第5章 高考培优6　极化恒等式的应用-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

极化恒等式的应用极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14在平行四边形ABDC中，O是对角线的交点，则(1)平行四边形模式：AB·AC＝14(|AD|2－|BC(2)三角形模式：AB·AC＝|AO|2－14|BC题型一求数量积[典例1](1)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A．1B．2C．3D．5(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·(1)A(2)78[(1)因为a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]＝14×(10－6)＝1，所以a·(2)设DC＝a，DF＝b，BA·CA＝|AD|2－|BD|2＝9b2－a2＝4，BF·CF＝|FD|2－|BD|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝58，所以BE·CE＝|ED|2－|BD|2＝4b2－a2＝7利用极化恒等式求数量积的步骤(1)取第三边的中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．[跟进训练]1．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB·AD＝－7，则9[∵AB·AD＝|AO|2－14|BD∴14|BD|2∴BC·DC＝|CO|2－14|BD|2题型二求数量积的最值(范围)[典例2]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PCA．－2 B．－32C．－43 B[法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，连接AD，设AD的中点为E，连接PE，PD，则有PB+PC＝2则PA·(PB+PC)＝2PA·PD＝2(PE+EA)·(PE−EA)＝2(PE2－EA2)．而EA2＝322＝34，当点P与点E法二(坐标法)：如图②，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB+PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y−322－32，当x＝0，y＝32时，利用极化恒等式求数量积的最值(范围)的关键在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.[跟进训练]2．(1)(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6](2)在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP·BP(1)D(2)－116[(1)由题意易知，点P是单位圆C(C设线段AB的中点为D，则由极化恒等式易得PA·PB＝PD2－DA2＝又CD2＝254，即|CD|＝故PDmin∴(PA·PB)min＝(PA·PB)max＝49故PA·故选D.(2)法一(极化恒等式)：如图①，取OB的中点D，连接PD，则OP·BP＝PD2－OD2＝PD2－14由图可知，当PD⊥AB时，PDmin＝34则OP·BP的最小值是－法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，则A0，32，O−12，0，B12设Px，321−2x，则OP＝x+12，321−2x，BP＝x−1当x＝38时，OP·BP【教师备选资源】已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·A．92 C．32 D．