2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}C[因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C．]2．已知z＝1−i2+2i，则zA．－iB．iC．0D．1A[因为z＝1−i2+2i＝1−i221+i1−i＝－12i，所以z＝12i，3．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D．]4．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)D[法一(复合函数法)因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝a2≥1，解得a≥2．故选法二(特值法)取a＝3，则y＝x(x－3)＝x−322－94在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除5．设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3A．233 C．3 D．6A[由已知得e1＝a2−1a，e2＝4−12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2−1a6．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．B[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2−02+0+22＝22，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα]7．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：SnA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C[若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋nn−12d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn+1n+1－Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2－[a1＋(n－1)·d2]＝d2为常数，所以Snn为等差数列，即甲⇒乙；若Snn为等差数列，设其公差为t，则Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t8．已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2A．79 B．C．－19 D．－B[依题意，得sinαcosβ−cosαsinβ=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，故选10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2ACD[因为Lp＝20×lgpp0随着p的增大而增大，且Lp1∈［60，90］，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgpp0，得p＝p010Lp20，因为Lp3＝40，所以p3＝p0104020＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010Lp220＞10p010Lp320，所以1011．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则()A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点ABC[取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，故选ABC．]12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体ABD[由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体，且2＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为3m，3＜1.8，所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为3m，而底面直径为1.2m的圆柱体，其高0.01m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．64[法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C82−C42−C42＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C8314．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．766[法一：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12−BE2＝2−12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22．连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2−BO2＝6，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD−A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766．(或者V四棱锥P-ABCD＝13×22×6＝463，V四棱锥P−A15．已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．[2，3)[法一：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．法二：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cosx在[0，2π]上的图象可知，cosx＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cosωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即2×2πω≤2π3×2πω＞2π16．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A355[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)，因为F2A＝－23F1A＝83c，−23y0，F1B＝(c，y0)，因为F1A⊥F1因为点A53c，−23y0在双曲线C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2法二：由法一得A53c，−23y0，y02＝4c2，所以|AF1|＝53c+c2+−23y02＝64c29+4y029＝64c29+16c29＝45c3，|法三：由F2A＝－23F2B可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝23|F2B|．设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由F1A⊥F1B可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝AB2−BF12＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m．过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则12|AB|·|F1D|＝12|F1A|·|F1B|，即12×5m×|F1D|＝12×4m×3m，所以|F1D|＝125m，所以|BD|＝BF12−F1D2＝95m，所以|F2D|＝四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．解：法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sinA−π4＝sin展开并整理得2(sinA－cosA)＝22(cosA＋sinA得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝310(2)由正弦定理BCsinA＝得BC＝ABsinC·sinA＝522×由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cosπ4整理得AC2－310AC＋20＝0，解得AC＝10或AC＝210．由(1)得，tanA＝3＞3，所以π3＜A＜π又A＋B＝3π4，所以B＞即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝210．设AB边上的高为h，则12×AB×h＝12×AC×BCsin即5h＝210×35×22解得h＝6，所以AB边上的高为6．法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tanπ4又sinA＞0，所以sinA＝332+(2)由(1)知sinA＝31010，tanA＝3＞0，所以A所以cosA＝1010所以sinB＝sin3π4−A＝22(cosA＋sinA)＝22由正弦定理ACsinB＝得AC＝AB·sinBsinC故AB边上的高为AC·sinA＝210×31018．(12分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P．解：(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，所以B2C2所以B2C2＝A2D2，所以B2C2(2)设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)，所以PA2＝(2，0，1－n)，PC设平面PA2C2的法向量为a＝(x1，y1，z1)，所以PA2令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)．设平面A2C2D2的法向量为b＝(x2，y2，z2)，又A2C2所以A2C令y2＝1，得b＝(1，1，2)．所以|cos150°|＝|cos〈a，b〉|＝n−1+3−n+4n−12+4+整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，所以BP＝1或BP＝3，所以B2P＝1．19．(12分)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋32解：(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32＝a2－lna－12，a∈(0，＋所以g′(a)＝2a－1a，令g′(a)＞0，得a＞2令g′(a)＜0，得0＜a＜22所以函数g(a)在0，22上单调递减，在所以函数g(a)的最小值为g22＝222－ln22－所以当a＞0时，f(x)＞2lna＋32成立20．(12分)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{b(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd．因为bn＝n2+nan，所以bn＝所以S3＝3a1+a32＝3d+3d2＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝因为S3＋T3＝21，所以6d＋9d＝21，解得d＝3或d＝1因为d＞1，所以d＝3．所以{an}的通项公式为an＝3n．(2)因为bn＝n2+nan，且{b所以2b2＝b1＋b3，即2×6a2＝2a所以6a1+d－1a1＝6a1+2d，所以a解得a1＝d或a1＝2d．①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝T99＝99b1+b99因为S99－T99＝99，所以99×50d－99×即50d2－d－51＝0，解得d＝5150或d＝－1(舍去②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝T99＝99b1+b99因为S99－T99＝99，所以99×51d－99×即51d2－d－50＝0，解得d＝－5051(舍去)或d＝1(舍去综上，d＝515021．(12分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(Xi)＝qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋BA，所以P(A)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝12，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝25pi＋所以pi＋1－13＝2又p1－13＝12－13＝16，所以数列pi−1所以pi－13＝16×所以pi＝13＋16×(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝13＋16×所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×1+25+252+…+2522．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，12的距离，记动点P(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形A