人教版九年级数学上册教学设计

最新人教版九年级数学上册教案教学设计

21.1一元二次方程

第一课时

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(aWO)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解

决一些简单题目.

1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.

2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.

3.解决一些概念性的题目.

4.态度、情感、价值观.

5.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

重难点关键

1.重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.

2.难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元

二次方程的概念.

教学过程

一、复习引入学生活动：列方程.

问题如图，如果芷=色，那么点C叫做线段AB的黄金分割点.

ABAC

ACB

如果假设AB=1,AC=x,那么BC=,根据题意，得：.

整理得：.

问题(3)有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形，那

么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是,宽是,根据题意，得：.

整理，得：

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理.

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题.

(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？

(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评:

(1)都只含一个未知数x；

(2)它们的最高次数都是2次的；

(3)都有等号，是方程.

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)

的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax、bx+c=O(aWO).这

种形式叫做一元二次方程的一般形式.

一个一元二次方程经过整理化成ax'+bx+cR(aWO)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是

一次项，b是一次项系数；c是常数项.

例L将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项

系数及常数项.

分析：一元二次方程的一般形式是ax4bx+c=O(a#0).因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用

整式运算进行整理，包括去括号、移项等.

解：去括号，得：

40-16X-10X+4X2=18

移项，得：4x-26x+22=0

其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.

例2.(学生活动：请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方

程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项.

分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)、(x-2)(x+2)=1化成ax、bx+c=O(aWO)的形式.

解：去括号，得：

X2+2X+1+X2-4=1

移项，合并得：2X2+2X-4=0

其中：二次项2x2,二次项系数2；一次项2x,一次项系数2；常数项-4.

三、巩固练习

教材练习1、2

四、归纳小结(学生总结，老师点评)

本节课要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax?+bx+c=O(aWO)和二次项、二次项系

数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.

五、布置作业

1.教材复习巩固1-3题

2.选用作业设计.

作业设计

一、选择题

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().

①3X2+7=0②ax2+bx+c=O③(x-2)(x+5)=x2-l④3xj3=0

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为(

A.2,3,_6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.pxJ3x+pJq=0是关于X的一元二次方程，则().

A.p=lB.p>0C.proD.p为任意实数

二、填空题

1.方程3x?-3=2x+l的二次项系数为，一次项系数为,常数项为

2.一元二次方程的一般形式是.

3.关于x的方程(a-1)xZ+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是.

三、综合提高题

1.a满足什么条件时，关于x的方程a(x3+x)=-\/3x-(x+1)是一元二次方程？

2.关于x的方程(2m2+m)x-"+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

21.1一元二次方程

第二课时

教学内容

1.一元二次方程根的概念；

2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.

教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由

根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.

重难点关键

1.重点：判定一个数是否是方程的根;

2.难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学独立完成下列问题.

问题1.如图，-个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端

距墙多少米？

10

8

设梯子底端距墙为xm,那么,

根据题意，可得方程为.整理，得

列表:

问题2.

设苗圃的宽为xm,则长为m.

根据题意，得.整理，得.

列表:

老师点评(略)

二、探索新知

提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？

老师点评：(1)问题1中x=6是x-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.

(3)如果抛开实际问题，问题(1)中还有x=-6的解；问题2中还有x=T2的解.

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称:

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回过头来看：x?-36=0有两个根，一个是6,另一个是一6,但-6不满足题意；同理，问题2中的x=T2

的根也满足题意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是

否确实是实际问题的解.

例1.下面哪些数是方程2X2+10X+12=0的根？

一4,一3,一2,一1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.

解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程

2X2+10X+12=0的两根.

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1)X2-64=0(2)3x2=0(3)x-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义.

解：(1)移项得(=64

根据平方根的意义，得：x=±8

即Xi=8,X2=-8

(2)移项、整理，得(=2

根据平方根的意义，得x=±J5

即XI=A/2，X2=-A/2

(3)因为x?-3x=x(x-3)

所以x?-3x=0,就是x(x-3)=0

所以x=0或x-3=0

即xi=0,X2=3

三、巩固练习

教材思考题练习1、2.

四、应用拓展

例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm,则宽为(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,BPx2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由.

(2)完成下表：

X1011121314151617・・・

X2-5X-150

(3)你知道铁片的长x是多少吗？

分析：X2-5X-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因

式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法——“夹逼”方法求出该方程的根.

解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意.

x不可能等于10.理由：如果x=10,则面积x2-5xT50=T00,也不可能.

(2)

X1011121314151617..........

X2-5X-150-100-84-66-46-2402654..........

(3)铁片长x=15cm

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

(1)一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处;

(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.

六、布置作业

1.教材复习巩固

2.选用课时作业设计.

七：教学后记

21.2解一元二次方程

配方法(1)

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程.

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.

通过复习可直接化成x?=p(p'O)或(mx+n)2=p(pNO)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成

上面两种形式的解题步骤.

重难点关键

1.重点：讲清“直接降次有困难，如x，6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.

2.难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程

(1)3X2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7

老师点评：上面的方程都能化成x』p或(mx+n)2=p(p20)的形式，那么可得

x=±血或mx+n=±⑷(p20).

如：4X2+16X+16=(2X+4)2,你能把4x、16x=-7化成(2x+4):9吗？

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化筒为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三个方程的解法呢？

问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m；场地的长和宽各是多少？

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平

方式而后二个不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们

就来讲如何转化：

X2+6X-16=0移项fX°+6X=16

两边加3：'使左边配成x''+2bx+b'的形式fX"+6X+32=16+9

左边写成平方形式f(x+3)-25降次-x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程fxi=2,x2=-8

可以验证：XF2,X2=-8都是方程的根，但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m,常为8m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

例1.用配方法解下列关于x的方程

(1)X2-8X+1=0(2)x2-2x--=0

2

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.

解：略

三、巩固练习

教材探究，并说明理由.

教材练习.

四、应用拓展

例3.如图，在RtaACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方

向向点C匀速移动，它们的速度都是lm/s,几秒后^PCQ的面积为Rt^ACB面积的一半.

A

分析：设x秒后aPCQ的面积为RtaABC面积的一半，^PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式.

解：设x秒后aPCQ的面积为RtZXACB面积的一半.

根据题意，得：一(8-x)(6_x)--X—X8X6

222

整理，得：X2-14X+24=0

(x-7)三25即xi=12,X2=2

xi=12,xz=2都是原方程的根，但xi=12不合题意，舍去.

所以2秒后APCQ的面积为RtAACB面积的一半.

五、归纳小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可

以直接降次解方程的方程.

六、布置作业

教材复习巩固2.3.(1)(2)

配方法⑵

教学内容

给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程.

教学目标

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.

重难点关键

1.重点：讲清配方法的解题步骤.

2.难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方.

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)x?-4x+7=0(2)2x-8x+l=0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解

方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.

解：略.(2)与(1)有何关联？

二、探索新知

讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：

(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q20,方程的根是x=-p±Jq；如果q<0,方程无实根.

例L解下列方程

(1)2x?+l=3x(2)3x-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完

全平方.

解：略

三、巩固练习

教材练习题

四、归纳小结

本节课应掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，

利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例3)在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经

常用到。

六、布置作业

1.教材复习巩固3.(3)(4)

补充：(1)已知xJ+y'+z'-2x+4y-6z+14=0,则求x+y+z的值

(2)求证：无论x、y取任何实数，多项式x，yJ2x-4y+16的值总是正数

公式法

教学内容

1.一元二次方程求根公式的推导过程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式的推导公式，

并应用公式法解一元二次方程.

重难点关键

1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.

2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.

教学过程

L前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

(1)xM(2)(X-2)、7

提问1这种解法的(理论)依据是什么？

提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于

一般形式的二次方程。)

2.面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。)

(学生活动)用配方法解方程2X2+3=7X

(老师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).

(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边:

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;

(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q20,方程的根是x=-p±Jq；如果q<0,方程无实根.

二、探索新知

用配方法解方程:

(1)ax2—7x+3=0(2)ax'+bx+3=0

(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax、bx+c=O(ar。)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,

请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知ax2+bx+c=0(aWO),试推导它的两个根x尸士西三亚，制=士亚三逅

(这个

2a1a

方程一定有解吗?什么情况下有解？)

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解

题步骤就可以一直推下去.

解：移项，得：ax"+bx=-c

bc

二次项系数化为1,得x2+-x=-一

aa

酉己方，得：x2+—x+(-^―)+

(,—b、)2

a2aa2a

„b、2b2-4ac

即a(x+—)%-------

2a4a2

b2一4ac

V4a2>0,4a2>0,当b'YaceO时20

4a2

(X+2)g亚三产

2a2a

22

士心,FT—ZR,b,\h-4ac-b±sjh-4ac

直接开平万，得：x+—=±---------即nnx=--------------

2a2a2a

—b+\jb2-4ac-b-y/h2-4ac

=

♦•XiX2=-----------------------------

2a2a

由上可知，一元二次方程ax、bx+c=O(aWO)的根由方程的系数a、b、c而定，因此:

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax?+bx+c=O,当b2-4ac20时，将a、b、c代

入式子x二——h〜+J"-4ac就得到方程的根.(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，力口、减、

乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例L用公式法解下列方程.

(1)2X2-X-1=0(2)X2+1.5=-3X(3)x-42x+-=0(4)4x-3x+2=0

2

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.

补：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、巩固练习

教材练习1.(1)、(3)、(5)或(2)、(4)、(6)

四、应用拓展

例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xn?+2+(m-2)xT=0提出了下列问题.

(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

(2)若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出.

你能解决这个问题吗？

分析：能.(1)要使它为一元二次方程，必须满足0?+1=2,同时还要满足(m+1)W0.

(2)要使它为一元一次方程，必须满足：

_nr+1=1m2+1=0727+1=0

①《或②或③«

（加+1）+（加一2）工0〃？一2H0加一2w0

五、归纳小结

本节课应掌握：

(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念;

(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让

a〉0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b?-4ac,若结果为负数，方程无解，4)若结果

为非负数，代入求根公式，算出结果。

(4)初步了解一元二次方程根的情况.

六、布置作业

教材复习巩固5.

判别一元二次方程根的情况

教学内容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0(aWO)的根的情况及其运用.

教学目标

掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a#0)有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a#0)

有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0,ax2+bx+c=O(aWO)没实根，反之也成立；及其它们关系

的运用.

通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、bJ4ac<0各一题，分析它们根的情况，从

具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目.

重难点关键

1.重点：bJ4ac>0——元二次方程有两个不相等的实根；bJ4ac=O—一元二次方程有两个相等的实

数；b'YacCO—一元二次方程没有实根.

2.难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax、bx+c=O(a#0)的b'-4ac的情况与根的情况的关系.

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

(学生活动)用公式法解下列方程.

(1)2X2-3X=0(2)3X2-2A/3X+1=0(3)4x2+x+l=0

老师点评，(三位同学到黑板上作)老师只要点评(l)b2-4ac=9>0,有两个不相等的实根；(2)bJ4ac=12-12=0,

有两个相等的实根;(3)b-4ac=|-4X4X1|=<0,方程没有实根.

二、探索新知

XI、X2的关系

方程b-4ac的值b2-4ac的符号

(填相等、不等或不存在)

2X2-3X=0

3X2-26x+l=0

4X2+X+1=0

b?-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。

从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况，现在我们从求根公式的角度

来分析:

4的八一-b±ylb2-4ac

求根公式：x=--------------，当b'YacX)时，根据平方根的意义，，从一4”。等于一个具体数,

根据平方根的意义“2-4ac=0,所以xi=xz=:，即有两个相等的实根；当b'YacVO时，根据平方根的

意义，负数没有平方根，所以没有实数解.

因此，(结论)(1)当b-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)有两个不相等实数根即XF

-b+y/b2-4ac-h-J/—4〃c

--------------，X2二---------------•

la2a

一b

(2)当b-4ac=0时，一元二次方程ax'+bx+c=O(a关0)有两个相等实数根即Xi=X2=—.

2a

(3)当b^YacVO时,一元二次方程ax，bx+c=O(aWO)没有实数根.

例1.不解方程，判定方程根的情况

(1)16X2+8X=-3(2)9X2+6X+1=0

(3)2X2-9X+8=0(4)x-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b'Yac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.

解：(1)化为16X2+8X+3=0

这里a=16,b=8,c=3,l?-4ac=64-4X16X3=T28<0

所以，方程没有实数根.

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况：

31

(1)X2+10X+23=0(2)x-x--=O(3)3x?+6x-5=0(4)4x-x+—=0

416

(5)x2-V3x--=0(6)4X2-6X=0(7)x(2x-4)=5-8x

4

四、应用拓展

例2.若关于x的一元二次方程(a-2)x"2ax+a+l=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子

表示).

分析：要求ax+3〉0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一

元二次方程(a-2)x'-2ax+a+l=0没有实数根，即(-2a)"-4(a-2)(a+1)〈0就可求出a的取值范围.

五、归纳小结

本节课应掌握：

t»2-4ac>0—•一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个不相等的实根；b2-4ac=0一•一元二次方程

ax"+bx+c=O(aWO)有两个相等的实根；b,TacVO—•一元二次方程ax\bx+c=O(aWO)没有实数根及其它

的运用.

因式分解法

教学内容

用因式分解法解一元二次方程.

教学目标

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法一因式分解法解一元二次

方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.

重难点关键

1.重点：用因式分解法解一元二次方程.

2.难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)解下列方程.

(1)2x'+x=0(用配方法)(2)3x,+6x=0(用公式法)

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为1,1的一半应为上，因此，应加

224

±\同时减去(I)?.(2)直接用公式求解.

44

二、探索新知

(学生活动)请同学们口答下面各题.

(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？

(2)等式左边的各项有没有共同因式？

(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解：

因此，上面两个方程都可以写成：

(1)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+l=0,所以XLO,x2=-

2'

(2)3x=0或x+2=0,所以XLO,X2=-2.(以上解法是如何实现降次的？)

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两

个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

例1.解方程

13

(1)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)5x2-2x--=x2-2x+—

44

(4)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积。)

练习：1.下面一元二次方程解法中，正确的是().

A.(x-3)(x-5)=10X2,/.x-3=10,x-5=2,.\XF13,X2=7

23

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,(5x-2)(5x-3)=0,.*.xi=—,X2=—

55

C.(x+2)J+4x=0,/.xi=2,X2=-2

D.x2=x两边同除以x,得x=l

三、巩固练习

教材练习1、2.

例2.已知9a2-e=0,求代数式q一2—土上2的值.

baab

分析：要求—土上C.的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后

haab

代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误.

V9a2-4b2=0

(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

22

a=—b或a=­b

33

当a=-2b时，原式=3

3—b

3

2

当@=-b时，原式=-3.

3

四、应用拓展

例3.我们知道X”-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0,

请你用上面的方法解下列方程.

(1)x-3x-4=0(2)x-7x+6=0(3)x2+4x-5=0

分析：二次三项式x*-(a+b)x+ab的最大特点是x°项是由x•x而成，常数项ab是由-a•(-b)而成

的，而一次项是由-a-x+(-b-x)交叉相乘而成的.根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式.

五、归纳小结

本节课要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.

(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等于0.

六、布置作业

教材P17复习巩固6综合运用10.

一元二次方程根与系数的关系

【教学设计总意图］：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不

但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用.本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根

系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕

竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键.所以从绝大多数同学掌握的知

识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a#0,b，-4ac20)的前提条件下设计，所有的一元二次方

程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；

2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；

3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路

教学重点：应用根系关系解决问题；

教学难点：根系关系的推导过程

教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，

教学过程：

一、前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：

郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？

董：什么秘密？

郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？

董：哦？

郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x?-12x+35=0的两

根的积，回去你把2根求出来就知道了.

董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x?-35x

-200=0的2根的和呢.

郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.

【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识，本班学生活跃，他们自己在平时也

会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.

二、求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之

间的关系

X1+X2

序号一元二次方程Xix2xix2

(1)x2-5x+6=02356

131

(2)2x2-3x+1=01

222

2_1_2

(3)3x'+x-2=0-1

3~3~3

【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会

与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.

三、引导学生独立证明：

Xi和X2是一元二次方程ax'+bx+c=0(ar。,b'-4ac'0)

bc

X|+X2=--,X,X=-注意：负号不能漏写

aa2

【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出XI和X2的值，接下来将

字母系数表示的XI和X2的值代入相应的代数式x,+x2和x,x2得出根系关系的结论，凭借学生自己的现

有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那

一系列的字母并不是高不可攀.

四、应用

第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积

(1)x2-3x+1=0

(2)3x2-2x-2=0

(3)2x2-3x=0

(4)3x2=1

【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要

强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用

根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固

知识奠定基础.

例2：已知：

x,和刈是一元二次方程x2-4x+1=0的2根，求下列代数式的值

(1)-+-

X1X2

(2)Xi2+X2

(3)(xi-X2)2

学生练习：(1)上+-

XlX2

(2)(xi+1)(xz+l)

【设计意图】本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让

学生进一步体会整体代入的数学思想方法.

五、本课小结：

课后作业：

21.3实际问题与一元二次方程(1)

教学内容

由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.

教学目标

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.

通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模

型，并利用它解决实际问题.

重难点关键

1.重点：用“倍数关系”建立数学模型

2.难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型

教学过程

一、复习引入

（学生活动）问题1：列一元一次方程解应用题的步骤？

①审题，②设出未知数.③找等量关系.④列方程，⑤解方程，⑥答.

二、探索新知

上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有

利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面

问题.

（学生活动）探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人

传染了几个人？

分析：1第一轮传染1+x第二轮传染后l+x+x（l+x）

解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人

患了流感,第二轮后共有人患了流感.

列方程得1+x+x（x+l）=121

x2+2x-120=0

解方程，得Xi=T2,X2=10

根据问题的实际意义,x=10

答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.

思考:按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？（121+121X10=1331）

通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

（后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍）

四.巩固练习.

1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是

91,每个支干长出多少小分支？

解:设每个支干长出x个小分支，

则1+x+x.x=91即x2+x-90=0解得xl=9,x2=—10（不合题意，舍去）

答:每个支干长出9个小分支.

2.要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它.

2.列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验一一检验方程

的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答

六、布置作业

1.教材复习巩固24

21.3实际问题与一元二次方程（2）

教学内容

建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。

教学目标

掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。

重难点关键

1.重点：如何解决增长率与降低率问题。

2.难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a（l±x）"=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为

增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。

教学过程

探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进

步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均

下降率较大？

分析：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）+2=1000（元）

乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）+2=1200（元）

乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额（元）不等同于年平均下降率

解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为

5000（1-x）2元，依题意得

5000（1-x）=3000

解方程，得

X,。0.225,X,。1.775（不合题意,舍去）

答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.

算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？比较:两种药品成本的年平均下降率

（22.5%,相同）

思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面

地比较对象的变化状况？

(经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.)

小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为X,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系

可表示为a(l±x)"=b(中增长取+,降低取一)

二巩固练习

(1)某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米？

(2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原

料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x,可列出方程为.

(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，

如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.

4.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？

三应用拓展

例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应

得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1