第08讲 直线的倾斜角与斜率（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第08讲直线的倾斜角与斜率【题型归纳目录】题型一：直线的倾斜角与斜率定义题型二：斜率与倾斜角的变化关系题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数题型四：直线与线段相交关系求斜率范围题型五：直线平行题型六：直线垂直题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与SKIPIF1<0轴相交的直线，如果把SKIPIF1<0轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做直线的倾斜角．规定：当直线和SKIPIF1<0轴平行或重合时，直线倾斜角为SKIPIF1<0，所以，倾斜角的范围是SKIPIF1<0．知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②SKIPIF1<0轴正向；③小于SKIPIF1<0的角．2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由SKIPIF1<0轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．3、倾斜角SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，直线与x轴平行或与x轴重合．4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．知识点二：直线的斜率1、定义：倾斜角不是SKIPIF1<0的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0．知识点诠释：(1)当直线SKIPIF1<0与x轴平行或重合时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)直线SKIPIF1<0与x轴垂直时，SKIPIF1<0，k不存在．由此可知，一条直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直线的倾斜角SKIPIF1<0与斜率SKIPIF1<0之间的关系由斜率的定义可知，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内时，直线的斜率大于零；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范围内时，直线的斜率小于零；当SKIPIF1<0时，直线的斜率为零；当SKIPIF1<0时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(SKIPIF1<0除外)为一一对应关系，且在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．知识点三：斜率公式已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，过两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线的斜率公式SKIPIF1<0．知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当SKIPIF1<0时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴垂直；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的顺序无关，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率SKIPIF1<0可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当SKIPIF1<0时，斜率SKIPIF1<0，直线的倾斜角SKIPIF1<0，直线与SKIPIF1<0轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0点的坐标求SKIPIF1<0的值；(2)已知SKIPIF1<0及SKIPIF1<0中的三个量可求第四个量；(3)已知SKIPIF1<0及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的横坐标(或纵坐标)可求SKIPIF1<0；(4)证明三点共线．知识点四：两直线平行的条件设两条不重合的直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相等．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．反之，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点诠释：1、公式SKIPIF1<0成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0不重合；2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，SKIPIF1<0的倾斜角都是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点五：两直线垂直的条件设两条直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．知识点诠释：1、公式SKIPIF1<0成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．【典例例题】题型一：直线的倾斜角与斜率定义例1．直线SKIPIF1<0的倾斜角为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．对于下列命题：①若SKIPIF1<0是直线l的倾斜角，则SKIPIF1<0；②若直线倾斜角为SKIPIF1<0，则它斜率SKIPIF1<0；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4例3．已知倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例4．直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例5．已知直线经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，该直线的倾斜角为(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．直线n的倾斜角为150°，则它的斜率k＝()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：斜率与倾斜角的变化关系例7．已知直线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8．若如图中的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．若过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．已知直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的倾斜角为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．若直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数例13．经过点SKIPIF1<0的直线的斜率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7例15．已知直线斜率等于SKIPIF1<0，则该直线的倾斜角为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．若过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为150°，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．3例17．若直线经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且其倾斜角为135°，则m的值为(

)A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例18．设SKIPIF1<0为实数，已知过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．2 B．3 C．4 D．5题型四：直线与线段相交关系求斜率范围例19．已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例20．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且与线段SKIPIF1<0有交点，则SKIPIF1<0的斜率的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例21．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例22．已知两点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与线段SKIPIF1<0有交点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例23．经过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与连接点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的线段总有公共点，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例24．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0题型五：直线平行例25．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当SKIPIF1<0时，m＝_________例26．已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是______．例27．直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系为______.例28．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________.例29．已知两条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相平行，则正数a的值为____.例30．已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______．题型六：直线垂直例31．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是______．例32．已知SKIPIF1<0三点，则△ABC为__________三角形.例33．已知两条直线SKIPIF1<0的斜率是方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是______例34．已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则实数a的值为________．例35．已知经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线l1与经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0互相垂直，则实数SKIPIF1<0_____.例36．已知直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________________.题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用例37．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设三角形SKIPIF1<0的顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点(异于端点)，设SKIPIF1<0均为非零实数，直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.

例38．已知SKIPIF1<0，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.例39．在平面直角坐标系中，四边形SKIPIF1<0的顶点按逆时针顺序依次是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，试判断四边形SKIPIF1<0的形状，并给出证明．例40．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以构成平行四边形，求点SKIPIF1<0的坐标；(2)在(1)的条件下，判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成的平行四边形是否为菱形.例41．已知四边形ABCD的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【过关测试】一、单选题1．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0(

)A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直线l的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与l垂直，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．23．已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的(

)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．以SKIPIF1<0为顶点的四边形是(

)A．平行四边形，但不是矩形B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形5．已知坐标平面内三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一动点，则直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0的变化范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．若过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的倾斜角为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多选题9．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是SKIPIF1<0，斜率分别为SKIPIF1<0，则下列命题正确的是(

)A．若斜率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若倾斜角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<010．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，其倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转45°后得直线SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角可能为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知点SKIPIF1<0,若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，则直线SKIPIF1<0的倾斜角可以是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为直角三角形，则可能有()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题13．直线SKIPIF1<0的倾斜角是_____