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文档简介
2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}C[因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C.]2.已知z=1−i2+2i,则zA.-iB.iC.0D.1A[因为z=1−i2+2i=1−i221+i1−i=-12i,所以z=12i,3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.]4.设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D[法一(复合函数法)因为y=2x在R上单调递增,所以y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=a2≥1,解得a≥2.故选法二(特值法)取a=3,则y=x(x-3)=x−322-94在(0,1)单调递减,所以f(x)=2x(x-3)在(0,1)单调递减,所以a=3符合题意,排除5.设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=3A.233 C.3 D.6A[由已知得e1=a2−1a,e2=4−12=32,因为e2=3e1,所以32=3×a2−1a6.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()A.1 B.15C.104 D.B[如图,由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=5,所以圆心到点(0,-2)的距离为2−02+0+22=22,由于圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sinα2=r22=522=104,所以cosα2=64,所以sinα=2sinα]7.设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:SnA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C[若{an}为等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,所以Sn=na1+nn−12d,所以Snn=a1+(n-1)·d2,所以Sn+1n+1-Snn=a1+(n+1-1)·d2-[a1+(n-1)·d2]=d2为常数,所以Snn为等差数列,即甲⇒乙;若Snn为等差数列,设其公差为t,则Snn=S11+(n-1)t=a1+(n-1)t,所以Sn=na1+n(n-1)t,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=na1+n(n-1)t-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)t]=a1+2(n-1)t,当n=1时,S1=a1也满足上式,所以an=a1+2(n-1)t(n∈N*),所以an+1-an=a1+2(n+1-1)t-[a1+2(n-1)t8.已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2A.79 B.C.-19 D.-B[依题意,得sinαcosβ−cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差BD[取x1=1,x2=x3=x4=x5=2,x6=9,则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,x1,x2,…,x6的平均数等于3,标准差为223=663,故A,C均不正确;根据中位数的定义,将x1,x2,…,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的算术平均数,由于x1是最小值,x6是最大值,故x2,x3,x4,x5的中位数是将x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数,与x1,x2,…,x6的中位数相等,故B正确;根据极差的定义,知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差,故D正确.综上,故选10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2ACD[因为Lp=20×lgpp0随着p的增大而增大,且Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],所以Lp1≥Lp2,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lgpp0,得p=p010Lp20,因为Lp3=40,所以p3=p0104020=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p010Lp220>10p010Lp320,所以1011.已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点ABC[取x=y=0,则f(0)=0,故A正确;取x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故B正确;取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确;由于f(0)=0,且函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,所以x=0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上,故选ABC.]12.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体ABD[由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m,所以选项A正确;由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体,且2>1.4,所以选项B正确;因为正方体的棱长为1m,体对角线长为3m,3<1.8,所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中,所以选项C不正确;由于正方体的体对角线长为3m,而底面直径为1.2m的圆柱体,其高0.01m可忽略不计,故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置,即可以整体放入正方体容器中,所以选项D正确.综上,故选ABD.]三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).64[法一:由题意,可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有C41C41种方案;第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有C41C42种方案;第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有法二:若学生从这8门课中选修2门课,则有C82−C42−C42=16(种)选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有C8314.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为________.766[法一:如图所示,设点O1,O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接B1D1,BD,则点O1,O分别为B1D1,BD的中点,连接O1O,则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,过点B1作B1E⊥BD,垂足为E,则B1E=O1O.因为AB=2,A1B1=1,所以OB=2,O1B1=22,所以BE=OB-OE=OB-O1B1=22,又AA1=2,所以BB1=2,B1E=BB12−BE2=2−12=62,所以O1O=62,所以V正四棱台法二:如图,将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD,因为AB=2,A1B1=1,AB∥A1B1,所以A1,B1,C1,D1分别为PA,PB,PC,PD的中点,又A1A=2,所以PA=22,即PB=22.连接BD,取BD的中点为O,连接PO,则PO⊥平面ABCD,易知BO=2,所以PO=PB2−BO2=6,所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62,所以V正四棱台ABCD−A1B1C1D1=13×(22+12+22×12)×62=766.(或者V四棱锥P-ABCD=13×22×6=463,V四棱锥P−A15.已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________.[2,3)[法一:函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cosωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ],则由余弦函数的图象可知,4π≤2ωπ<6π,解得2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).法二:函数f(x)=cosωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cosωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,根据函数y=cosx在[0,2π]上的图象可知,cosx=1在区间[0,2π]有2个根,所以若cosωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根,则函数y=cosωx在[0,2π]内至少包含2个周期,但小于3个周期,即2×2πω≤2π3×2πω>2π16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A355[法一:由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以F2A=(x1-c,y1),F2B=(-c,y0),因为F2A=-23F1A=83c,−23y0,F1B=(c,y0),因为F1A⊥F1因为点A53c,−23y0在双曲线C上,所以25c29a2-4y029b2=1,又y02=4c2,所以25c29a2法二:由法一得A53c,−23y0,y02=4c2,所以|AF1|=53c+c2+−23y02=64c29+4y029=64c29+16c29=45c3,|法三:由F2A=-23F2B可得A,B,F2三点共线,且F2在线段AB上,不妨令点A在第一象限,则点B在y轴负半轴上,易得|F2A|=23|F2B|.设|F2B|=3m(m>0),则|F2A|=2m,所以|F1B|=|F2B|=3m,|AB|=5m,由F1A⊥F1B可得∠AF1B=90°,所以|AF1|=AB2−BF12=4m,所以2a=|AF1|-|AF2|=2m,即a=m.过F1作F1D⊥AB,垂足为D(图略),则12|AB|·|F1D|=12|F1A|·|F1B|,即12×5m×|F1D|=12×4m×3m,所以|F1D|=125m,所以|BD|=BF12−F1D2=95m,所以|F2D|=四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.解:法一:(1)在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=π4因为2sin(A-C)=sinB,所以2sinA−π4=sin展开并整理得2(sinA-cosA)=22(cosA+sinA得sinA=3cosA,又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,所以sinA=310(2)由正弦定理BCsinA=得BC=ABsinC·sinA=522×由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,得52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4整理得AC2-310AC+20=0,解得AC=10或AC=210.由(1)得,tanA=3>3,所以π3<A<π又A+B=3π4,所以B>即C<B,所以AB<AC,所以AC=210.设AB边上的高为h,则12×AB×h=12×AC×BCsin即5h=210×35×22解得h=6,所以AB边上的高为6.法二:(1)在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=π4因为2sin(A-C)=sinB,所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=3cosAsinC,易得cosAcosC≠0,所以tanA=3tanC=3tanπ4又sinA>0,所以sinA=332+(2)由(1)知sinA=31010,tanA=3>0,所以A所以cosA=1010所以sinB=sin3π4−A=22(cosA+sinA)=22由正弦定理ACsinB=得AC=AB·sinBsinC故AB边上的高为AC·sinA=210×31018.(12分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.解:(1)证明:以点C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B2(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,0,2),所以B2C2所以B2C2=A2D2,所以B2C2(2)设BP=n(0≤n≤4),则P(0,2,n),所以PA2=(2,0,1-n),PC设平面PA2C2的法向量为a=(x1,y1,z1),所以PA2令x1=n-1,得a=(n-1,3-n,2).设平面A2C2D2的法向量为b=(x2,y2,z2),又A2C2所以A2C令y2=1,得b=(1,1,2).所以|cos150°|=|cos〈a,b〉|=n−1+3−n+4n−12+4+整理得n2-4n+3=0,解得n=1或n=3,所以BP=1或BP=3,所以B2P=1.19.(12分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+32解:(1)f′(x)=aex-1,当a≤0时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,令f′(x)>0,得x>-lna,令f′(x)<0,得x<-lna,所以函数f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.综上可得,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,函数f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.(2)证明:由(1)得当a>0时,函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值为f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna,令g(a)=1+a2+lna-2lna-32=a2-lna-12,a∈(0,+所以g′(a)=2a-1a,令g′(a)>0,得a>2令g′(a)<0,得0<a<22所以函数g(a)在0,22上单调递减,在所以函数g(a)的最小值为g22=222-ln22-所以当a>0时,f(x)>2lna+32成立20.(12分)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{b(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.解:(1)因为3a2=3a1+a3,所以3(a2-a1)=a1+2d,所以3d=a1+2d,所以a1=d,所以an=nd.因为bn=n2+nan,所以bn=所以S3=3a1+a32=3d+3d2=6d,T3=b1+b2+b3=因为S3+T3=21,所以6d+9d=21,解得d=3或d=1因为d>1,所以d=3.所以{an}的通项公式为an=3n.(2)因为bn=n2+nan,且{b所以2b2=b1+b3,即2×6a2=2a所以6a1+d-1a1=6a1+2d,所以a解得a1=d或a1=2d.①当a1=d时,an=nd,所以bn=n2+nan=S99=99a1+a992=T99=99b1+b99因为S99-T99=99,所以99×50d-99×即50d2-d-51=0,解得d=5150或d=-1(舍去②当a1=2d时,an=(n+1)d,所以bn=n2+nan=S99=99a1+a992=T99=99b1+b99因为S99-T99=99,所以99×51d-99×即51d2-d-50=0,解得d=-5051(舍去)或d=1(舍去综上,d=515021.(12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).解:(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B,则A=BA+BA,所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi,由题意可知,p1=12,pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8),即pi+1=0.4pi+0.2=25pi+所以pi+1-13=2又p1-13=12-13=16,所以数列pi−1所以pi-13=16×所以pi=13+16×(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0或1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,所以E(Xi)=pi.Y=X1+X2+X3+…+Xn,则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn,由(2)知,pi=13+16×所以E(Y)=p1+p2+p3+…+pn=n3+16×1+25+252+…+2522.(12分)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点P(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形A
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