新高考高中数学核心知识点全透视专题17.4离散型随机变量分布列与数字特征(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题17.4离散型随机变量分布列与数字特征（专题训练卷）一、单选题1．（2023·广东高二期末）若随机变量X的分布列为X123P0.2a则a的值为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2023·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））设随机变量X的分布列如下表所示，则的值是（）X1234PA．1 B． C． D．3．（2023·全国·高二单元测试）若离散型随机变量的分布列为X01P4a－13a2＋a则a等于（）．A． B． C． D．14．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3若随机变量，则等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.75．（2023·全国·高二单元测试）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝96．（2023·河南·辉县市第一高级中学高二月考（理））下图为随机变量的分布列，若，则实数的取值范围是（）-2-10123A． B． C． D．7．（2023·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（）01A． B． C．或 D．以上都不对8.（2023·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列为：012其中，下列说法不正确的是()A． B．C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值二、多选题9．（2023·全国·高二课时练习）若随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．10．（2023·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B．，C．， D．，11．（2023·全国·高二单元测试）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（）012PA． B．的值最大C．随着p的增大而增大 D．当时，12．(2023·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．三、填空题13．（2023·山东高三专题练习）已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是______.－10114.(2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______15．（2023·全国·高二单元测试）若X的分布列为X01P0.5a则___________.16．（2023·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．四、解答题17．（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．18.（2023·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3求：（1）的分布列；（2）求的值.19.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.(1)求小王这8天“健步走”步数的平均数;(2)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为,求的分布列.20．（2023·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.21．（2023·全国·高二课时练习）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．22．（2023·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．专题17.4离散型随机变量分布列与数字特征（专题训练卷）一、单选题1．（2023·广东高二期末）若随机变量X的分布列为X123P0.2a则a的值为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4答案：B【解析】由题意可得，，解得.故选：B.2．（2023·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））设随机变量X的分布列如下表所示，则的值是（）X1234PA．1 B． C． D．答案：D分析：根据分布列的性质列式，计算即可.【详解】由分布列的性质知，.故选：D3．（2023·全国·高二单元测试）若离散型随机变量的分布列为X01P4a－13a2＋a则a等于（）．A． B． C． D．1答案：B分析：根据随机变量及其分布的意义即可求解【详解】由题知：，解得或（舍去）.故选：B4．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3若随机变量，则等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7答案：A分析：利用或可求出结果.【详解】因为，所以或.故选：A5．（2023·全国·高二单元测试）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9答案：C分析：根据随机变量及其分布的意义即可求解.【详解】因为，所以，所以.故选：C6．（2023·河南·辉县市第一高级中学高二月考（理））下图为随机变量的分布列，若，则实数的取值范围是（）-2-10123A． B． C． D．答案：B分析：根据分布列可得的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】因为，由分布列可得的解为：，且，故，故选：B.7．（2023·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（）01A． B． C．或 D．以上都不对答案：B【解析】由题可知：故选：B8.（2023·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列为：012其中，下列说法不正确的是()A． B．C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值答案：C【解析】根据分布列的性质得，即，故正确；根据期望公式得，故正确；根据方差公式得，因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；故选：C二、多选题9．（2023·全国·高二课时练习）若随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．答案：BD分析：根据随机变量期望和方程的性质计算可得.【详解】随机变量满足，，则，，据此可得，.故选：BD.10．（2023·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B．，C．， D．，答案：CD【解析】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD11．（2023·全国·高二单元测试）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（）012PA． B．的值最大C．随着p的增大而增大 D．当时，答案：AD分析：根据的范围可判断选项A正确；给取特殊值验证选项B错误；求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C；根据方差公式求出，从而判断选项D.【详解】，所以A正确；令，则，，所以B错误；由题意得，因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误；当时，，，所以D正确.故选：AD.12．(2023·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．答案：ABC分析：分别就，2，3计算概率得出数学期望，憨厚逐一分析各选项即可得出结论．【详解】解：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，当时，则，，，∴，，故A正确，C正确；当时，，，，∴，，故B正确；当时，，，，∴，∴，故D错误.故选：ABC.三、填空题13．（2023·山东高三专题练习）已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是______.－101答案：【解析】由已知得，∴，，．故答案为：．14.(2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______答案：分析：利用分布列的性质求参数a，由题设知F(x)＝P(X≤1)，结合分布列可求概率值.【详解】由分布列的性质，得a＋＋＝1，∴a＝，而x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．故答案为：15．（2023·全国·高二单元测试）若X的分布列为X01P0.5a则___________.答案：0.25分析：先求出，再利用方差公式求解即可，或利用两点分布的方差公式求解【详解】由题意知，则，所以，.一题多解：由题意，知X服从参数为0.5的两点分布，所以：.故答案为：0.2516．（2023·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．答案：11分析：根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案为：1；1四、解答题17．（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．答案：答案见解析．分析：的值分别为，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，或，，分布列如下：0118.（2023·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3求：（1）的分布列；（2）求的值.答案：（1）见解析；（2）0.7【解析】由分布列的性质知：，解得（1）由题意可知，，，所以的分布列为：135790.20.10.10.30.3（2）19.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.(1)求小王这8天“健步走”步数的平均数;(2)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为,求的分布列.答案：（1）17.25千步（2）见解析【解析】(1)小王这8天“健步走”步数的平均数为(千步).(2)的各种取值可能为800,840,880,920.，则的分布列为：80084088092020．（2023·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.答案：(1)；(2)的分布列见解析，期望为，方差为.分析：(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)结合题意写出可能的取值，分别求出相应的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【详解】(1)从袋中任取3个球，共有种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有种，故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为；(2)由题意可知，可能取值为，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012从而期望，方差.21．（2023·全国·高二课时练习）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．答案：采用方案2，利用见详解.分析：分别求出三种分案的平均损失即可求解.【详解】用分别表示方案1,2