重市庆南开中学2025届九上数学期末考试试题含解析

重市庆南开中学2025届九上数学期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．当取何值时，反比例函数的图象的一个分支上满足随的增大而增大()A． B． C． D．2．方程的两根分别为（）A．＝－1，＝2 B．＝1，＝2 C．＝―l，＝－2 D．＝1，＝－23．下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（）A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根4．如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BDC的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°5．已知x=-1是关于x的方程2ax2+x－a2=0的一个根，则a的值是（）A．1 B．－1 C．0 D．无法确定6．如图，抛物线和直线，当时，的取值范围是（）A． B．或 C．或 D．7．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，下列结论:①;②;③;④若是该抛物线上的点，则;其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）10．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米11．下列事件中，必然事件是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．三角形内角和为360°12．下列事件是必然事件的（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B．打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C．射击运动员射击一次，命中十环D．若a是实数，则|a|≥0二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．14．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_____．15．某扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，则该扇形的半径为_____cm16．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有．（填序号）17．抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴的两交点间的距离为___________．18．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．20．（8分）已知：关于x的方程（1）求证：m取任何值时，方程总有实根．（2）若二次函数的图像关于y轴对称.a、求二次函数的解析式b、已知一次函数，证明：在实数范围内，对于同一x值，这两个函数所对应的函数值均成立.(3)在（2）的条件下，若二次函数的象经过（-5,0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，求二次函数的解析式.21．（8分）如图，二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．（1）求二次函数的解析式和点坐标．（2）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的的取值范围．22．（10分）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点（1）求抛物线的解析式．（2）点是抛物线上的一个动点（不与点点重合），过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点坐标；（3）如图所示，设抛物线与轴交于点，在抛物线的第一象限内，是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．23．（10分）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．24．（10分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：EB=DC；（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．25．（12分）某学校为了了解名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图.已知成绩在这一组的频率为.请回答下列问题：（1）在这个调查中，样本容量是______________；平均成绩是_________________；（2）请补全成绩在这一组的频数分布直方图；（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了分，求该校学生体育成绩的年平均增长率.26．如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合.（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，（2）连接，证明：为等边三角形.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】根据反比例函数的性质可得：∵的一个分支上y随x的增大而增大,∴a-3<0,

∴a<3.故选B.2、D【解析】（x－1）（x＋1）=0，可化为：x－1=0或x＋1=0，解得：x1=1，x1=－1．故选D3、B【分析】首先用表示出根的判别式，结合非负数的性质即可作出判断．【详解】由题可知二次项系数为，一次项系数为，常数项为，，是不为的常数，，方程有两个不相等的实数根，故选：B.【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根．4、A【分析】根据图形旋转的性质得出△ABC≌△EBD，可得出BC=BD，根据图形旋转的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．【详解】∵△EBD由△ABC旋转而成，∴△ABC≌△EBD，∴BC=BD，∠EBD=∠ABC=30°，∴∠BDC=∠BCD，∠DBC=180﹣30°=150°，∴∠BDC=(180°﹣150°)=15°；故选：A．【点睛】本题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．5、A【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入2ax2+x－a2=0得到关于a的方程，然后解此方程即可．【详解】解：∵x=-1是关于x的方程2ax2+x－a2=0的一个根，∴2a-1-a2=0∴1-2a+a2=0，∴a1=a2=1，∴a的值为1故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型6、B【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．【详解】解：联立，解得，，两函数图象交点坐标为，，由图可知，时的取值范围是或．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．7、B【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，则有2＝2，3＞2，∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．8、C【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-1时y＞0可判断③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④．【详解】∵抛物线的对称轴为直线，

∴，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，

∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；

∵由②、①知，时y＞0，且，

即＞0，所以③正确；∵点与点关于对称轴直线对称，∴，∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，

∴当，函数值随的增大而减少，

∵，∴，∴，故④错误；综上：①②③正确，共3个，

故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由决定．9、D【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解答：解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．10、D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.11、C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；三角形内角和为360°是不可能事件，故选C.【点睛】本题考查随机事件.12、D．【解析】试题解析：A、是随机事件，不符合题意；B、是随机事件，不符合题意；==C、是随机事件，不符合题意；D、是必然事件，符合题意．故选D．考点：随机事件．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故，代入求解即可.【详解】根据题意可得：解得：m=1故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键.14、【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝2，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝1，∴DQ＝，∴DQ的最小值是，故答案为．【点睛】本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解．15、1【分析】根据扇形的面积公式S＝，可得出R的值．【详解】解：∵扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，扇形的面积公式S＝，可得R＝故答案为1．【点睛】本题考查了扇形面积的求法，掌握扇形面积公式是解答本题的关键.16、①③④【解析】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8﹣3）﹣3=2，由勾股定理得，EF==2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个，故答案为①③④．考点：翻折变换的性质、菱形的判定与性质、勾股定理17、1【分析】根据抛物线y=x2-4x-5,可以求得抛物线y=x2-4x-5与x轴的交点坐标,即可求得抛物线y=x2-4x-5与x轴的两交点间的距离．【详解】解:∵y=x2-4x-5=（x-5）（x+1）,∴当y=0时,x1=5,x2=-1,∴抛物线y=x2-4x-5与x轴的两交点的坐标为（5,0）,（-1,0）,∴抛物线y=x2-4x-5与x轴的两交点间的距离为:5-（-1）=5+1=1,故答案为:1．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答。18、或【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°∴∠ABC=∠BAC==67.5°∵∠BDC=90°，∠C=45°∴△BCD为等腰直角三角形，∴CD=BC=，∠DBC=45°∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°∴∠EBF=45°∴∠F=90°-45°=45°∴△ADF为等腰直角三角形∴AF=②当∠EBF=90°时，如图所示，由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，∵∠BAD=∠CAB∴△ABD∽△ACB∴由情况①中的AD=，BD=，可得AB=∴AD=∴CD=∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°∴∠F=22.5°=∠DBC∴EF∥BC∴△ADF∽△CDB∴∴∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°∴∠F不可能为直角综上所述，AF的长为或.故答案为：或.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=∴S△OCD==8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．20、（1）证明见解析；（2）a、y1=x2-1；b、证明见解析；（3）.【解析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：①m=0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；②m≠0，此时方程为二元一次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；②此题可用作差法求解，令y1-y2，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．（3）根据②的结论，易知y1、y2的交点为（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a表示出y3的函数解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y=y3-y2，可得到y的表达式，由于y3≥y2，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．【详解】解：（1）分两种情况：当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1；∴m=0时，原方程有实数根；当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0，∴方程有两个实数根；综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根；（2）①∵关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称；∴3（m-1）=0，即m=1；∴抛物线的解析式为：y1=x2-1；②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）；（3）由②知，当x=1时，y1=y2=0，即y1、y2的图象都经过（1，0）；∵对应x的同一个值，y1≥y3≥y2成立，∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1，0），又∵y3=ax2+bx+c经过（-5，0），∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a；设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）；对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立，∴y3-y2≥0，∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0；根据y1、y2的图象知：a＞0，∴y最小=≥0∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0，∴（3a-1）2≤0，而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a=，∴抛物线的解析式为：【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大,21、（1）y=﹣x2﹣2x+3，（﹣2，3）；（2）﹣2＜x＜1【分析】（1）根据C、D关于对称轴x=-1对称，C（0，3），可以求出点D坐标．设二次函数解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得到求出a即可．

（2）一次函数值小于二次函数值，在图象上一次函数的图象在二次函数的图象下面即可写出x的范围．【详解】解：（1）设该抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），把C（0，3）代入，得：3=a（0+3）（0﹣1），解，得a=﹣1，所以该抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3，即y=﹣x2﹣2x+3；∵抛物线的对称轴是x=﹣1，而，C、D关于直线x=﹣1对称，∴D（﹣2，3）；（2）根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是：﹣2＜x＜1【点睛】本题考查二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称性，以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系．22、（1）；（2）点坐标为（2，9）或（6，-7）；（3）存在点Q（）使得四边形OFQC的面积最大，见解析.【分析】（1）先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；（3）作轴于点，设，，知，，，根据四边形的面积建立关于的函数，再利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）点在直线上，，，把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为；（2）设，则，，则，，，，当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，；当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，；综上可知点坐标为或；（3）存在这样的点，使得四边形的面积最大．如图，过点作轴于点，设，，则，，，四边形的面积，当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点的坐标为，．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．23、（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增