第4章 第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第6课时函数y＝Asin(ωx＋φ)[考试要求]1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝2f＝1T＝ωx＋φφ2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0ππ32πx－φππ32y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径提醒：两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω(ω[常用结论]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝kπω+π2ω−φω(k∈一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A． ()(2)y＝sinx的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx2．(3)将y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin2x+π(4)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2． [答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin12A．2，4π，π3 B．2，C．2，14π，－π3C[由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝12．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin2x−π3的图象，可以将函数y＝2sin2A．向右平移π6B．向右平移π3C．向左平移π6D．向左平移π3A[y＝2sin2x−π3＝2sin3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos3x+π8的图象，只需把yA．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的13D．横坐标缩短到原来的13D[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cosx+π8图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．y＝5sinπ8x+3π4＋10，x∈[6，14][从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx所以A＝12×(15－5)＝5，B＝12×又12×2πω又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y＝5sinπ8点拨：A＝ymax−ymin2，考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例1](1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx−π4的图象，则A．sinx2−7πC．sin2x−7π12(2)为得到函数y＝cos2x+π3的图象，只需将函数yA．向左平移5πB．向右平移5πC．向左平移5πD．向右平移5π(1)B(2)A[(1)依题意，将y＝sinx−π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx−π4将其图象向左平移π3个单位长度y＝sin(2)y＝cos2x+π3＝sin2x将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得到y＝sin(2x＋2φ)，故2φ＝5π6，解得φ＝5π(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移φω个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值．[跟进训练]1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于A．16 B．1C．13 D．(2)将函数y＝tanωx−π2(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π6A．32 C．3 D．6(1)C(2)A[(1)由题意知：曲线C为y＝sinωx+π2+π3＝sinωx+ωπ2+π3解得ω＝13＋2k，k∈Z.又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为1(2)将函数y＝tanωx−π2(ω＞0)的图象向左平移可得f(x)＝tanωx+π将函数y＝tanωx−π2(ω＞0)的图象向右平移可得g(x)＝tanωx−π6因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以π6ω−π2−−即π3ω＝kπ2，k∈Z，解得ω＝3k2又因为ω>0，所以ω的最小值为32【教师备选资源】(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝1A．1 B．2C．3 D．4C[把函数y＝cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y＝f(x)＝cos2x+π6+π6＝cos2x+π2＝－sin2x所以由图可知，y＝f(x)＝－sin2x的图象与直线y＝12x－12故选C.]考点二确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式[典例2](1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sinx+π3C．cos2x+π6(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则(1)BC(2)－32[(1)由题图知T2＝2π3−π6＝π2，得T＝π，即2π由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2所以sin(ωx＋φ)＝sin2x+由sin2x+2π3＝sin由sin2x+2π3＝sin由sin2x+2π3＝cos2x+综上可知，选BC.(2)设Ax1，12，Bx2，12，由|AB|＝π6由sinx＝12可知，x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝5π6−即ω(x2－x1)＝2π3，所以ω因为f2π3＝sin所以8π3＋φ＝2kπ，即φ＝－8π3＋2k由题图可知－1＜f(0)<0，即－1＜sinφ＜0，所以k＝1，则φ＝－2π3，所以f(x)＝sin4x−2π3，所以fy＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[跟进训练]2．(1)(2024·天门模拟)函数f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，φ<π2A．－π4 B．－πC．π6 D．－(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．(1)B(2)－3[(1)如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3.设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故πω＝2π，得ω＝12，即f(x)＝tanf(x)的图象过点π6，−1，即tan1∵φ∈−π2，π2，则π∴π12＋φ＝－π4，解得φ＝－(2)由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝π所以f(x)＝3cosπ2x+π2考点三三角函数图象与性质的综合应用[典例3](1)(多选)设函数f(x)＝cosωx+π3(ω>0)，已知f(xA．f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C．f(x)在0，D．ω的取值范围是7(2)(多选)若关于x的方程23cos2x－sin2x＝3－m在区间−π4，A．－2 B．－1C．0 D．1(1)CD(2)AC[(1)因为x∈(0，2π)，所以ωx＋π3∈π3，2πω+π3.设t＝ωx由图象可知，若f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则5π＜2πω＋π3≤7π，故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；f(x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋π3≤7π，可得73<ω≤103，故D正确；当x∈0，π6时，ωx＋π3∈π3，π6ω+π3.因为73<(2)由23cos2x－sin2x＝3－m，整理可得cos2x+π6＝－m2，令t＝2x＋π6，因为x∈−所以cost＝－m2在区间−π3，π2上有且只有一个解，即y＝cos由图可知，－m2＝1或0≤－m2<12，解得m＝－2或－1<m]与三角函数性质有关的综合题的求解策略(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·广东汕头金山中学模拟)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω>0，x∈R)，且f(x)所有的正零点构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π3个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(A．函数g(x)是偶函数B．g(x)的图象关于点−πC．g(x)在−πD．当x∈−π6，π6(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．(1)BD(2)[2，3)[(1)因为f(x)＝sinωx－3cosωx＝2sinωx−π由ωx－π3＝kπ，k∈Z可得，x＝π3ω+k由已知可得，1ωπ＝π2，所以ω＝2，f(x)＝2sin将函数f(x)的图象沿x轴向左平移π3可得y＝2sin2x+π3−π3＝2sin2x+π3的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数对于A，因为g(－x)＝2sin−x+π3≠g(x)，所以函数g对于B，因为－π3+π3＝0，所以g(对于C，因为－π3≤x≤π3，所以0≤x＋因为函数y＝sinx在0，π2对于D，因为－π6≤x≤π6，所以π6≤x因为函数y＝sinx在π6所以12＝sinπ6≤sinx+π所以1≤g(x)＝2sinx+π(2)法一：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．法二：函数f(x)＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cosx在[0，2π]上的图象(图略)可知，cosx＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cosωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即2×2πω≤2π，3×2【教师备选资源】(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2ωx2sinφ(ω＞0，|φ|＜π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)＜0；②函数f(x)的图象的一个对称中心为π12，(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1t(t＞0)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间0，π[解](1)由题意可得f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2ωx2sin＝2sinωxcosφ＋2sinφ－sinφ(2－2cosωx)＝2sinωxcosφ＋2cosωxsinφ＝2sin(ωx＋φ)，由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，故T＝4×π4＝2πω故f(x)＝2sin(2x＋φ)．若选①，函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为y＝2sin2由题意知该函数为偶函数，故2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴φ＝－π6＋kπ，由于|φ|＜π且f(0)＜0，即sinφ＜0，故φ＝－π6，故f(x)＝2sin2x−若选②，函数f(x)的图象的一个对称中心为π12，0且则π6＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－π6，k∈由于|φ|＜π且fπ6＞0，即sinπ3+φ＞0，故φ＝－π6，故f(2)由题意可得g(x)＝2sin2tx−π6，x∈0，π3，∴2tx由于y＝g(x)在区间0，故2π≤2πt3−π考点四三角函数模型的应用[典例4](多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是()A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋3)米时用时25秒BCD[由题意，角速度ω＝2π60＝又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为π6，点P再次进入水中用时为π+当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×π30＝5π3(弧度)，而5π3建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由H所以A又角速度ω＝2π60＝π30(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝π6，所以ω＝π30所以点P距离水面的高度H＝2sinπ30t−π6＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得将H＝1＋3代入H＝2sinπ30t−π6＋1中，得π30t－π6＝2kπ＋π3或π30t－π6＝2kπ＋2π3，即t＝60k＋15或t三角函数模型的应用体现在两方面一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．[跟进训练]4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈0，π3，则PQ＝________米(用α表示)；当60sinα2253[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈0，π3∴PQ＝APsinα＝60sinα(米)．在Rt△PAR中，可得PR＝60sinπ3由题可知∠QPR＝2π∴S△PQR＝12·PQ·PR·sin∠＝12×60sinα×60sinπ3−α＝9003sinαsinπ＝4503＝4503sin又α∈0，π3，∴2α＋π∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，△PQR的面积取最大值2253课时分层作业(二十八)函数y＝Asin(ωx＋φ)一、单项选择题1．(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝sinπ2x B．f(xC．f(x)＝sinπ4x D．f(xB[对于A，f(x)＝sinπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝sinπ＝0，所以函数f(x)＝sinπ2x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cosπ2x，最小正周期为2ππ2＝4，因为f(2)＝cosπ＝－1，所以函数f(x)＝cosπ22．(2023·延庆区一模)将f(x)的图象向左平移π2个单位长度，所得图象与y＝sin2x的图象关于y轴对称，则f(xA．－sin2x B．sin2xC．－cos2x D．cos2xB[与y＝sin2x的图象关于y轴对称的函数的解析式为y＝－sin2x，函数y＝－sin2x的图象向右平移π2个单位长度，可得y＝－sin2x−π2＝－sin(23．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin3x+A．向左平移π5B．向右平移π5C．向左平移π15D．向右平移π15D[y＝2sin3x+π54．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分图象如图，则()A．φ＝πB．fπ6C．点−5π18，0为曲线yD．将曲线y＝f(x)向右平移π9个单位长度得到曲线y＝4cos3xD[由题图知A+b将点(0，4)的坐标代入f(x)＝4sin(ωx＋φ)＋2得sinφ＝12，由题图可知，点(0，4)在y＝f(x)图象的下降部分上，且0<φ<π，所以φ＝5将点2π9，−2的坐标代入f(x)＝4sinωx+5π6＋2，得ω·2π9+5π6＝3π2令3x＋5π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ3取k＝0，则x＝－5π18，所以对称中心为将曲线向右平移π9个单位长度得到曲线y＝4sin3x−π故选D.]5．将函数f(x)＝sinωx+π3(ω>0)图象向左平移π2ω个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数g(x)在A．(0，3] B．(0，2]C．0，43C[将f(x)＝sinωx+π3(ω得g(x)＝sinωx+π2ω+π3＝sinωx+5π6，当x∈0，π即ωπ2+5π6≤3π6．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sinωx+π3在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ωA．53，136C．136，83C[依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋π3∈π3，ωπ+π3，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin则5π2＜ωπ＋π3≤3π，解得136＜ω≤83二、多项选择题7．(2023·河北唐山三模)为了得到函数y＝cos2x−π3的图象，只需把余弦曲线y＝cosA．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移πB．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移πC．向右平移π3个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1D．向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1BC[函数y＝cosx的图象向右平移π3个单位长度，得y＝cosx−π3，再将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y＝cosx的图象将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得y＝cos2x再向右平移π6个单位长度，得y＝cos2x−π6，即8．(2024·福建漳州模拟)把函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(A．g(x)在π3B．g(x)在[0，π]上有2个零点C．y＝g(x)的图象关于直线x＝π12D．g(x)在−π2BC[把函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到y＝sin2x再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)＝sin2x当x∈π3，5π6时，2则g(x)在π3，7令g(x)＝0，得2x＋π3＝kπ(k∈Z)，即x＝k因为x∈[0，π]，所以0≤kπ2−π6≤π，解得1因为k∈Z，所以k＝1或k＝2，所以g(x)在[0，π]上有2个零点，故B正确；因为gπ12＝sin2×π12+π3＝sin所以直线x＝π12是y＝g(x当x∈−π2，0时，2x＋π3∈−2π3三、填空题9．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2－3[由题意可得：34T＝13π12−π3＝3π4，∴T＝π，又T＝2π当x＝13π12时，ωx＋φ＝2×13π12＋∴φ＝2kπ－13π6(k∈Z令k＝1，可得φ＝－π6据此有：f(x)＝2cos2x−πfπ2＝2cos2×π2−π10．李华以18km/h的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点A)，则点A滚动一周所用的时间为________s(用π表示)；若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6m，在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式可以用h＝f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋bA>0，ω>0，−π4π2525sin252t+π6+25[李华的时速为18km/h＝5m/s，车轮直径为45米，周长为4π5米，故滚动一周所用时间为4π25秒，即最小正周期为T＝4π25，于是ω＝252，依题意知A＝25，b故f(t)＝25sin25四、解答题11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，−π2<φ<π2的最小正周期是π，且当(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要求列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？(4)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？[解](1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，kφ＝2kπ＋π6，k∈因为－π2<φ<π2，所以φ＝所以f(x)＝2sin2x+(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π列表如下：2x＋ππππ32π