第9章 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第5课时离散型随机变量的分布列和数字特征[考试要求]1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)离散型随机变量分布列的性质①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．3．两点分布如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．4．离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i=1nxipi为随机变量X的均值(2)方差称D(X)＝i=1nxi−EX2pi为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的偏离程度，并称5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b为常数)(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)[常用结论]1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． ()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ()(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点D[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.]2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．13[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝13．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为X－101P111若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．73[E(X)＝－12+则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝74．已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝72，D(X)＝3512，则E(X916[因为E(X)＝72，D(X)＝由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝3512+7考点一分布列的性质[典例1](1)(多选)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(A．a＝1B．P12<ξ<C．P110<ξ<D．P(ξ＝1)＝3(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P11－qq－q2则q＝________．(1)AB(2)22[(1)∵随机变量ξPξ=k5＝ak(∴Pξ=15＋Pξ=25＋Pξ=35＋Pξ=45＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5易知P12<ξ<45＝Pξ=35易知P110<ξ<12＝Pξ=15＋Pξ=25易知P(ξ＝1)＝5×115＝1故选AB.(2)由离散型随机变量分布列的性质得12+1−q+q−q2=1分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．[跟进训练]1．(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1，2]C．(1，2] D．(1，2)(2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________．(1)C(2)0.3[(1)由随机变量X的分布列知，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，故当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].(2)因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，所以P(ξ＝i)＝110(i＝1，2，3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19，则P(η＝j)＝110(j＝1，3，5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3【教师备选资源】(1)离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则PA．23 B．3C．45 D．(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m①求2X＋1的分布列；②求随机变量η＝|X－1|的分布列．(1)D[(1)因为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，4)，所以a2+a6+a12+a20＝1，即a＝54，所以P12(2)[解]①由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为X012342X＋113579从而2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3②由①知m＝0.3，列表为X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3考点二离散型随机变量的分布列及数字特征[典例2](2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．[解](1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(ABC＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由题意可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.离散型随机变量分布列的求解步骤[跟进训练]2．(1)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．(2)(2024年1月九省联考卷)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．①求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；②记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．(1)11[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝2A33ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝C31Aξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝1A33所以ξ的分布列为ξ013P111E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×1D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝(2)[解]①记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字，有C4然后每种小球各取1个，有C21×C21×②由题意可知，X的可能取值为1，2，3，当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以P(X＝1)＝C21C当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以P(X＝2)＝C21C当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以P(X＝3)＝C21C所以X的分布列为X123P921所以E(x)＝1×914＋2×27＋3×114考点三数字特征在决策中的应用[典例3](2024·湖北武汉模拟)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止．(1)记总的抽取次数为X，求E(X)；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系．[解](1)X可能取值为4，5，6，7，P(X＝4)＝C33C74＝135，P(P(X＝6)＝C53C74＝27，P(所以E(X)＝4×135＋5×435＋6×27＋7×4(2)Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为Y1和Y2，P(Y＝4)＝P(Y1＝2)P(Y2＝2)＝C11CP(Y＝5)＝P(Y1＝2)P(Y2＝3)＋P(Y1＝3)P(Y2＝2)＝C11CP(Y＝6)＝P(Y1＝2)P(Y2＝4)＋P(Y1＝3)P(Y2＝3)＝C11CP(Y＝7)＝P(Y1＝3)P(Y2＝4)＝C21C所以E(Y)＝4×118＋5×29＋6×718＋7×1在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其他球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低．利用均值、方差进行决策的方法随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．[跟进训练]3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．[解](1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【教师备选资源】2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中13<p<(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围．[解](1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为P1＝13×p＋23×p×13＝第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为P2＝p×13＋(1－p)×13×p＝－13p2＋因为13<p<12，所以P1－P2＝13p2＝13pp−13>0，所以P1>所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．(2)由已知X＝4.5万元或X＝3.6万元．由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．此时，业余队获胜的概率为P1＝59p专业队获胜的概率为P3＝23×(1－p)＋13×(1－p)×23＝所以非平局的概率为P(X＝4.5)＝P1＋P3＝89−平局的概率为P(X＝3.6)＝1－P1－P3＝19+X的分布列为X4.53.6P(x)8919X的数学期望为E(x)＝4.5×89−13p＋3.6×19而13<p<12，所以E(x)的取值范围为(4.25，课时分层作业(六十七)离散型随机变量的分布列和数字特征一、单项选择题1．(2024·浙江温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝13，则D(3XX－101P1abA．59B．5C[∵E(X)＝13，∴由随机变量X16+a+b=1∴D(X)＝−1−132∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×59＝5.故2．(2023·山东烟台高考适应性练习)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A．13 B．2C．2 D．8D[由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝1C32＝13，P(X＝3)＝C21C32＝23，所以E(3．(2024·云南昆明模拟)甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，摸出红球的个数Y的均值和方差分别为E(Y)，D(Y)，则()A．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)B．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y)C．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)C[由题意，甲箱中摸到白球的概率为35，摸到红球的概率为2乙箱中摸到白球的概率为36＝12，摸到红球的概率为36由题意可知X的可能取值为0，1，2，所以P(X＝0)＝25×12＝15，P(X＝1)＝35×12+2所以E(X)＝0×15＋1×12＋2×310D(X)＝15×1110−02＋由题意可知Y的可能取值为0，1，2，所以P(Y＝0)＝35×12＝310，P(Y＝1)＝25×12+3所以E(Y)＝0×310＋1×12＋2×15D(Y)＝310×910−02＋所以E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)．故选C.]4．(2023·江苏盐城中学三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(A．24181 B．266C．27481 D．B[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为232＋13若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝59，P(ξ＝4)＝49×ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，P(ξ＝6)＝492＝故E(ξ)＝2×59＋4×2081＋6×16815．(2024·湖北咸宁模拟)设0<a<1，随机变量X的分布列是X0a1P111则当a在(0，1)内减小时()A．D(X)减小 B．D(X)增大C．D(X)先减小后增大 D．D(X)先增大后减小C[根据题意可得，E(X)＝0+a+13＝a+13，D(X)＝0−a+132×13+a−a+132×13+6．(2024·山东济南模拟)已知等差数列{an}的公差为d，随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0<ai<1)，i＝1，2，3，4，则d的取值范围是()A．−12，1C．−16，1D[因为随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0<ai<1)，i＝1，2，3，4，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，也即a1＋a2＋a3＋a4＝1，又因为an是公差为d所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d，所以a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝1，则a1＝14−32d，a2＝a1＋d＝14−12d，a3＝a1＋2d＝14+12d因为0<ai<1，所以0<1解得－16<d<1二、多项选择题7．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝13A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝4AB[依题意P(X＝0)＝13，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝2所以E(X)＝0×13＋1×23＝23，D(X)＝0−所以P(X＝1)＝E(X)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23D(3X＋2)＝32D(X)＝32×29故选AB.]8．假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为XA．目标被击中的概率为31B．P(X＝1)＝3C．E(x)＝23D．D(x)＝87BD[由题意可得，目标没有被击中的概率为143＝164，所以目标被击中的概率为1－1易知该射手每次射击未命中的概率为14X的可能取值为1，2，3，所以P(X＝1)＝34P(X＝2)＝14×34＝316，P(X所以X的分布列为X123P331E(x)＝1×34＋2×316＋3×116＝2116，D(x)＝故选BD.]三、填空题9．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6,若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响.设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则Eξ＝________．4.4[由题意可得，ξ可能取值为2，4，6，P(ξ＝2)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝4)＝C21×0.6×0.4＝P(ξ＝6)＝0.6×0.6＝0.36，所以Eξ＝2×0.16＋4×0.48＋6×0.36＝4.4．]10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________．1635127[由题意知P(ξ＝2)＝ξ的所有可能取值为1，2，3，4.P(ξ＝1)＝C62C73＝1535＝37，P(ξ＝2)＝1635，P(ξ＝3)＝C32C73＝335，P(ξ＝4)＝135，∴E(ξ)＝1×四、解答题11．(2023·广东深圳二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第k次投进的概率为p(0<p<1)，当第k次投进时，第k＋1次也投进的概率保持p不变；当第k次没能投进时，第k＋1次能投进的概率降为p2(1)若选手甲第1次投进的概率为p(0<p<1)，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第1次投进的概率为23，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分X[解](1)记选手甲第k次投进为事件Ak(k＝1，2，3)，未投进为事件Ak，选手甲至少投进一次这一事件的概率为1－P(A因为P(A1A2A3所求概率为1－P(A1A(2)得分X等于乙投进的次数，则X的可能取值为0，1，2，3.记选手乙第k次投进为事件Bk(k＝1，2，3)，P(X＝0)＝P(B1B2投进1次对应事件为B1B2B3＋B1B2B3P(X＝1)＝23×1投进2次对应事件为B1B2B3＋B1B2B3＋B1B2P(X＝2)＝23×23×13+23×13×13+1所以X的分布列为X0123P5778选手乙得分的数学期望E(X)＝0×527＋1×727＋2×727＋3×812．(2024·江西上饶模拟)甲、乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为12；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为13，35，(1)若m＝25(2)招