高考数学一轮复习考点探究与题型突破第10讲幂函数与二次函数(原卷版+解析)

第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝；②顶点式：f(x)＝；③零点式：f(x)＝．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减奇偶性当时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形考点1******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）若幂函数(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（

）A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>12．(2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣63．(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．[举一反三]1．(2023·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（

）A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数3．(2023·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．4．（多选）(2023·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（

）．A．函数的定义域为B．函数为非奇非偶函数C．过点且与图象相切的直线方程为D．若，则5．(2023·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.6．(2023·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．7．(2023·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.8．(2023·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．9．(2023·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．10．(2023·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．（1）求实数m的值；（2）求函数的值域．考点2二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______2．(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，且，则（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为________.考点3二次函数的图象与性质[名师点睛]二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（

）A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③2．(2023·全国·高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.4．(2023·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.[举一反三]1．(2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（

）A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤44．(2023·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1<x2，则（

）A．当x1+x2>-2时，f(x1)<f(x2)B．当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)C．当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．(2023·全国·高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是______.8．(2023·天津·高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.9．(2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，满足，.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.10．(2023·全国·高三专题练习）已知函数．（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．11．(2023·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.(1)求的解析式；(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称性图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形考点1******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）若幂函数(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（

）A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1答案：C【解析】由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；故选：C.2．(2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6答案：B【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴，且为偶数或当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B3．(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因幂函数的图象过点，则，且，于是得，，函数，函数是R上的增函数，而，则有，所以.故选：D[举一反三]1．(2023·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由为奇函数且在上递增，A、B：、非奇非偶函数，排除；C：为奇函数，但在上不单调，排除；D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.故选：D2．(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（

）A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案：D【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.3．(2023·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数单调递减可得及；函数单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）(2023·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（

）．A．函数的定义域为B．函数为非奇非偶函数C．过点且与图象相切的直线方程为D．若，则答案：BC【解析】设，将点代入，得，则，即，对于A：的定义域为，即选项A错误；对于B：因为的定义域为，所以不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为，所以，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，又因为切线过点，所以，解得，即切线方程为，即，即选项C正确；对于D：当时，，即成立，即选项D错误．故选：BC．5．(2023·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.答案：【解析】点A（4，2）代入幂函数解得，，故答案为：．6．(2023·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．答案：1，（答案不唯一）【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，因为幂函数在上单调递减，所以，又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.故答案为：1，（答案不唯一）.7．(2023·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.答案：【解析】由题设，，而在R上递增，当即时，，原不等式不成立；当即时，，原不等式恒成立.综上，解集为.故答案为：8．(2023·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．答案：α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．9．(2023·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．答案：（答案不唯一）【解析】设幂函数，由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，所以（）或（是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为.故答案为：（答案不唯一）.10．(2023·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．（1）求实数m的值；（2）求函数的值域．【解】（1）∵函数为幂函数，，解得或5，当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，函数为奇函数，；（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．考点2二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______答案：f(x)＝－4x2＋4x＋7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f（2）＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝.因为f（2）＝－1，所以，解得a＝－4，所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7.2．(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．【解】解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，，所以，，所以．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（）A． B．C． D．答案：A【解析】对于函数，当时，，所以函数过定点，设以为顶点且过原点的二次函数，因为过原点，所以，解得：，所以的解析式为：，故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）已知为二次函数，且，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】设，则，由可得，所以，，解得，因此，.故选：B.3．(2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为________.答案：【解析】解：由题意，设，因为，即，所以，所以，从而有，解得，所以，故答案为：.考点3二次函数的图象与性质[名师点睛]二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（

）A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③答案：B【解析】易知，则．由①②中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B．2．(2023·全国·高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：因为的对称轴为，开口向上，所以，解得，所以二次函数在区间上单调递减的充要条件为，所以二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为；故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.答案：【解析】在上单调递增，在单调递减，则，即，同时需满足，即，解得，综上可知故答案为：4．(2023·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.答案：[0，1]【解析】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，当时，，函数图象恒过；当时，；当时，；要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴，即；当时，的对称轴，即；且,综上故答案为：[0，1].[举一反三]1．(2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（

）A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得答案：B【解析】由，，可知，，抛物线开口向上．因为，，即1是方程的一个根，所以，都有，B正确，A、C、D错误.故选：B．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由题意，函数，因为，令，可得，即函数图象过点，又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，令，可得，可排除B、C项；故选：A.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4答案：C【解析】函数对称轴为，要使在区间[-2，1]上具有单调性，则或，∴或综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.故选：C.4．(2023·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因为，所以二次函数的对称轴为，又因为，所以，又，所以.故选：B.5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1<x2，则（

）A．当x1+x2>-2时，f(x1)<f(x2)B．当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)C．当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关答案：AB【解析】二次函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)的图象开口向上，对称轴为x=-1，当x1+x2=-2时，x1，x2关于x=-1对称，则有f(x1)=f(x2)，B正确；当x1+x2>-2时，而x1<x2，则x2必大于-1，于是得x2-(-1)>-1-x1，有|