2024年高中数学专题7-9重难点题型培优精讲正态分布教师版新人教A版选择性必修第三册

专题7.9正态分布1．连续型随机变量随机变量的取值充溢某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X听从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X听从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

(3)曲线在x=处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对随意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变更而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形态由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特别区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为听从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.【题型1正态曲线的特点】【方法点拨】依据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.【例1】（2024·高三课时练习）设X~N(μ1A．PB．PC．对随意正数t，PD．对随意正数t，P【解题思路】依据正态分布的密度曲线的性质及意义推断即可【解答过程】解：由正态密度曲线的性质可知，X∼N(μ1,σ因此结合所给图像可得μ1∴P又X∼N(所以0<σ∴P故A、B错误．由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对随意正数t，P(故C正确，D错误．故选：C．【变式1-1】（2024秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都听从正态分布，X~Nμ1,62A．D(XC．P(X【解题思路】依据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，随机变量X听从正态分布，且X~可得随机变量X的方差为σ2=6对于B中，依据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1所以μ1对于C中，依据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量所以P(对于D中，依据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤即P(故选：C.【变式1-2】（2024春·广东清远·高二期末）已知三个正态密度函数φi(x)=12πA．μ1=μ3>μC．μ1=μ3>μ【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦推断标准差的大小.【解答过程】由题图中y=φiy=φ1(x所以σ1故选：C.【变式1-3】（2024春·江苏常州·高二期中）如图是三个正态分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【解题思路】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【解答过程】由题意，得σ(X)=0.8，σ因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.【题型2利用正态曲线的对称性求概率】【方法点拨】利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形推断.【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ∼N2,σ2，若PA．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2【解题思路】由正态分布的对称性求出P(1【解答过程】解：由随机变量ξ∼N2,所以P(故选：D.【变式2-1】（2024春·湖南张家界·高二期末）已知随机变量X听从正态分布N(2,σ2)σ>0，且A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解题思路】依据正态分布曲线的对称性即可求解.【解答过程】随机变量X听从正态分布N2,σ2，所以正态分布的对称轴为∴P故选：D.【变式2-2】（2024春·北京·高二期末）已知随机变量听从正态分布X~N(2,σ2)，若A．0 B．2 C．-1 D．【解题思路】依据正态分布的性质可得P(X≥1-2a【解答过程】解：因为P(P(所以P(所以1-2a故选：D.【变式2-3】（2024春·吉林长春·高二期末）已知随机变量X听从正态分布N6,σ，若PX<4+5PX>8A．16 B．14 C．1【解题思路】依据正态分布的对称性可得：PX<4=PX>8，P4<X<6【解答过程】X~N6,σ∴PX<4+5P∴P4<X<6故选：C．【题型3利用正态分布的3原则求概率】【方法点拨】利用正态分布的3原则求概率确定要灵敏把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.【例3】（2024春·河北衡水·高二阶段练习）若X∼N7,2.25，则P（参考数据：Pμ-σA．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【解题思路】依据题意得到μ+2σ=10【解答过程】因为μ=7，σ2=2.25，故σ所以PX故选：A.【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X~N4，2附：若Y~Nμ，σ2A．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2【解答过程】由题意知随机变量X~N4故P≈1故选：A.【变式3-2】（2024春·河南洛阳·高二阶段练习）某工厂生产的零件的尺寸（单位:cm）听从正态分布N10,0.12.任选一个零件，尺寸在10附:若X~Nμ,σ2，则PA．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【解题思路】由题意可得P=【解答过程】解：由题意可知σ=0.1，且图象关于μ所以P(10≤X≤10.2)故选：B.【变式3-3】（2024春·河南·高二阶段练习）已知某批零件的尺寸X（单位：mm）听从正态分布N10,4，其中X∈8,14（附：若X∼Nμ,σ2，则PA．0.3414 B．0.4773 C．0.512 D．0.8186【解题思路】依据3σ【解答过程】解：因为某批零件的尺寸X（单位：mm）听从正态分布N10,4所以P==1故选：D.【题型4正态分布的实际应用】【方法点拨】利用听从正态分布N(,)的随机变量X在三个特别区间上取值的概率，可以解决两类实际问题：一类是估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率，再乘样本容量即可.另一类是利用3原则作决策.【例4】（2024·高二课时练习）某金属元件的抗拉强度听从正态分布，均值为10000kg/cm2，标准差是(1)求抗拉强度超过10150kg(2)假如要求全部元件的规格是9800∼【解题思路】（1）转化为标准正态分布，结合查表求得所占比例.（2）利用Pμ【解答过程】(1)依题意X∼10150-查表可知，在标准正态分布Y∼N0,1则PY>1.5所以抗拉强度超过10150kg/cm(2)依题意X∼Pμ所以被报废的元件的比例是1-【变式4-1】（2024秋·福建莆田·高三阶段练习）某校高三年级有1000人，某次考试不同成果段的人数ξ~(1)求全班平均成果；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X参考数据：Pμ【解题思路】（1）由ξ~（2）由正太分布曲线的对称性易得Pξ>141，从而计算出得分超过141的人数；(3)X【解答过程】(1)由不同成果段的人数听从正态分布N(127,7.12(2)P=1故141分以上的人数为1000×(3)X的取值为0，1，2，3，4，P(P(P(P(P(故X的分布列为X01234P81272731期望EX方差DX【变式4-2】（2024春·河北保定·高二阶段练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）听从正态分布N65,4.84(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73g，他马上要求停止生产，检查设备，请你依据所学学问，推断该质检员的确定是否有道理，并说明推断的依据.(2)规定：这种零食的质量在62.8g~69.4g的为合格品.①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）②从该种零食中随意选择n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.参考数据：若X~Nμ,σ2，则P【解题思路】（1）依据题意确定73∈μ+3σ,+∞（2）①依据为μ=65，σ=2.2，可确定当零食质量X满足μ-【解答过程】(1)因为X~N65,4.84，所以μ所以μ+3σ=71.6所以PX>71.6因为0.00135远小于120而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73g，说明小概率事务的确发生了，因此他马上要求停止生产，检查设备的确定有道理.(2)①因为μ=65，σ=2.2，所以μ由题意可知当零食质量X满足μ-所以这种零食的合格率为0.6827+0.95452②由题意可知Y~则EY则n>580.819[注]在第（2）问第2小问中，若写为Y~Bn,0.8186则n>580.8186【变式4-3】（2024·福建福州·高二期末）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量复原、激发养殖户主动性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一样的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在1,139内的猪分为三个成长阶段如下表.猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）[1,24)[24,116)[116,139]依据以往阅历，两个养猪场猪的体重X均近似听从正态分布X~N70,232（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.（参考数据：若Z~Nμ,σ2，P【解题思路】（1）由于猪的体重X近似听从正态分布X～N（70，232），依据参考数据求出对应的概率，再求出结果；（2）依据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出