第15讲 抛物线（七大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第15讲抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点SKIPIF1<0和一条定直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0不经过点SKIPIF1<0)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点SKIPIF1<0叫做抛物线的焦点，定直线SKIPIF1<0叫做抛物线的准线．知识点诠释:(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线SKIPIF1<0上，若F在SKIPIF1<0上，抛物线变为过F且垂直与SKIPIF1<0的一条直线.(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线SKIPIF1<0的一次项为SKIPIF1<0，故其焦点在SKIPIF1<0轴上，且开口向负方向(向下)③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程SKIPIF1<0的几何性质范围：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)顶点O(0，0)范围x≥0，SKIPIF1<0x≤0，SKIPIF1<0y≥0，SKIPIF1<0y≤0，SKIPIF1<0对称轴x轴y轴焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率e=1准线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦半径SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点诠释：(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线SKIPIF1<0上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义例1．若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A．相交 B．相离C．相切 D．不确定【答案】C【解析】如图所示，设SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴分别交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由抛物线的定义，可得SKIPIF1<0，又由梯形的中位线的性质，可得SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切.故选：C.例2．若抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到该抛物线焦点的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，所以点P的横坐标为SKIPIF1<0，所以点P的纵坐标SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0到抛物线准线的距离为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到该抛物线焦点的距离为SKIPIF1<0.故选：C例3．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0是C上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意知，焦点SKIPIF1<0，由定义知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.例4．抛物线的方程为SKIPIF1<0，抛物线上一点P的横坐标为SKIPIF1<0，则点P到抛物线的焦点的距离为(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依题意，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，所以点P到抛物线焦点的距离为SKIPIF1<0.故选：B例5．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，纵坐标为5的点SKIPIF1<0在C上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】依题意，抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D题型二：求抛物线的标准方程例6．点SKIPIF1<0到抛物线SKIPIF1<0的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，抛物线开口向上，准线方程SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，抛物线开口向下，准线方程SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，所以抛物线方程为SKIPIF1<0．所以抛物线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：C例7．准线方程为SKIPIF1<0的抛物线的标准方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据题意，抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，即其焦点在SKIPIF1<0轴负半轴上，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故其标准方程为：SKIPIF1<0.故选：D.例8．准线方程为SKIPIF1<0的抛物线的标准方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】准线方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故抛物线的标准方程是SKIPIF1<0.故选：B例9．经过点SKIPIF1<0的抛物线的标准方程是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】设抛物线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故抛物线的标准方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C例10．若抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，故抛物线方程为SKIPIF1<0，故选：A例11．已知抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，则该拋物线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题知，抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，所以抛物线开口向左，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设拋物线的标准方程为SKIPIF1<0，所以拋物线的标准方程为SKIPIF1<0，故选：D例12．已知抛物线的焦点为SKIPIF1<0，则抛物线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为抛物线的焦点为SKIPIF1<0在y轴上，令x2=2py(p>0)且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0.故选：D题型三：抛物线的综合问题例13．(多选题)已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线上两点，则下列结论正确的(

)A．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0经过焦点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0经过焦点SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,故A错误；过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，显然SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<00恒成立.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故B正确；∵SKIPIF1<0，根据抛物线定义得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而由中点坐标公式得点P的纵坐标SKIPIF1<0，即为点P到x轴的距离为SKIPIF1<0，故C正确；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0当SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC例14．(多选题)斜率为1的直线l经过抛物线SKIPIF1<0的焦点F，且与抛物线相交于SKIPIF1<0两点则下列结论正确的有(

)A．SKIPIF1<0 B．抛物线的准线方程为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由抛物线SKIPIF1<0知，焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，所以A正确，B不正确.由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以C正确；所以SKIPIF1<0，所以D不正确.故选：AC例15．(多选题)已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则(

)A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小值为1 B．当SKIPIF1<0吋，SKIPIF1<0的最小值为4C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为3 D．当SKIPIF1<0吋，SKIPIF1<0的最大值为2【答案】ABD【解析】当SKIPIF1<0时，作抛物线SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如下图所示：可得SKIPIF1<0恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A、B正确；当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0，如下图所示：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，故C错误；则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，等号成立，故D正确.故选：ABD.例16．(多选题)已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与抛物线交于A、B两点，若SKIPIF1<0是线段AB的中点，则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由题知，SKIPIF1<0，故抛物线方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由点差法可得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0是线段AB的中点，所以SKIPIF1<0，所以直线l的斜率SKIPIF1<0因为直线l过焦点SKIPIF1<0，所以l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对于A：将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A错误；对于B：B正确；对于C：C正确；对于D：将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC例17．(多选题)已知直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是(

)A．抛物线的方程为SKIPIF1<0 B．线段SKIPIF1<0的中点到y轴的距离为SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】显然抛物线SKIPIF1<0的焦点F在x轴上，直线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，A正确；由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点横坐标为SKIPIF1<0，因此线段SKIPIF1<0的中点到y轴的距离为SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，因此线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0，C正确；显然点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，D正确.故选：ACD题型四：轨迹方程例18．若动点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离等于它到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0点的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依题意，动点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离等于它到直线SKIPIF1<0的距离，所以SKIPIF1<0的轨迹为抛物线，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：D例19．已知圆的方程为SKIPIF1<0，若抛物线过点A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设切点为(a，b)，∴SKIPIF1<0，则切线为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时也成立，设焦点(x，y)，由抛物线定义可得：SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②-①得SKIPIF1<0，代入②得SKIPIF1<0化简可得抛物线的焦点轨迹方程为SKIPIF1<0，(依题意焦点不能与A，B共线，∴y≠0．)故选：C例20．在平面直角坐标系xOy中，动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离比它到定点SKIPIF1<0的距离小1，则P的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离与定点SKIPIF1<0的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0为准线的抛物线，所以SKIPIF1<0，轨迹方程为SKIPIF1<0，故选：D例21．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆SKIPIF1<0外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0，故选：A例22．已知在平面直角坐标系中有一定点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0到y轴的距离为d，且SKIPIF1<0，则动点P的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0到y轴的距离为d，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0的距离相等，根据抛物线的定义可知：动点SKIPIF1<0的轨迹是抛物线，并且其焦点为：SKIPIF1<0，准线为：SKIPIF1<0，所以其抛物线的方程为SKIPIF1<0.故选：B.例23．与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外切，又与SKIPIF1<0轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)C．SKIPIF1<0(SKIPIF1<0) D．SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)【答案】D【解析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，半径为2．设动圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则根据题意SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：D.例24．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则SKIPIF1<0①，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0代入①，得(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)．故选：A例25．已知动圆⊙SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0，且和直线SKIPIF1<0相切，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为动圆⊙SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0，且和直线SKIPIF1<0相切，所以点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离等于它到直线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0的轨迹为以点SKIPIF1<0为焦点，直线SKIPIF1<0为准线的抛物线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，轨迹方程为SKIPIF1<0．故选：B．题型五：抛物线的几何性质例26．抛物线SKIPIF1<0上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．【答案】1或9【解析】抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0轴，设该点的坐标为SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：1或9.例27．一个正三角形的三个顶点都在抛物线SKIPIF1<0上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设等边三角形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为原点，点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，如图所示，

由图可知，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(不合题意舍去)，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．例28．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由抛物线SKIPIF1<0，可得其焦点坐标为SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点的纵坐标为SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由抛物线的定义可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例29．抛物线SKIPIF1<0在第一象限上一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该抛物线的焦点，则直线SKIPIF1<0的斜率为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意作图如下：过SKIPIF1<0引抛物线准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例30．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5/SKIPIF1<0【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以拱桥到水面的距离为SKIPIF1<0．故答案为：4.5.例31．过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线联立得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例32．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0到抛物线SKIPIF1<0的焦点的距离为4，则SKIPIF1<0______【答案】4【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0到抛物线SKIPIF1<0的焦点的距离为4，由抛物线定义可得SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为4，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：4.题型六：抛物线中的范围与最值问题例33．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例34．已知点SKIPIF1<0为拋物线SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的动点，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和最小值为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题可知，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离即为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和SKIPIF1<0，根据圆的性质可知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和最小值为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线(SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间)时取等号.故答案为：SKIPIF1<0.例35．已知M为抛物线SKIPIF1<0上的动点，F为抛物线的焦点，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】2【解析】设点SKIPIF1<0在准线SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，根据抛物线的定义可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0最小，只需要SKIPIF1<0最小即可，由于SKIPIF1<0在抛物线内，故当SKIPIF1<0三点共线时，此时SKIPIF1<0最小，故最小值为SKIPIF1<0，故答案为：2例36．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，定点SKIPIF1<0，点P是抛物线上一个动点，则SKIPIF1<0的最小值为______________.【答案】5【解析】抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，根据抛物线的定义可知，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例37．已知点P到直线SKIPIF1<0与到点SKIPIF1<0的距离相等，点Q在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_____.【答案】3【解析】设SKIPIF1<0，因为点P到直线SKIPIF1<0与到点SKIPIF1<0的距离相等，所以P点轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的抛物线，即SKIPIF1<0；设圆SKIPIF1<0的圆心为M，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：3.例38．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0取最小值时点SKIPIF1<0的坐标为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例39．SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则SKIPIF1<0的最小值是___________．【答案】4【解析】如图所示：设点SKIPIF1<0在准线上的射影为SKIPIF1<0，抛物线准线为SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0,则根据抛物线的定义可知SKIPIF1<0，所以要求SKIPIF1<0取得最小值，即求SKIPIF1<0取得最小，由图可知当SKIPIF1<0三点共线即三点处于SKIPIF1<0时有最小值，且为：SKIPIF1<0，故答案为：4.例40．若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在抛物线上移动，为使SKIPIF1<0最小，点SKIPIF1<0的坐标应为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0以及抛物线SKIPIF1<0可知，点SKIPIF1<0在抛物线内部，如下图所示：抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0；作SKIPIF1<0垂直于准线，垂足为SKIPIF1<0，由抛物线定义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0三点纵坐标相同，所以点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例41．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，那么点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离与点SKIPIF1<0到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点SKIPIF1<0的坐标为_________【答案】SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，如下图所示：由抛物线的定义，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0.因此，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离与点SKIPIF1<0到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例42．已知点P为抛物线C：SKIPIF1<0上的动点，直线l：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为圆M：SKIPIF1<0上的动点，设点P到直线l的距离为d，则SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由题意可得：抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为直线l：SKIPIF1<0，圆M：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由抛物线的定义知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当P，F，M三点共线时，取最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型七：焦半径问题例43．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0是抛物线C上一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】9【解析】由题可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：9例44．若抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在此抛物线上且横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：6例45．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，直线SKIPIF1<0与抛物线交于点M，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______.【答案】2【解析】把SKIPIF1<0代入抛物线标准方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，根据抛物线的定义有，SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：2例46．过抛物线SKIPIF1<0的焦点F作直线l交抛物线C于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由抛物线SKIPIF1<0可知，焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0在第一象限，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例47．过抛物线M：SKIPIF1<0焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为抛物线M：SKIPIF1<0，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线SKIPIF1<0准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点P到M的准线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由抛物线定义知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．例48．若抛物线SKIPIF1<0上一点P到焦点的距离为4，则点P到原点的距离为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则点P到准线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点P到原点的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例49．抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例50．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SK