握平行线段成比例，勾股定理是解题的关键.9、C【分析】分别对选项的式子进行运算得到：2a+5b不能合并同类项，（﹣ab）2＝a2b2，a2•a4＝a6即可求解．【详解】解：2a+5b不能合并同类项，故A不正确；（﹣ab）2＝a2b2，故B不正确；2a6÷a3＝2a3，正确a2•a4＝a6，故D不正确；故选：C．【点睛】本题考查了幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．10、C【分析】通过三角形外角的性质得出∠BEF＝∠1+∠F，再利用平行线的性质∠2＝∠BEF即可.【详解】∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P（小于5）==．故答案为．12、1：1【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：1，故答案为：1：1．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．13、14【分析】先由频率估计出摸到黄球的概率，然后利用概率公式求解即可.【详解】因摸到黄球的频率稳定在0.35左右则摸到黄球的概率为0.35设布袋中黄球的个数为x个由概率公式得解得故答案为：14.【点睛】本题考查了频率估计概率、概率公式，根据频率估计出事件概率是解题关键.14、1【分析】（1）根据，求出扇形弧长，即圆锥底面周长；（2）根据，即，求圆锥底面半径．【详解】该圆锥的底面半径=故答案为：1．【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．15、1【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【详解】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC∵AB=60cm，OE⊥AB，且直径为100cm，∴OA=50cm，AE=∴OE=，∵水管水面上升了10cm，∴OF=40-10=030cm，∴CF=，∴CD=2CF=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．16、．【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．【详解】解：这6个数中能使函数y＝的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，∴k2﹣4≥0，解得k≤﹣2或k≥2，能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，∴此概率为，故答案为：．17、﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的概念可得关于m的方程，变形后整体代入所求式子即得答案.【详解】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，∴2m2﹣6m﹣7＝2（m2﹣3m）﹣7＝2×1﹣7＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念和代数式求值，熟练掌握整体代入的数学思想和一元二次方程的解的概念是解题关键.18、＜＜＞【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜1；因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x＝＜1，又因为a＜1，∴b＜1；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞1．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,属于简单题,熟悉二次函数的图象是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）AT＝8；(3)170°或者10°．【分析】（1）欲证明AP=BP′，只要证明△AOP≌△BOP′即可；

（2）在Rt△ATO中，利用勾股定理计算即可；（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．【详解】解：（1）证明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP即∠AOP＝∠BOP′在△AOP与△BOP′中，∴△AOP≌△BOP′（SAS），∴AP＝BP′；（2）∵AT与弧相切，连结OT，∴OT⊥AT在Rt△AOT中，根据勾股定理，AT＝∵OA＝10，OT＝6，∴AT＝8；（3）解：如图，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；

理由是：当Q点在优弧MN左侧上，∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

当Q点在优弧MN右侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，

综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据数形结合进行分类讨论.20、（1）证明见解析；（2）的半径为2.1．【分析】（1）连接，，过作于点，根据三线合一可得，然后根据角平分线的性质可得，然后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接，过作于点，根据平行线的判定证出，证出，根据角平分线的性质可得，然后利用HL证出，从而得出，设的半径为，根据勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】（1）证明：如图，连接，，过作于点．∵，是底边的中点，∴，∵是的切线，∴，∴．∴是的切线；（2）解：如图2，连接，过作于点．∵点是的中点，∴，∴∴，∴在和中，∴∴设的半径为由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2即，解得：．∴的半径为．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．21、1m【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=15°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【详解】解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=15°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=15°，∴AB=BE，设AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，，解得：x=1．经检验：x=1是原方程的解．答：围墙AB的高度是1m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．22、（1）y＝，（2）w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是1元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．【分析】（1）用待定系数法可求与的函数关系式；（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到(元)关于(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．【详解】解：（1）当时，设直线的表达式为将代入到表达式中得解得∴当时，直线的表达式为∴y＝，（2）由已知得：w＝py．当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880，当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800，∵x是整数，200＞0，∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝1，当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000，∵－600＜0，∴w随x的增大而减小，又∵x＝9时，w＝－600×9＋9000＝1．∴当9＜x≤15时，W的最大值小于1综合得：w＝，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是1元．（3）当时，当时，y有最小值，最小值为∴不会有亏损当时，当时，y有最小值，最小值为∴不会有亏损当时，解得∵x为正整数∴∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态．【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．23、（1）线段BC的长度为4；（2）AC⊥AB，理由见解析；（3）点D的坐标为（﹣2，1）【解析】(1))解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；

(2)由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；

(3)容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；【详解】解:（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性