高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)3.2.2双曲线的简单几何性质(原卷版+解析)

3．2．2双曲线的简单几何性质【题型归纳目录】题型一：双曲线的简单几何性质题型二：双曲线的渐近线题型三：求双曲线离心率的值题型四：求双曲线离心率的范围题型五：直线与双曲线的位置关系题型六：弦长问题题型七：中点弦问题题型八：定点定值问题题型九：最值问题【知识点梳理】知识点一、双曲线的简单几何性质双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质范围，即或双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．对称性对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．知识点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．知识点五、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．知识点六、弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【典型例题】题型一：双曲线的简单几何性质例1．(2023·江苏南京·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．8例2．(2023·全国·高二课时练习）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．例3．(2023·江西吉安·高二期末（理））双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等例4．（多选题）(2023·全国·高二课时练习）对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（

）A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线例5．（多选题）(2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC．若是双曲线C的一个焦点，则D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则例6．（多选题）(2023·福建厦门·高二期末）曲线，则（

）A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点例7．(2023·上海虹口·高二期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________．例8．(2023·全国·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．题型二：双曲线的渐近线例9．(2023·河南南阳·高二阶段练习）已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（

）A． B． C． D．例10．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）如图1是一水平放置的青花瓷．它的颈部（图2）外形上下对称，可看成是双曲线（图3）的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径是瓶口直径的，颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．例11．(2023·广西·兴安县第二中学高二阶段练习（文））双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．例12．(2023·甘肃平凉·高二期末（文））已知双曲线的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A．5 B．4 C．3 D．2例13．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B． C． D．例14．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．例15．(2023·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））已知双曲线与椭圆：的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．例16．(2023·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．例17．(2023·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．题型三：求双曲线离心率的值例18．(2023·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3例19．(2023·江苏·南京市第二十九中学高二阶段练习）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．例20．(2023·河南南阳·高二阶段练习）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例21．(2023·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限的交点为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4例22．(2023·四川资阳·高二期末（文））双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（

）A． B． C． D．例23．(2023·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论：①的离心率；②两渐近线夹角为；③为定值；④的最小值为.则所有正确结论为（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①③④例24．(2023·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（

）A． B．2 C． D．3例25．(2023·江西上饶·高二期末（理））设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例26．(2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2题型四：求双曲线离心率的范围例27．(2023·全国·高二课时练习）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例28．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.

线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．例29．(2023·辽宁葫芦岛·高二期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．例30．(2023·贵州遵义·高二期末（理））已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例31．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例32．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例33．(2023·全国·高二期末）已知A，B是双曲线（a＞0，b＞0）上关于坐标原点对称的两点，F为其右焦点，若满足AF⊥BF，且∠ABF的取值范围为[]，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A．[] B．[] C．[] D．例34．(2023·全国·高二课时练习）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．（1，2）C． D．例35．(2023·天津西青·高二期末）已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例36．(2023·全国·高二单元测试）已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．例37．(2023·安徽省宣城中学高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：直线与双曲线的位置关系例38．(2023·全国·高二课时练习）若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为______．例39．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点个数为______．例40．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．例41．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．例42．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．若直线：与双曲线的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．例43．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．题型六：弦长问题例44．(2023·全国·高二课时练习）以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________.例45．(2023·全国·高二课时练习）求双曲线被直线截得的弦长______________．例46．(2023·四川·威远中学校高二阶段练习（文））直线与双曲线相交于、两点，______.例47．(2023·全国·高二期末）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______.例48．(2023·上海交大附中高二阶段练习）过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为______.例49．(2023·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.题型七：中点弦问题例50．(2023·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.例51．(2023·福建·莆田第二十五中学高二期末）过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.例52．(2023·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________.例53．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．例54．(2023·贵州·兴仁市凤凰中学高二阶段练习（理））经过点作直线交于双曲线于，两点，且为的中点，则直线的斜率为_______．例55．(2023·江苏扬州·高二开学考试）已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.例56．(2023·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））已知双曲线上有三个点，，且，，的中点分别为，，，用字母表示斜率，若（点为坐标原点，且，，均不为零），则________.例57．(2023·全国·高二课时练习）过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.例58．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知双曲线.(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．题型八：定点定值问题例59．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．例60．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．例61．(2023·安徽·高二期末）设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.(1)求m的值；(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.例62．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．例63．(2023·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．例64．(2023·江苏·高二单元测试）已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．例65．(2023·上海理工大学附属中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．(1)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：；(2)设椭圆，若M、N分别为、上的动点，且，求证：点O到直线MN的距离为定值．题型九：最值问题例66．(2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C的一个焦点为，且过点.如图，为双曲线的左、右焦点，动点（）在的右支上，且的平分线与轴、轴分别交于点（＜＜）、，设过点的直线与交于两点.（1）求C的标准方程；（2）求△的面积最大值．例67．(2023·全国·高二专题练习）在过动直线（其中与定直线的交点的等轴双曲线系：中，当取何值时，达到最大值与最小值？例68．(2023·江苏·高二单元测试）已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.（1）求双曲线的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值.例69．(2023·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．【同步练习】一、单选题1．(2023·江苏扬州·高二阶段练习）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（

）A．与（，）共轭的双曲线是（，）B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率、，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上2．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）若双曲线的一个焦点为，则（

）A． B． C．0 D．33．(2023·广西河池·高二阶段练习（文））已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高二课时练习）下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高二）已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为（

）A． B． C． D．37．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（

）A． B． C． D．8．(2023·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·江苏·南京市秦淮中学高二阶段练习）已知为4，为8或，则下列对曲线描述正确的是（

）A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示焦距是4的双曲线C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示渐近线方程是的双曲线10．(2023·海南·东方市东方中学高二阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（

）A． B． C． D．11．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为，那么下列结论中正确的是（

）A．双曲线C的方程为B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C的渐近线的距离为D．双曲线C的离心率为212．(2023·全国·高二专题练习）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（

）A． B． C． D．三、填空题13．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知双曲线：上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．14．(2023·全国·高二课时练习）以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线方程为______．15．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知双曲线C：的两条渐近线分别为与，若点，为上关于原点对称的不同两点，点为上一点，且，则双曲线的离心率为___________．16．(2023·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．四、解答题17．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线C的方程；(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．18．(2023·全国·高二课时练习）求过双曲线上一点的切线方程.19．(2023·全国·高二单元测试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.20．(2023·四川资阳·高二期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.21．(2023·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.(1)求双曲线C的方程；(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．2．2双曲线的简单几何性质【题型归纳目录】题型一：双曲线的简单几何性质题型二：双曲线的渐近线题型三：求双曲线离心率的值题型四：求双曲线离心率的范围题型五：直线与双曲线的位置关系题型六：弦长问题题型七：中点弦问题题型八：定点定值问题题型九：最值问题【知识点梳理】知识点一、双曲线的简单几何性质双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质范围，即或双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．对称性对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．知识点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．知识点五、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．知识点六、弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【典型例题】题型一：双曲线的简单几何性质例1．(2023·江苏南京·高二期末）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．8答案：C【解析】双曲线的一条渐近线方程为，由两直线垂直得，，，所以双曲线的焦点坐标为，虚轴一个顶点坐标为，故选：C例2．(2023·全国·高二课时练习）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为，故选：C．例3．(2023·江西吉安·高二期末（理））双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等答案：C析】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.曲线的方程可得：,.双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.：C.例4．（多选题）(2023·全国·高二课时练习）对于方程和（且）所表示的双曲线，有相同的（

）A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．渐近线答案：CD【解析】对于双曲线，，，；顶点，焦点，离心率，渐近线对于双曲线，即，，，顶点，焦点，离心率，渐近线因此这两个方程表示的双曲线有相同的离心率和渐近线．故选：CD例5．（多选题）(2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC．若是双曲线C的一个焦点，则D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则答案：CD【解析】由双曲线C：，得，则双曲线C的实轴长为，故A错误；双曲线的渐近线方程为，即，取右焦点和渐近线，则右焦点和到渐近线的距离为，故B错误；因为是双曲线C的一个焦点，所以，则，故C正确；因为渐近线和垂直，，解得，故D正确.：CD.例6．（多选题）(2023·福建厦门·高二期末）曲线，则（

）A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点答案：ACD【解析】表示椭圆在x轴上方的部分，表示双曲线在x轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为，项ACD正确，选项B错误.：ACD.例7．(2023·上海虹口·高二期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________．答案：1【解析】∵双曲线方程为：，则解法一：不妨取焦点坐标为，渐近线为，即∴焦点到其渐近线的距离解法二：根据结论焦点到其渐近线的距离为故答案为：1．例8．(2023·全国·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．答案：【解析】设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为．故答案为：题型二：双曲线的渐近线例9．(2023·河南南阳·高二阶段练习）已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，所以有，，可得，因此双曲线的两条渐近线方程为：，所以双曲线的两条渐近线的方程为．故选：A．例10．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）如图1是一水平放置的青花瓷．它的颈部（图2）外形上下对称，可看成是双曲线（图3）的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径是瓶口直径的，颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由图3设双曲线的方程为，由双曲线的性质可知，颈部最小直径为实轴长，则瓶口直径为，又颈部的高是瓶口直径的倍，则高为，故双曲线上一点的坐标为，代入方程得，解得，则双曲线的渐近线方程为.故选：C.例11．(2023·广西·兴安县第二中学高二阶段练习（文））双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．答案：A【解析】由题得，所以双曲线的焦点在轴上，所以所以双曲线的渐近线方程为.故选：A例12．(2023·甘肃平凉·高二期末（文））已知双曲线的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A．5 B．4 C．3 D．2答案：C【解析】由题意得，所以双曲线的渐近线方程为，不妨取，即，又因为右焦点，所以点F到一条渐近线的距离.故选：C例13．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知可得，双曲线的渐近线方程为，则，解得.故选：D.例14．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由已知及双曲线的对称性可得，所以.所以，所以，所以C的渐近线方程为.故选：A.例15．(2023·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））已知双曲线与椭圆：的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】椭圆：的半焦距为所以双曲线的半焦距，又双曲线一个顶点坐标为，所以所以因为双曲线焦点在x轴上，所以渐近线方程为.故选：A例16．(2023·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为轴，所以，所以，，，，所以，渐近线方程为．故选：A．例17．(2023·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依题意不妨取双曲线的一条渐近线为，，，所以到直线的距离，又的斜率为，所以的方程为，由，解得，即，所以，因为，所以，即，即，又，所以，所以渐近线方程为；故选：B题型三：求双曲线离心率的值例18．(2023·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3答案：D【解析】如图，不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形，又，所以是矩形，，，又，所以，所以．故选：D．例19．(2023·江苏·南京市第二十九中学高二阶段练习）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．答案：C【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选:C.例20．(2023·河南南阳·高二阶段练习）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为存在非零实数使得，所以，O是的中点，所以Q为的中点，因为，所以点到渐近线，即的距离，又，所以，，则由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理，得，整理，得，所以双曲线的离心率为.故选：A例21．(2023·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限的交点为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4答案：B【解析】由，且，则，从而，所以在等腰三角形中，得，所以.故选：B例22．(2023·四川资阳·高二期末（文））双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍）故选：C例23．(2023·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，圆与的渐近线相切.为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为.给出以下结论：①的离心率；②两渐近线夹角为；③为定值；④的最小值为.则所有正确结论为（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①③④答案：D【解析】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即，解得，所以，离心率，故①正确；因为的渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，所以两渐近线夹角为，故②不正确；设，则，为定值，故③正确；依题意设，联立，得，则，联立，，则，所以，因为，所以，当且仅当，即为双曲线的右顶点时，等号成立.故④正确.故选：D.例24．(2023·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（

）A． B．2 C． D．3答案：C【解析】双曲线的一条渐近线为，将代入得，所以双曲线的离心率.故选：C例25．(2023·江西上饶·高二期末（理））设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取的中点，连接，如下图所示：由题意可得，所以，，则，由双曲线的定义可得，则，故，由勾股定理可得，即，整理可得，所以，，因此，双曲线的离心率为.故选：C.例26．(2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2答案：C【解析】设在渐近线上，直线的方程为，由，得即，由，得为的中点，又因为所以，因为在双曲线上，所以化简得：故选：C题型四：求双曲线离心率的范围例27．(2023·全国·高二课时练习）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题设，双曲线渐近线方程为，要使直线与双曲线无交点，则，即，而.故选：C例28．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.

线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】当A在圆内时，如图，,所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，，此时，，.当A在圆外时，如图，因为，所以的轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，，此时，，.综上可知，.故选：D例29．(2023·辽宁葫芦岛·高二期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因为，则，故.故选：B.例30．(2023·贵州遵义·高二期末（理））已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为所以，由，可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，则必有，即，则双曲线E的离心率，所以又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，此时以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.所以E的离心率的取值范围是.故选：D例31．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，又，所以，，又，即，，所以离心率．故选：C．例32．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意得，双曲线的右顶点坐标为，其中一条渐近线方程为，所以，得，即，又因为双曲线的离心率，所以离心率的取值范围为.故选：C例33．(2023·全国·高二期末）已知A，B是双曲线（a＞0，b＞0）上关于坐标原点对称的两点，F为其右焦点，若满足AF⊥BF，且∠ABF的取值范围为[]，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A．[] B．[] C．[] D．答案：B【解析】设双曲线的左焦点为F1，∵A，B关于原点对称，∴四边形AFBF1为矩形，∴∠AF1F＝∠ABF；设，，，由双曲线的定义可得：|AF1﹣AF|＝2a；∴，∵，∴，∴，∴；故选：B．例34．(2023·全国·高二课时练习）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．（1，2）C． D．答案：D【解析】因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，所以，因为是钝角三角形，所以是钝角，即，因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，所以，又，所以，即，即，解得或（舍去），所以双曲线的离心率的取值范围是，故选：D例35．(2023·天津西青·高二期末）已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，所以，所以因为，所以，故选：B例36．(2023·全国·高二单元测试）已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，当时，，，不妨取，，是等腰三角形且为锐角三角形，则，即，，即，，解得，故.故选：B.例37．(2023·安徽省宣城中学高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】双曲线的渐近线方程为，,点P在双曲线上，双曲线的渐近线方程为，因为与双曲线相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，则，解得，故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A题型五：直线与双曲线的位置关系例38．(2023·全国·高二课时练习）若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为______．答案：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，【解析】当直线斜率不存在时，显然不合题意所以可设直线方程为，联立，得，①当，即或，方程只有一解，直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时，直线方程为，②当，即，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线方程为，综上所述，直线的方程为或.故答案为：2x－y＋1＝0，2x＋y－1＝0，，.例39．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点个数为______．答案：【解析】由得：，直线与双曲线有且仅有个交点.故答案为：.例40．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．答案：2【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：2例41．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．答案：【解析】由曲线：及题意，知．如图所示，曲线表示的是一个圆与双曲线的一部分，由，解得，要使直线与曲线有四个不同的交点，结合图象，可得．故答案为：.例42．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．若直线：与双曲线的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．答案：【解析】设．∵，，∴，∴双曲线的方程为．设直线与双曲线右支的两交点分别为，．由，得．由题意得，得，解得．故答案为：例43．(2023·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．答案：，【解析】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，故答案为：，题型六：弦长问题例44．(2023·全国·高二课时练习）以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________.答案：【解析】根据双曲线的一条渐近线为，可设双曲线为()，将代入双曲线得：，若直线与双曲线交点为，则，，则，解得：，故双曲线的方程为.故答案为：.例45．(2023·全国·高二课时练习）求双曲线被直线截得的弦长______________．答案：【解析】联立方程组，整理得，设直线与双曲线交于两点，设，则，由弦长公式可得.故答案为：.例46．(2023·四川·威远中学校高二阶段练习（文））直线与双曲线相交于、两点，______.答案：【解析】设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，由弦长公式得.故答案为：.例47．(2023·全国·高二期末）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______.答案：3【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以.故答案为：.例48．(2023·上海交大附中高二阶段练习）过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为______.答案：2【解析】当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点作弦只与双曲线左支相交，使；直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的.故答案为：2例49．(2023·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.答案：【解析】由题意，，直线斜率，所以直线方程为，代入得，设，则，又，，故答案为：.题型七：中点弦问题例50．(2023·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.答案：【解析】设，，则，，两式相减可得：，所以，因为点是线段的中点，所以，，所以，因为，所以，即，因为，所以，，所以双曲线方程是，故答案为：.例51．(2023·福建·莆田第二十五中学高二期末）过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.答案：【解析】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．故答案为：．例52．(2023·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________.答案：【解析】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即.故答案为：例53．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．答案：0或【解析】设，，，，的中点为，，则，由点差法可得，即①，显然，又因为②，代②入①可得；由两点关于直线对称，可得，所以，又因为，所以，代入抛物线方程得，解得或．故答案为：0或．例54．(2023·贵州·兴仁市凤凰中学高二阶段练习（理））经过点作直线交于双曲线于，两点，且为的中点，则直线的斜率为_______．答案：4【解析】设点，，点，，，，则①②①②得，，，，，直线的方程为，故答案为：．例55．(2023·江苏扬州·高二开学考试）已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.答案：【解析】设，则，∵A、B在双曲线上，∴，①－②得：，即即，∴：，即，由，∵，故与双曲线有两个交点满足题意，故l方程为：.故答案为：.例56．(2023·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））已知双曲线上有三个点，，且，，的中点分别为，，，用字母表示斜率，若（点为坐标原点，且，，均不为零），则________.答案：-1【解析】设，，，则，，，,两式相减得，整理可得，即，同理得，.因为，所以.故答案为：.例57．(2023·全国·高二课时练习）过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.答案：【解析】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点则则,两式相减并化简可得即直线的斜率为2所以直线的方程为,化简可得因为直线与双曲线有两个不同的交点所以解得且所以的取值范围为故答案为:例58．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知双曲线.(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．【解析】(1)，a＝1，故双曲线顶点为，渐近线方程为；(2)当时，双曲线为，假设双曲线存在被点平分的弦，设弦的两个端点为，，则，，∵A、B在双曲线上，∴，①－②得：，则，∴弦AB所在直线方程为：，代入双曲线方程得，∵，故AB与双曲线无交点，假设不成立．故不存在被点平分的弦．题型八：定点定值问题例59．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）由双曲线的方程可知，，∴双曲线的离心率．（2）设，，由，得，则，，，∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，∴，∴，∴，解得或．当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意∴直线l过定点，定点坐标为．例60．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）设，，，由题意得，两式相减得，整理得，即直线的斜率，又为的中点，即，所以，所以；（2）由可知是以为直角顶点的直角三角形，即，且直线不与双曲线的渐近线平行，即，①当直线斜率存在时，设的方程为，，联立直线与双曲线得，，即，且，则，，所以，，，又，所以，即，解得或，当时，直线方程为，恒过点，不成立；当时，直线方程为，恒过点，②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，，，即，，，解得或，当时，过点，不成立；当时，过，综上所述，直线恒过定点.例61．(2023·安徽·高二期末）设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.(1)求m的值；(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.【解析】(1)双曲线C：（m>0）的渐近线方程为，不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为（m，m）和（m，-m），所以

解得m=1.(2)由（1）知C：，则F的坐标为（2，0），设l与x轴交于点（p，0），则l的方程为（），设.则.联立，得，由题可知，所以因为，F，N三点共线，所以，即，即，所以因为k≠0，所以，所以，所以，所以解得，

所以直线l经过x轴上的定点例62．(2023·全国·高二课时练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得．【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为，由，得，因为，所以，即，又离心率为2，所以，故．所以双曲线的标准方程为．（2）由（1）知双曲线的右焦点为．设，则．①当时，．因为，所以，所以，所以，符合题意．②当时，设．，，因为，所以（结合正切倍角公式）．（i）当时，上式化简为，又，所以，对任意恒成立.所以，解得，即．（ii）当，时，即也能满足．综上，在轴的负半轴上存在定点，使得．例63．(2023·全国·高二课时练习）直线l：与双曲线C：交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）将直线l的方程代入双曲线C的方程，整理得①依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则解得k的取值范围为．（2）设A、B两点的坐标分别为,，则由①得②．假设存在实数k，使得AF⊥BF，则，即：，整理得③．把②式及代入③式化简得：，解得或，∴存在实数或，使得AF⊥BF．例64．(2023·江苏·高二单元测试）已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．【解析】（1）设双曲线C的方程为，由题意知，∴双曲线C的方程为（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1），则，，∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，），由，可得∴∴∴∴∴∴，当时，，此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．例65．(2023·上海理工大学附属中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．(1)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：；(2)设椭圆，若M、N分别为、上的动点，且，求证：点O到直线MN的距离为定值．【解析】（1）证明：设，直线，因为直线l与圆相切，所以，即，联立，可得，所以，所以，所以，即（2）证明：当ON垂直x轴时，，则，所以O到MN的距离为，当直线ON不垂直x轴时，因为点M在曲线上，双曲线的渐近线方程为，所以或，因为，所以直线ON的斜率或，设直线ON的方程为，则直线OM的方程为，联立，可得，所以，联立，可得，所以，设O到直线MN的距离为d，则，所以，所以.综上：点O到直线MN的距离为定值题型九：最值问题例66．(2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C的一个焦点为，且过点.如图，为双曲线的左、右焦点，动点（）在的右支上，且的平分线与轴、轴分别交于点（＜＜）、，设过点的直线与交于两点.（1）求C的标准方程；（2）求△的面积最大值．【解析】（1）知双曲线的左、右焦点分别为，又∵双曲线过点∴解得∴双曲线C的标准方程为.（2）由F1（﹣，0），F2（，0），得直线PF1方程为y=（x+），直线PF2方程为y=（x﹣），即直线PF1方程为y0x﹣（x0+）y+y0=0，直线PF2方程为y0x﹣（x0﹣）y﹣y0=0，由点M（m，0）在∠F1PF2的平分线上，得=，由﹣＜m＜，y0＞1，以及y02=x02﹣1，解得x0≥2，∴y02+（x0+）2=x02+2x0+4=（x0+2）2，∴=，解得m=，即∴直线PM的方程为：y﹣（x﹣），令x=0，得y=﹣=﹣，故点N（0，﹣），∴，由，消去x得（5y02﹣4）y2+10y0y+1=0，△=100y02﹣4（5y02﹣4）=80y02+16＞0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴|y1﹣y2|==，由y0≥1，y1+y2=﹣＜0，y1y2=＞0，∴y1＜0，y2＜0，△F2DE的面积S=﹣=|F1F2|×|y1﹣y2|=×2×，设5y02﹣4=t，t≥1，则△F2DE的面积S=4×=4×=4×，∴t=1时，即P为（2，1）时，△F2DE的面积最大值为4．例67．(2023·全国·高二专题练习）在过动直线（其中与定直线的交点的等轴双曲线系：中，当取何值时，达到最大值与最小值？【解析】由得交点，交点坐标代入双曲线，，，当，，而，当时，，故，达到最大值，时，达到最小值.例68．(2023·江苏·高二单元测试）已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.（1）求双曲线的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值.【解析】（1）∵双曲线过点，∴.不妨设为右焦点，则到渐近线的距离，∴，，∴所求双曲线的方程为.（2）设,，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为,将代入中，整理得.∴①，②，∵，∴，∴，∴.③将①②代入③，得，∴.而，∴，从而直线的方程为.将代入中，判别式恒成立，∴即为所求直线，该直线过定点，当直线AB斜率不存在时，直线经检验满足题意，过点,当时，点到直线距离取最大值.例69．(2023·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为，所以，双曲线的方程可设为．因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为；（2）当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、，将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为，所以①则，．由即，所以化简得，．则（当k=0时等号成立）且满足①，又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24．【同步练习】一、单选题1．(2023·江苏扬州·高二阶段练习）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（

）A．与（，）共轭的双曲线是（，）B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率、，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上答案：B【解析】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A正确；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错；对于C选项，设，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.故选：B.2．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）若双曲线的一个焦点为，则（

）A． B． C．0 D．3答案：A【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，解得.故选：A.3．(2023·广西河池·高二阶段练习（文））已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由双曲线焦点在轴上，可设渐近线方程为：，因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即，所以渐近线方程为：.故选：B.4．(2023·全国·高二课时练习）下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项BD不满足题意,选项A中双曲线的渐近线为，两渐近线的斜率乘积为-1，所以两渐近线互相垂直，所以选项A满足题意；选项C中双曲线的渐近线为，两渐近线的斜率乘积不为-1，所以两渐近线不互相垂直，所以选项C不满足题意.故选：A5．(2023·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，，又，，；由双曲线定义知：，即，双曲线离心率.故选：D6．(2023·全国·高二）已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3答案：C【解析】圆的圆心，双曲线的渐近线为：，双曲线的一条渐近线过圆的圆心，可得，所以，，则，则的离心率．故选：C．7．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（

）A． B． C． D．答案