2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)2.1等式性质与不等式性质(第2课时)(分层作业)(原卷版+解析)

2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·四川·雅安中学高一开学考试）如果，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．(2023·广东湛江·高一期末）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2023·广西河池·高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2023·江西·高一期中）“”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．(2023·广东中山·高一期末）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．与2的和是非负数，可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”7．（2023·全国·高一期末）若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023·全国·高一课时练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱二、填空题9．(2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________10．（2023·广西·玉林市第十一中学高一阶段练习）若且，则的最大值是____________．11．（2023·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是__________.12．（2023·全国·高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）13．(2023·全国·高一课时练习）若，，则的取值范围为______．三、解答题14．（2023·全国·高一课时练习）证明：，.15．(2023·全国·高一专题练习）已知，求证：.16．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求的取值范围；（3）已知，求的取值范围．17．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2023·福建福州·高一期中）若，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2023·云南·昆明一中高一期中）下列不等式：①；②；③；④其中恒成立的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(2023·全国·高一课时练习），，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．12二、多选题6．（2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．（2023·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．三、填空题8．（2023·全国·高一课时练习）设，则中等号成立的充要条件是_______．9．（2023·江苏·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．10．（2023·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．四、解答题11．(2023·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).12．（2023·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.13．（2023·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．14．(2023·江西·景德镇一中高一期末）若对任意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值.15．(2023·全国·高一课时练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．16．（2023·全国·高一课时练习）求下列关于的不等式的解集(1)；(2).2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·四川·雅安中学高一开学考试）如果，那么下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用不等式的基本性质逐一分析即可.【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；B.当时满足，但此时，故B选项错误；C.当时满足，但此时，故C选项错误；D.由得：，即，故D选项正确.故选：D.2．(2023·广东湛江·高一期末）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：A分析：AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.【详解】，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确；当时，满足，但，B错误；若，当时，则，C错误；若，，则，D错误.故选：A3．（2023·广西河池·高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：D分析：ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立.【详解】对于A，令，则，∴A错误；对于B，令，则，但，∴B错误；对于C，令，满足，但，∴C错；对于D，因为，所以，不等式两边同乘以得：，D选择正确．故选：D4．（2023·江西·高一期中）“”的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：C分析：ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件.【详解】A选项，若，，满足，但，故推导不出，A错误；B选项，也是如此，若，，满足，但，B错误；C选项，因为，故，，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确；D选项，若，，满足，但，D选项错误故选：C.5．(2023·广东中山·高一期末）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：C分析：根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B：取进行否定；对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D：取进行否定.【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；对于B：当时，取时，有.故B不正确；对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；对于D：当，取时，有.故D不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.6．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．与2的和是非负数，可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”答案：C分析：ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.【详解】对于A，应表示为“”，对于B，应表示为“”，对于D，应表示为“7℃13℃”，故A，B，D错误．故选：C．7．（2023·全国·高一期末）若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C分析：解出、的二元一次方程，然后利用非负性来确定的取值范围即可求解.【详解】解：由题意得：又，且解得：故c可能取的最大值为.故选：C8．（2023·全国·高一课时练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱答案：C分析：根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.二、填空题9．(2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________答案：分析：根据不等式的性质即可求解．【详解】解：因为，，所以，，所以，故答案为：10．（2023·广西·玉林市第十一中学高一阶段练习）若且，则的最大值是____________．答案：7分析：把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.【详解】，则，解得：即，因为且，所以，故，故的最大值为7故答案为：711．（2023·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是__________.答案：分析：根据不等式的性质可求出.【详解】因为，所以，因为，所以，则，所以的取值范围是.故答案为：.12．（2023·全国·高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）答案：分析：设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5×答对题目数-1×答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式．【详解】这个学生至少答对x题，则答错（20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即．故答案为：13．(2023·全国·高一课时练习）若，，则的取值范围为______．答案：分析：根据的范围求出的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得的范围.【详解】解：因为，所以；又因为，所以，所以．故答案为：.三、解答题14．（2023·全国·高一课时练习）证明：，.分析：根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：.故得证.15．(2023·全国·高一专题练习）已知，求证：.分析：利不等式的性质证明即可【详解】因为，所以，，所以16．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求的取值范围；（3）已知，求的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．分析：（1）根据不等式的性质可证明该不等式.（2）先求出的范围，从而可求的取值范围.（3）根据可求的取值范围．【详解】（1）因为，所以,则．（2）因为，所以，所以，所以.（3）已知，因为，所以17．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．答案：的取值范围是，的取值范围是．分析：根据题意可得，进而得到的范围，再根据分数的性质可得的取值范围.【详解】因为，所以．

又，所以，即．

因为，所以，因为，所以，

所以，即．

所以的取值范围是，的取值范围是．【能力提升】一、单选题1．（2023·福建福州·高一期中）若，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：C分析：根据不等式的性质或赋值逐项判断即可.【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确；对于B选项：当时，，故B选项不正确；对于C选项：当时，，，又，，故C选项正确；对于D选项：，，，，，故D选项不正确；故选：C2．（2023·云南·昆明一中高一期中）下列不等式：①；②；③；④其中恒成立的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个答案：B分析：对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知，只时，成立；对于③，利用作差法知即可判断；对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断；【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；对于③，，∴，故③恒成立；对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；故恒成立的结论是①③④故选：B．3．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B分析：令，，可得，再根据的范围求解即可.【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B4．(2023·全国·高一课时练习），，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．答案：D分析：通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，，，，，；，.故选：D5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．12答案：B【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.【详解】因为，所以，当时，则，即，可得可取；当时，则，可得可取；当时，则，解得，或，进而解得为；当时，则，可得为；所以方程的解的个数为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.二、多选题6．（2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项.【详解】A选项，不等式两边同乘，得，为真命题.B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题.C选项，取，满足，但，为假命题.D选项，，，故，又，利用同向可乘性，可知，为真命题.故选：ABD7．（2023·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．答案：ABD分析：由题意结合不等式的性质求解即可【详解】对于A：因为，所以，则，即，故A正确；对于B：又，，所以，即，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD三、填空题8．（2023·全国·高一课时练习）设，则中等号成立的充要条件是_______．答案：且.分析：利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.【详解】由题设，，∴要使等号成立，则且，当且时，有，即成立.综上，且是中等号成立的充要条件.故答案为：且.9．（2023·江苏·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．答案：分析：先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.【详解】当时，，又，，则，不符合题意；当时，整理成关于的一元二次方程，即①判别式当时，，要使方程有解，则不符合，，即，即又，将代入方程①得，，解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.10．（2023·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．答案：【解析】考虑，，三种情况，设，，根据图像知过点，带入计算得到答案.【详解】，当时，，不满足题意；当时，时，，，不满足题意；当时，设，，函数均过定点，函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，，三种情况，构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，属于中档题.四、解答题11．(2023·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3分析：（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；②，根据已知条件直接写出结论即可.【详解】证明：（1）因为，所以，又，即，所以，所以，即≤；（2）因为，所以，，所以，所以；（3）解：①成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b312．（2023·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.答案：(1)，证明见解析；(2)证明见解析.分析：(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当时，，故，由，且，利用不等式性质可得，；(2)欲证，只需证明，即，①当时，显然不等式成立，②当时，不妨令，即，故，由于，显然成立，故原不等式成立；同理，当时，原不等式也成立.综上所述，对于任意，，均成立.13．（2023·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．答案：（1）当时，，当时，，当时，；（2）①证明详见解析；②.分析：（1）对两式作差，然后因式分解并分，，三种情况讨论，即