高考数学一轮复习考点探究与题型突破第18讲导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)

第18讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．考点1利用导数解决函数的极值问题[名师点睛]1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．[典例]1．(2023·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（

）A．在上是增函数 B．当时，取得最小值C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数2．(2023·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（

）A．1 B． C． D．－13．(2023·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______.4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（

）A． B．没有极大值C．时，有极大值 D．时，有极小值3．(2023·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．44．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]5．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（多选）（2023·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值7．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（

）A．在时取极小值 B．在时取极大值C．是极小值点 D．是极小值点8．(2023·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．9．(2023·山东烟台·高三期末）若是函数的极值点，则的极大值为______．10．(2023·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．11．(2023·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.12．(2023·湖南常德·一模）设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是___________.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数在区间上的极值.14．(2023·北京房山·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.考点2利用导数求函数的最值[名师点睛]求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[典例]1．(2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．02．(2023·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．63．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论函数的极值；(2)若函数在上的最小值是，求实数的值.[举一反三]1．(2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．2．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．3．(2023·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4（多选）(2023·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（

）A．是函数的极值点B．是函数的最小值点C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零5．(2023·浙江·高三专题练习）设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是___________；若函数有4个零点，则的值是___________.6．(2023·江苏·南京市第一中学三模）已知函数，则的最小值为____________．7．(2023·湖北·二模）已知函数，若，则的最大值为_________．8．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）设函数已知，且，若的最小值为，则的值为__________．9．(2023·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.10．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）求函数在区间上的最小值.第18讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．考点1利用导数解决函数的极值问题[名师点睛]1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．[典例]1．(2023·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（

）A．在上是增函数 B．当时，取得最小值C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数答案：D【解析】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.2．(2023·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（

）A．1 B． C． D．－1答案：A【解析】由由题意得,故，则，所以，令，则，，当或时，；当时，，故函数在时取得极大值为，故选：A.3．(2023·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______.答案：e【解析】，若，则当时，，单调递增，此时不存在极值，不符合题意，所以，易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以存在唯一的，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极小值，因为，所以，即，设，因为，所以在上单调递减，又，所以，从而.故答案为：4．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数．【解】(1)当时，，，令，解得；令，解得或；故在单调递减，在单调递增，在单调递减，故的极小值为，极大值为．(2)由题可知：，则．要讨论的极值点的个数，令，先讨论的零点个数，令，则，故，令则.故在上单调递增，又，故时，，此时，则在上单调递减，又，，①当时，无实数解，在没有实根，故当时，，当时，故在上单调递减，在上单调递增，只有一个极值点；②当时，且时，此时的实数解为2，且在单调递增，无极值点；③当且时，与有一个交点，有一个实数解，且，此时有两个不等的实根．若在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，此时有2个极值点；若，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，在上有2个极值点．综上：当时，在上只有个极值点；当时，在上没有极值点；当且时，在上有2个极值点．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）A．个 B．个 C．个 D．个答案：A【解析】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（

）A． B．没有极大值C．时，有极大值 D．时，有极小值答案：D【解析】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．由图象可知：.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.故选：D．3．(2023·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4答案：B【解析】解：，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]答案：A【解析】由已知条件得，∵函数在区间上无极值，∴函数在区间上单调，∴或在区间上恒成立，当时，，∵，∴，在此范围内不成立；当时，，∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.5．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为在有2个极值点，也即在区间取得一次最大值，一次最小值；又，则当，，要使得满足题意，只需，解得.故选：C.6．（多选）（2023·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值答案：ABC【解析】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f(x)单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC．7．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（

）A．在时取极小值 B．在时取极大值C．是极小值点 D．是极小值点答案：AC【解析】解：由导函数的图像可得，当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以在时取极小值，所以A正确，当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以是极小值点，所以C正确，而和，左右两边的导数值同号，所以和不是函数的极值点，所以BD错误，故选：AC8．(2023·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．答案：形如即可（答案不唯一）【解析】解：因为定义域为，且，令即，解得，令即，解得所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极大值，所以，，故答案为：，（答案不唯一）9．(2023·山东烟台·高三期末）若是函数的极值点，则的极大值为______．答案：【解析】由，得，因为是函数的极值点，所以，即，解得，所以，，令，则，得，，和变化情况如下表：100递减极小值递增极大值递减所以当时，函数取得极大值，故答案为：10．(2023·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．答案：【解析】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：11．(2023·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.答案：【解析】函数，由于，所以，根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点，所以且，所以．故的取值范围是.故答案为：.12．(2023·湖南常德·一模）设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】解：，，因为函数的两个极值点为，所以为函数的两零点，恒成立，，，因为，所以，则或，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数在区间上的极值.【解】当时,，，的两个零点为0，；当，即时，在上恒成立，所以无极值；当，即时，在上，在上，所以在上有极小值为，无极大值；当，即时，在上恒成立，所以无极值；综上：当时，在无极值；当时，在上有极小值为,无极大值.14．(2023·北京房山·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.【解析】(1)当时，，则，所以，，所以曲线在处的切线方程为；(2)，令，，则，解，得，与的变化情况如下：x（0，1）1（1，e）－0+↘极小值↗所以函数在区间（0，e]上的最小值为，方法1：①当时，.所以恒成立，即恒成立，所以函数在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，②当时，因为，，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘极小值↗所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求，③当时，因为所以函数在区间（1，e）上无极值.取，则所以存在，使得易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点.所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求综上，实数a的取值范围是.方法2：“在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当，解得.证明如下：当时，因为，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘极小值↗所以函数在区间（1，e）上存在极小值.所以实数a的取值范围是.考点2利用导数求函数的最值[名师点睛]求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[典例]1．(2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0答案：B【解析】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B2．(2023·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论函数的极值；(2)若函数在上的最小值是，求实数的值.【解】(1)解：由题意，函数的定义域为，可得，当时，可得，单调递增，此时函数的无极值；当时，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值.(2)由（1）知，当时，单调递增，可得，即（舍去）；当时，函数在上单调递减，上单调递增，若时，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去）若时，即时，函数在上单调递减，可得，解得（舍去），若时，即时，在上单调递减，在上单调递增，可得，即，解得，综上可得，实数的值为.[举一反三]1．(2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．答案：A【解析】在区间上单调递增，由题意只需，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是.故选：A2．(2023·江苏泰州·模拟预测）已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，又，在上单调递增，在上存在最小值，，使得，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，…①，由得：…②，②①得：，，，；①②得：；又，.故选：B.3．(2023·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】若，当时，为增函数，且，不符合题意.若，最小值为.若，当时，的最小值为.当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.由，，，设，它在上是增函数，且，所以的解是．可得综上，常数的取值范围为.故选：B．4（多选）(2023·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（

）A．是函数的极值点B．是函数的最小值点C．在区间上单调递增D．在处切线的斜率小于零答案：AC【解析】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC5．(2023·浙江·高三专题练习）设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是___________；若函数有4个零点，则的值是___________.答案：

；

.【解析】（1）当时，函数单调递减，所以有，因此要使的最小值为0，则当时，有解，即有解，，所以.（2）当时，的解为；当时，有三个