第9章 第4课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[考试要求]1．了解两个事件相互独立的含义.2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．1．事件的相互独立性概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝nAB②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝i=1n[常用结论]1．事件的关系与运算(1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为AB(2)A，B恰有一个发生的事件为AB+2．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝PAiPBAiPB＝3．P(AB)求法：(1)古典概型；(2)相互独立：P(AB)＝P(A)P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件． ()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． ()(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率． ()(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是()A．A与B相互独立 B．A与C相互独立C．A与C互斥 D．A与B互斥AB[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．]2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为()A．12 B．2C．35 D．D[根据题意，在第1次抽到几何题后，还剩4道题，其中有3道代数题，则第2次抽到代数题的概率P＝343．(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56C[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB+A所以P(AB+A＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝4．(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)某同学喜爱篮球和跑步运动．在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为34.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为2911[设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知P(A)＝P(AB)＝34，P(B|A)＝23∴P(A|B)＝PABPB＝考点一事件的相互独立性[典例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立(2)(2023·陕西西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是1A．两个球都是红球的概率为1B．两个球中恰有1个红球的概率为1C．两个球不都是红球的概率为1D．至少有1个红球的概率为2(1)B(2)C[(1)事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)·P(丙)，A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝(2)两个球都是红球的概率为13×1两个球中恰有1个红球的概率为13×1−两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－16＝5至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为16+11．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[跟进训练]1．(1)(2023·湖北武汉三模)设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，则A，B，C三个事件________(填“是”或“不是”)两两独立，且PABC(2)(2024·山东淄博模拟)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．①求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；②求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．(1)是2[由题意，可得P(A)＝12，P(B)＝12，P(C)＝且P(AB)＝14，P(AC)＝14，P(BC)＝14，P(ABC所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，所以事件A，B，C是相互独立事件，且PABCPA(2)[解]①设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1，2，3，…)，又打了X个球比赛结束，则P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1＝P(A1)P(A2)＋P(A1＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.②P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A2A3A4)＋P＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.【教师备选资源】甲、乙、丙三人进行网球比赛，约定赛制如下：累计负两场被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个人，另一个人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，双方获胜的概率都为12(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率．[解](1)记事件A为甲胜乙，则P(A)＝12，则P(A)＝1－12＝事件B为甲胜丙，则P(B)＝12，则P(B)＝1－12＝事件C为乙胜丙，则P(C)＝12，则P(C)＝1－12＝前三场比赛结束后，丙被淘汰可用事件CAC∪CAB来表示，所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为P1＝P(CAC)＋P(CAB)＝12×12×12＋12×12(2)若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA∪CBAB来表示，P(CABA∪CBAB)＝P(CABA)＋P(CBAB)＝P(C)P(A)P(B)P(A)＋P(C)P(B)P(A)P(B)＝12×12×12×12＋12×12×若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CACA来表示，P(CACA)＝P(C)P(A)P(C)P(A)＝12×12×12×1若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CBP(CBCB)＝P(C)P(B)P(C)P(B)＝12×12×1所以只需四场比赛就决出冠军的概率为P2＝18＋116＋116考点二条件概率[典例2](1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4(2)(2024·天津武清模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中一次性任取3球，则恰有一个白球的概率是________；若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B，则P(B|A)＝________．(1)A(2)3535[(1)法一(图示法)：如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1．所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为BB+C法二(运用条件概率的计算公式求解)：令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝PABPB＝0.4(2)恰有一个白球的概率P＝C21C由题可知A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”，则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PAB(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nAB[跟进训练]2．(1)(2023·辽宁锦州二模)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是12、23、2A．49 B．3C．14 D．(2)(2022·天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为________．(1)C(2)1221117[(1)设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1，A2能正常工作的概率为1－1−231−23＝89，所以P(A)＝12×89＝49，又因为P(AB)＝P(B(2)由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P(BC)＝452×351＝1221，P(B)＝452＝113，所以P(C|B考点三全概率公式的应用[典例3](2024·山西大同模拟)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同．(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．[解](1)依题意，记事件Ai表示第i次从第一个盒子里取出红球，记事件B表示两次取球中有红球，则P(B)＝1－P(B)＝1－35×24＝1－P(A2B)＝PA2BPB＝(2)记事件C1表示从第一个盒子里取出红球，记事件C2表示从第一个盒子里取出白球，记事件D表示从第二个盒子里取出红球，则P(D)＝P(C1)P(DC1)＋P(C2)P(DC2)＝25×5“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．[跟进训练]3．(1)(2023·合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是()A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096(2)(2024·广东梅州模拟)有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为________；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为________．(1)B(2)5310001853[(1)设事件B1表示“被保险人是'谨慎的'”，事件B2表示“被保险人是'一般的'”，事件B3表示“被保险人是'冒失的'”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%，设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|由全概率公式，得P(A)＝＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175.(2)设任取一件产品来自甲厂为事件A1、来自乙厂为事件A2、来自丙厂为事件A3，则彼此互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，P(A1)＝30003000+3000+4000＝3P(A2)＝30003000+3000+4000＝3P(A3)＝40003000+3000+4000＝2设任取一件产品，取到的是次品为事件B，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(BA1＋P(A2)P(BA2)＋P(A3)P(B＝310×6%＋310×5%＋25×如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为P(A1B)＝PA1BPB＝P课时分层作业(六十六)事件的相互独立性、条件概率与全概率公式一、单项选择题1．(2024·江苏南京模拟)在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲、乙两人各自行动，则在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是()A．0.3B．0.32C．0.8D．0.84C[依题意，在这段时间内，甲、乙都不去参观市博物馆的概率为P1＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2，所以在这段时间内，甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是P＝1－P1＝1－0.2＝0.8.故选C.]2．现有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1A[根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P(A)＝5070＝57，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P(AB)＝4070＝47，则P(B|A)＝PAB3．(2023·广东广州一模)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A．0.92 B．0.93C．0.94 D．0.95B[从某地市场上购买一个电子产品，设买到的电子产品是甲厂产品为事件A，设买到的电子产品是乙厂产品为事件B，则由题意可知P(A)＝60%，P(B)＝40%，从甲厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件C，从乙厂电子产品中购买一个，设买到的电子产品是合格产品为事件D，则由题意可知P(C)＝95%，P(D)＝90%，由题意可知A，B，C，D互相独立，故从该地市场上买到一个合格产品的概率是P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝60%×95%＋40%×90%＝0.93.故选B.]4．(2023·湖北武汉三模)已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|A)＝0.3，则P(A)＝()A．34 B．3C．13 D．D[P(B)＝P(AB＋AB)＝即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]，解得P(A)＝0.2＝15故选D.]5．(2023·广东深圳二模)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为()A．13 B．2C．49 D．D[从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，若这三个数之积为偶数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9种情况，它们之和大于8有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P＝59故选D.]6．(2023·山东潍坊二模)已知事件A、B满足P(A|B)＝0.7，P(A)＝0.3，则()A．P(A∩B)＝0.3 B．P(B|A)＝0.3C．事件A，B相互独立 D．事件A，B互斥C[由题设P(A)＝1－P(A)＝0.7＝P(A|B)，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即A，B相互独立，同一试验中不互斥，而P(B)未知，无法确定P(A∩B)，P(B|A)．故选C.]7．(2023·湖南郴州三模)篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为()A．1564 B．9C．2764 D．D[由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为14，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，则概率为14×1×34+34故选D.]8．(2023·河北唐山三模)假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为()A．13 B．3C．720 D．D[设事件A表示从第一箱中取一个零件，事件B表示取出的零件是次品，则P(AB)＝PABPB＝1二、多项选择题9．(2023·山东威海一模)已知事件A，B满足P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则()A．若B⊆A，则P(AB)＝0.5B．若A与B互斥，则P(A＋B)＝0.7C．若A与B相互独立，则P(AB)＝0.9D．若P(B|A)＝0.2，则A与B相互独立BD[对于A，因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝0.2，故错误；对于B，因为A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.2＝0.7，故正确；对于C，因为P(B)＝0.2，所以P(B)＝1－0.2＝0.8，所以P(对于D，因为P(B|A)＝0.2，即PABPA＝0.2，所以P(AB)＝0.2×P(A又因为P(A)·P(B)＝0.5×0.2＝0.1，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以A与B相互独立，故正确．故选BD.]10．(2023·江苏南通一模)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则()A．P(A)＝13 B．A，BC．P(B|A)＝12 D．A，BAC[P(A)＝13，A正确；A，B可同时发生，即“第一次取红球，第二次取黄球”，A，B在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12P(B)＝23×12+13×0＝13，P(AB)＝13×12＝16，P(AB)≠三、填空题11．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将元件T21532[记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3∵电路不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]P(12．(2024·湖南长沙模拟)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，131537[法一：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”则P(A)＝P(B)＝P(C)＝13，P(D|A)＝1P(D|B)＝15，P(D|C)＝1P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)＝13×14+15+16＝37180.小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是P(A法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P＝1414四、解答题13．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝110，P2＝19，P3＝(1)求试生产该款芯片在进入第四道工序前的次品率