第11讲 圆的方程（六大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第11讲圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径．知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时SKIPIF1<0，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：SKIPIF1<0；圆与y轴相切时：SKIPIF1<0；圆与x轴相切时：SKIPIF1<0；与坐标轴相切时：SKIPIF1<0；过原点：SKIPIF1<0(2)圆的标准方程SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，它显现了圆的几何特点．(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则有(1)若点SKIPIF1<0在圆上SKIPIF1<0(2)若点SKIPIF1<0在圆外SKIPIF1<0(3)若点SKIPIF1<0在圆内SKIPIF1<0知识点三：圆的一般方程当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0叫做圆的一般方程．SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径．知识点诠释：由方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，方程只有实数解SKIPIF1<0．它表示一个点．(2)当SKIPIF1<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当SKIPIF1<0时，可以看出方程表示以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆．知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据已知条件，建立关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方程组．(3)解方程组，求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量SKIPIF1<0之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用SKIPIF1<0表示轨迹(曲线)上任一点SKIPIF1<0的坐标；(2)列出关于SKIPIF1<0的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答．【典例例题】题型一：圆的标准方程例1．圆心在原点，半径是SKIPIF1<0的圆的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为圆的圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为SKIPIF1<0，故选：A.例2．圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆是SKIPIF1<0.故选：D.例3．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】设圆心SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0.即圆C的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B例4．已知圆C：SKIPIF1<0，O为原点，则以SKIPIF1<0为直径的圆方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由圆C：SKIPIF1<0可知圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为直径的圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故所求圆的方程为：SKIPIF1<0.故选：D例5．若过点SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，从而圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，故选:D.例6．若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线SKIPIF1<0的距离为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．3【解析】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以设圆的方程为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则圆心到直线的距离为SKIPIF1<0.故选：A例7．SKIPIF1<0三个顶点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意，直线AC斜率SKIPIF1<0，直线BC斜率SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0外接圆是以线段SKIPIF1<0为直径的圆，AB的中点为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A例8．已知圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上，则圆SKIPIF1<0的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0，因此圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，故选：A例9．与直线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0的圆的方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆的方程为SKIPIF1<0，根据题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该圆的方程为SKIPIF1<0.故选：D.例10．已知圆SKIPIF1<0的圆心在SKIPIF1<0轴上，半径长为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆心SKIPIF1<0，则半径SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，故选：D.题型二：圆的一般方程例11．圆SKIPIF1<0的半径为(

)A．2 B．4 C．8 D．16【解析】圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以半径SKIPIF1<0.故选：B例12．已知圆SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0及半径SKIPIF1<0分别为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.故选：A例13．求以SKIPIF1<0为圆心，且经过点SKIPIF1<0的圆的一般方程(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意得，圆的半径SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，所以圆的一般方程为SKIPIF1<0.故选：C.例14．SKIPIF1<0三个顶点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设所求圆方程为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点都在圆上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即所求圆方程为：SKIPIF1<0.故选：C.例15．已知圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则圆SKIPIF1<0的方程为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆的一般方程为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：C.例16．若不同的四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共圆，则a的值为(

)A．1 B．3 C．SKIPIF1<0 D．7【解析】设圆的方程为SKIPIF1<0，分别代入A，B，C三点坐标，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以A，B，C三点确定的圆的方程为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0也在此圆上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得a＝7或SKIPIF1<0(舍去)．故选：D．例17．与圆SKIPIF1<0同圆心，且过点SKIPIF1<0的圆的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意，设所求圆的方程为SKIPIF1<0，由于所求圆过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求圆的方程为SKIPIF1<0．故选：B题型三：点与圆的位置关系例18．点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【解析】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在圆内.故选：B例19．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(

)A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【解析】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：SKIPIF1<0恒成立，故点P在圆外，故选：A.例20．点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)．A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定【解析】因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外.故选：B例21．已知圆的方程是SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0(

)A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外【解析】因为SKIPIF1<0，所以点P在圆内．故选：C．题型四：二元二次曲线与圆的关系例22．(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】根据二元二次方程SKIPIF1<0表示圆的条件，对于A中，方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程SKIPIF1<0中，存在SKIPIF1<0项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.例23．(多选题)方程SKIPIF1<0表示圆，则实数a的可能取值为(

)A．4 B．2 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】把方程SKIPIF1<0整理成SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若表示圆则满足SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，观察答案中只有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0符合题意.故选：AD例24．(多选题)已知方程SKIPIF1<0，下列叙述正确的是(

)A．方程表示的是圆.B．当SKIPIF1<0时，方程表示过原点的圆.C．方程表示的圆的圆心在SKIPIF1<0轴上.D．方程表示的圆的圆心在SKIPIF1<0轴上.【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；对于A，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则方程不表示圆，A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，则方程表示以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则圆心在SKIPIF1<0轴上，不在SKIPIF1<0轴上，C正确，D错误.故选：BC.例25．(多选题)已知方程SKIPIF1<0表示一个圆，则实数SKIPIF1<0可能的取值为(

)A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】因为方程表示一个圆，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：BC.例26．(多选题)方程SKIPIF1<0表示圆的充分不必要条件可以是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】SKIPIF1<0可化为：SKIPIF1<0，因为该方程表示圆，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0表示圆的充要条件为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的真子集，SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的真子集，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为方程SKIPIF1<0表示圆的充分不必要条件，故选：CD.例27．(多选题)使方程SKIPIF1<0表示圆的实数a的可能取值为(

)A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】SKIPIF1<0，配方得：SKIPIF1<0，要想表示圆，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：BC题型五：圆过定点问题例28．对任意实数SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0恒过定点，则定点坐标为__．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以定点的坐标是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例29．若抛物线SKIPIF1<0与坐标轴分别交于三个不同的点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】SKIPIF1<0【解析】设抛物线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，设圆心为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，方程组SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0的外接圆恒过的定点坐标为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例30．已知二次函数SKIPIF1<0的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0经过定点的坐标为_______(其坐标与SKIPIF1<0无关)【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【解析】二次函数SKIPIF1<0的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①－②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，代入③得SKIPIF1<0，∴圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∴圆SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．例31．对任意实数SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0恒过定点，则其坐标为______.【答案】SKIPIF1<0、SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0由得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故填：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.例32．已知方程SKIPIF1<0表示圆，其中SKIPIF1<0，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，它表示过圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交点的圆.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即定点坐标为SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0题型六：轨迹问题例33．已知线段AB的端点B的坐标为SKIPIF1<0，端点A在圆C：SKIPIF1<0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为SKIPIF1<0，点A的坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且P为线段AB的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为点A在圆C：SKIPIF1<0上运动，即有SKIPIF1<0，代入可得，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，化为标准方程可得SKIPIF1<0.所以，中点P的轨迹方程为SKIPIF1<0，该轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆.例34．如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0故所求轨迹方程为SKIPIF1<0.例35．已知方程SKIPIF1<0表示圆，其圆心为SKIPIF1<0.(1)求圆心坐标以及该圆半径SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的端点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，端点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，求线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【解析】(1)方程SKIPIF1<0可变为：SKIPIF1<0由方程表示圆，所以SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.圆心坐标为SKIPIF1<0.(2)当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由端点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.例36．已知圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点.(1)求圆SKIPIF1<0的方程；(2)设点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【解析】(1)设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别代入方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.例37．已知圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.(1)求圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若动点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离等于2，求点SKIPIF1<0的轨迹方程.【解析】(1)将圆心坐标代入直线得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆心坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故圆的标准方程为SKIPIF1<0.(2)由点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离等于2，则点SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为圆心，半径为2的圆，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.例38．(1)已知两定点SKIPIF1<0，若动点P满足SKIPIF1<0，则P的轨迹方程．(2)已知线段SKIPIF1<0的中点C的坐标是SKIPIF1<0，端点A在圆SKIPIF1<0上运动，则线段SKIPIF1<0的端点B的轨迹方程．【解析】(1)设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由A在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，所以B的轨迹方程为SKIPIF1<0.例39．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.【解析】设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为SKIPIF1<0，线段MN的中点坐标为SKIPIF1<0.由于平行四边形的对角线互相平分，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(点P在直线OM上的情况).例40．已知SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，求动点P的轨迹．【解析】由题意，点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0落在以SKIPIF1<0为直径的圆上，其中圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆，且除去点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【过关测试】一、单选题1．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则圆的标准方程是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，直径为SKIPIF1<0，所以圆的标准方程是SKIPIF1<0.故选：C.2．若圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则实数a的值为(

)A．0或2 B．0或-2C．0或SKIPIF1<0 D．-2或2【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为：SKIPIF1<0，所以，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.因为圆心SKIPIF1<0到直线的距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：A.3．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆SKIPIF1<0的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】将圆SKIPIF1<0化成标准形式得SKIPIF1<0，所以已知圆的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，半径也为1，设SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，故选：B4．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆SKIPIF1<0的方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意知,圆SKIPIF1<0的圆心与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，且两圆半径相等，因为圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.5．过三点SKIPIF1<0的圆的一般方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设圆的方程为SKIPIF1<0，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求的圆的一般方程为SKIPIF1<0，故选：D．6．若点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0的中点，则弦SKIPIF1<0所在的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：C.7．若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，则a的取值范围是().A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可知，半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以故a的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D8．)动直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长，则SKIPIF1<0的最小值(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意，动直线SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题9．圆SKIPIF1<0()A．关于点SKIPIF1<0对称 B．半径为SKIPIF1<0C．关于直线SKIPIF1<0对称 D．关于直线SKIPIF1<0对称【答案】ABD【解析】SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，即该圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.由圆的性质可知该圆关于点SKIPIF1<0对称，故AB正确；因为圆心SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，所以该圆不关于直线SKIPIF1<0对称，故C错误；因为圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以该圆关于直线SKIPIF1<0对称，故D正确；故选：ABD10．已知方程SKIPIF1<0表示一个圆，则实数SKIPIF1<0可能的取值为(

)A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】因为方程表示一个圆，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：BC.11．已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的外部，则SKIPIF1<0的取值可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：AC.12．已知圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0对称，则下列结论正确的是(

)A．圆SKIPIF1<0的圆心是SKIPIF1<0B．圆SKIPIF1<0的半径是2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】ABCD【解析】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得SKIPIF1<0，所以，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线SKIPIF1<0经过圆心，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故C项正确；对于D项，由C知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故D项正确.故选：ABCD.三、填空题13．若l是经过点SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】将圆化为标准方程可得，SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0.代入直线SKIPIF1<0的两点式方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，l在y轴上的截距是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．圆过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求面积最小的圆的一般方程为________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0为圆的直径时，过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圆的半径最小，从而面积最小．因为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求圆的半径为SKIPIF1<0，所以，所求圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作圆的两条切线，切点A、B，则SKIPIF1<0的外接圆的方程是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圆SKIPIF1<0，得到圆心O坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的外接圆为四边形SKIPIF1<0的外接圆，如图所示，又SKIPIF1<0，∴外接圆的直径为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，外接圆的圆心C为线段OP的中点，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆方程是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<016．在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，则线段AP的中点SKIPIF1<0的轨迹方程是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为SKIPIF1<0的一条中位线，SKIPIF1<0，即有DQ∥OP，且SKIPIF1<0，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为SKIPIF1<0.故