第5章 第4课时　复数-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时复数[考试要求]1．通过方程的解，认识复数.2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2(a，2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a+bic+di＝a(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+[常用结论]1．(1±i)2＝±2i；1+i1−i＝i；1−2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝4．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．5．若ω＝－12±3(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.6．z＝z⇔z∈R.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0． ()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi． ()(4)方程x2＋2x＋4＝0没有解． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因为z为纯虚数，所以x2−1=0，2．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝()A．－1＋2i B．－1－2iC．3＋i D．3－iD[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i，故选D.]3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[CA＝CB+4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数5i+22＋i[5i+2＝5故其共轭复数是2＋i.]考点一复数的有关概念[典例1](1)(2023·广东广州三模)已知复数z满足|z|＋z＝2＋4i，则z＝()A．3＋4i B．3－4iC．－3＋4i D．－3－4i(2)(2023·辽宁沈阳一模)若z是纯虚数，|z|＝1，则21−z(1)C(2)1[(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，|z|＝a2+b2，所以|z|＋z＝a＋a2+b2＋bi＝2＋4i，所以(2)z是纯虚数，且|z|＝1，则有z＝±i，故21−z＝1±i，实部为1．解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．[跟进训练]1．(2023·湖北武汉二调)若虚数z使得z2＋z是实数，则z满足()A．实部是－12 B．实部是C．虚部是0 D．虚部是1A[设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z2＋z＝(a＋bi)2＋(a＋bi)＝a2＋2abi－b2＋a＋bi＝a2＋a－b2＋(2ab＋b)i.因为z2＋z是实数，所以2ab＋b＝0，b＝0(舍去)，或a＝－12考点二复数的四则运算[典例2](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1−i2+2iA．－i B．iC．0 D．1(2)(2024·河南郑州模拟)已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝()A．0 B．1C．2 D．4(1)A(2)D[(1)因为z＝1−i2+2i＝1−i221+i1−(2)由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的另一个根，则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，则m＋n＝4.故选D.](1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．[跟进训练]2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzA．－1＋3i B．－1－3iC．－13+33i(2)已知复数z＝1＋2i1−i，则1＋z＋z2＋…＋z(1)C(2)1[(1)因为z＝－1－3i，zz所以zzz−1＝−1(2)法一：因为z＝1＋2i1−i所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝1−z20251−z＝1−i法二：因为z＝1＋2i1−i所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝1＋i＋i2＋…＋i2024＝506×(1＋i－1－i)＋1＝1．]考点三复数的几何意义[典例3](1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，则下列结论正确的是()A．点P0的坐标为(1，2)B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上D．点P0与z复平面内对应的点Z间的距离的最小值为2(1)A(2)ACD[(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.(2)复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi=x＋(y－1)i|，即x−12+y2＝x2+y−12，整理得y＝易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为点P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为1−22＝2【教师备选资源】(2023·重庆统考二模)复平面内复数z满足|z－2|－|z＋2|＝2，则|z－i|的最小值为()A．32 B．5C．3 D．5B[因为|z－2|－|z＋2|＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以点(2，0)，(－2，0)为焦点，实半轴长为1的双曲线的左支，则b2＝c2－a2＝3，所以轨迹方程为x2－y23＝1(x＜0)，设z＝x＋yi，所以|z－i|＝x2+y−12＝1+y23+由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[跟进训练]3．(1)(2023·江西五市九校联考)若复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最大值为()A．1 B．3C．2 D．3(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．(1)D(2)23[(1)设z＝a＋bi，a，b∈R.则|z－2i|＝1表示复平面内点Z(a，b)到点(0，2)的距离为1，则|z|的最大值为点(0，2)到点(0，0)的距离加上1，即|z|max＝2＋1＝3.故选D.(2)法一(代数法)：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝3＋i，所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i.因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以3+a3−a2①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝a2+b法二(几何法)：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则z1＋z2对应向量由题意知|OA|＝|OB|＝|OA+如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量为BA，且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，可得|BA|＝2|OA|sin60°＝23.故|z1－z2|＝|BA|＝23.]课时分层作业(三十五)复数一、单项选择题1．(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，3)，则z的共轭复数z＝()A．1＋3i B．1－3iC．－1＋3i D．－1－3iD[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，3),∴z＝－1＋3i，则z的共轭复数z＝－1－3i，故选D.]2．(2023·全国乙卷)|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C．5 D．5C[|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5.故选C.]3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，若z－z＝23i，则复数z的虚部为()A．3 B．23C．3i D．23iA[z－z＝2bi＝23i，解得b＝3.故选A.]4．已知i是虚数单位，则化简1+iA．i B．－iC．－1 D．1D[因为1+i1−i＝1所以1+i1−i2024＝i5．(2023·山东淄博二模)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝|1＋i|，则z＝()A．22+22iC．－22+22iB[因为z(1＋i)＝|1＋i|，所以z＝1+i1+i＝21+i6．(2024·江苏南通模拟)已知复数z＝(1＋i)·(m－2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为()A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(－2，2) D．(－∞，－2)A[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，对应点(m＋2，m－2)，由于点(m＋2，m－2)在第一象限，所以m+2>0，m−2>0，二、多项选择题7．(2024·河北邯郸模拟)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则()A．p＝2 B．x2＝1－iC．x1·x2＝－2i D．xBD[因为x1＝1＋i且实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝2x1＝21+i＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由x2＝1＋i，所以x1·x2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；x1x28．下列结论正确的是()A．若复数z满足z＋z＝0，则z为纯虚数B．若复数z满足1z∈R，则z∈C．若复数z满足z2≥0，则z∈RD．若复数z1，z2满足z12+z22BC[设复数z＝0，z＋z＝0，z不为纯虚数，A错误；设复数z＝a＋bia，b∈R，则1z＝1a+bi＝a−bi设复数z＝a＋bia，b∈R，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z设复数z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，但三、填空题9．在复平面内，O为坐标原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为________．－2＋i[因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i.]10．已知复数z＝3－ai(i为虚数单位)满足|z－2|＜2，则实数a的取值范围为________．(－3，3)[由题知，z＝3＋ai，因为|z－2|＜2，所以|1＋ai|＜2，即12＋a2＜22，解得－11．(2024·湖北襄阳模拟)如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是()A．－2＋8iB．2－8iC．－1＋7iD．－2＋7iA[由题意得OA＝(3，5)，不妨设C点对应的复数为a＋bi(a<0，b>0)，则OC＝(a，b)，由OA⊥OC，|OA|＝|OC|，得a2+b2=32+52，3a+5b12．棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω＝cos2π3＋i·sin2π3A．－ω B．1ωC．ω D．ωC[依题意知，ω＝cos2π3＋i·sin2π3＝－12+32i，由棣莫弗公式，得ω4＝cos2π3+i·sin2π34＝cos8π3＋i·sin813．(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝()A．0 B．1C．2 D．3A