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文档简介
第7课时指数与指数函数[考试要求]1.掌握根式与分数指数幂的互化,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.1.根式(1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子na叫做根式,其中n叫做根指数,a(3)(na)n=a当n为奇数时,nan=当n为偶数时,nan=|a2.分数指数幂正数的正分数指数幂,amn=nam(a>0,m,n∈N正数的负分数指数幂,a−mn=1amn=1nam(a>0,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈Q).4.指数函数及其性质(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数.(2)形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,如果是y=kax,那么k还应满足k≠1;a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.(3)指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数[常用结论]指数函数图象的特点(1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),−1,(2)函数y=ax与y=1ax(a>0,且a≠1)的图象关于(3)在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)nan=(na)n=a(2)函数y=a-x是R上的增函数. ()(3)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n. ()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材经典衍生1.(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简3−5A.5 B.5C.-5 D.-5B[原式=35232.(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,13A.1 B.2C.3 D.3C[依题意可知a2=13,解得a=33,所以f(x)=33x,所以f(-1)=3.(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是()A.1.72.5>1.73 B.1C.1.70.3>0.93.1 D.233BCD[因为y=1.7x为增函数,所以1.72.5<1.73,故A错误;因为2−43=1243,y=12x为减函数,所以1223>1243=2−43,故B正确;因为1.70.3>1,而0.93.1∈(0,1),所以1.70.3>0.4.(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)=a12x+b的图象过原点,且无限接近直线y=1,但又不与该直线相交,则34[因为f(x)的图象过原点,所以f(0)=a120+b=0,即a+b=0.又因为f(x)的图象无限接近直线y=1,但又不与该直线相交,所以b=1,a=-1,所以f(x)=-12x+1,所以f考点一指数幂的运算[典例1](1)(多选)已知a+a-1=3,则下列正确的是()A.a2+a-2=7 B.a3+a-3=18C.a12+a−12=±5 D.a(2)计算:14−12·4ab(1)ABD(2)85[(1)因为a+a-1=3,所以a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7,故选项A正确;因为a+a-1=3,所以a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=(a+a-1)·[(a+a-1)2-3]=3×6=18,故选项B正确;因为a+a-1=3,所以(a12+a−12)2=a+a-1+2=5,且a>0,所以a12+a−12=5,故选项C错误;因为a3+a-3=18,且a>0,所以aa(2)原式=2·43指数幂运算的一般原则(1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式要求统一.[跟进训练]1.(1)已知x<0,y>0,化简49A.-3x2y B.3x2yC.-3x2y D.3x2y(2)计算:278−23+0.002−(1)B(2)-1679[(1)由题意得49x8y4=914x814(2)原式=32−2+50012-105+25−2考点二指数函数的图象及应用[典例2](1)(多选)已知实数a,b满足等式2022a=2023b,则下列式子可以成立的是()A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a(2)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围为________.(1)ABD(2)0,12[(1)如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a(2)y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a>1时,如图①,两个图象只有一个交点,不合题意;当0<a<1时,如图②,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,得0<a<12.综上可知,a的取值范围为0](1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)掌握函数y=f(|x|),y=f(x),y=|f(x)|的图象之间的变换与联系.(3)定点与渐近线是作图的关键.[跟进训练]2.(1)(2023·枣庄二模)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则y=ax2+x图象顶点的横坐标的取值范围是()A.−∞,−12C.0,12(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是________.(1)A(2)[-1,1][(1)由图象知函数为减函数,则0<a<1,二次函数y=ax2+x图象的顶点的横坐标为x=-12a∵0<a<1,∴12a>12,-12a即横坐标的取值范围是−∞,(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].]【教师备选资源】在同一平面直角坐标系中,指数函数y=bax,二次函数y=ax2-ABCDB[指数函数y=bax图象位于x轴上方,据此可区分两函数图象.二次函数y=ax2-bx=(ax-b)x有零点ba,0.A,B选项中,指数函数y=bax在R上单调递增,故ba>1,故A错误,B正确.C,D选项中,指数函数y=考点三指数函数的性质及应用比较指数式的大小[典例3](1)(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c(2)若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0 B.x+y≤0C.x-y≤0 D.x-y≥0(1)D(2)B[(1)由y=1.01x在R上单调递增,则a=1.010.5<b=1.010.6,由y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,则a=1.010.5>c=0.60.5.所以b>a>c.故选D.(2)设函数f(x)=2x-5-x,易知f(x)为增函数.又f(-y)=2-y-5y,由已知得f(x)≤f(-y),所以x≤-y,所以x+y≤0.故选B.]【教师备选资源】已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系为()A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx)C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)=f(bx)A[根据题意,函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),则有b2=1,即b=又由f(0)=3,得c=3,所以bx=2x,cx=3x.若x<0,则cx<bx<1,而f(x)在(-∞,1)上单调递减,此时有f(bx)<f(cx);若x=0,则cx=bx=1,此时有f(bx)=f(cx);若x>0,则有1<bx<cx,而f(x)在(1,+∞)上单调递增,此时有f(bx)<f(cx).综上可得f(bx)≤f(cx).]解简单的指数方程或不等式[典例4](1)已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a−x,x<0,(2)设函数f(x)=12x−7,x<0,x(1)12(2)(-3,1)[(1)当a<1时,41-a=21,解得a=1当a>1时,2a-(1-a)=4a-1无解,故a的值为12(2)当a<0时,原不等式化为12则2-a<8,解得a>-3,所以-3<a<0.当a≥0时,则a<1,0≤a<1.综上,实数a的取值范围是(-3,1).]指数函数性质的综合应用[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)=xexeaxA.-2 B.-1C.1 D.2(3)不等式4x-2x+1+a>0对任意x∈R都成立,则实数a的取值范围是________.(1)D(2)D(3)(1,+∞)[(1)法一(复合函数法):因为y=2x在R上单调递增,所以y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=a2≥1,解得a≥2.故法二(特值法):取a=3,则y=x(x-3)=x−322-94在(0,1)单调递减,所以f(x)=2x(x(2)法一:f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即xexeax−1=−xe−xe−ax−1,即e(1-a)x-ex=-e(a-1)x+e-x,即e(1-a)x+e(a-1)x=ex+e-法二:f(x)=xexeax−1=xea−1x−e−x,f(x)是偶函数,又y=x是奇函数,所以y=e(a-1)(3)原不等式可化为a>-4x+2x+1对x∈R恒成立,令t=2x,则t>0,∴y=-4x+2x+1=-t2+2t=−t−12+1≤1,当t=1,即x=0时,ymax=1,∴a【教师备选资源】在人工智能领域的神经网络中,常用到在定义域D内单调递增且有界的函数f(x),即∃M>0,∀x∈D,|f(x)|≤M.则下列函数中,所有符合上述条件的序号是________.①f(x)=x;②f(x)=x1+x2;③f(x)=ex−e−x③④[对于①,f(x)=x无界,不符合题意;对于②,f(x)=x1+x对于③,f(x)=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1对于④,f(x)=11+e−x单调递增,且f(x)∈(0,1),则|(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.[跟进训练]3.(1)(2024·江苏沭阳模拟)设12<12bA.aa<ab<ba B.aa<ba<abC.ab<aa<ba D.ab<ba<aa(2)若函数f(x)=13ax2+2x+3(1)C(2)(-∞,-1][(1)∵12<12b<12a<1且y∴0<a<b<1.当0<a<1时,指数函数y=ax在R上是减函数,∴ab<aa.当0<a<1时,幂函数y=xa在[0,+∞)上单调递增,∴aa<ba,∴ab<aa<ba.故选C.(2)∵y=13t是减函数,且f(x)的值域是0,19,∴t=则a>0且12a−224a因此t=x2+2x+3的单调递减区间是(-∞,-1],故f(x)的单调递增区间是(-∞,-1].]课时分层作业(十二)指数与指数函数一、单项选择题1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在(0,+∞)上单调递减,则实数a的值为()A.12 C.32 A[由题意得2a2-5a+3=1,∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=12当a=2时,f(x)=2x在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;当a=12时,f(x)=12x符合题意,∴a=122.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<aC[由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0<0.61.5<0.60.6<1,又1.50.6>1,所以b<a<c.]3.若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则()A.a>1,b>1 B.a>1,0<b<1C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1D[根据题图知,函数f(x)=ax-b是减函数,所以a∈(0,1),根据图象的纵截距,令x=0,y=1-b∈(0,1),解得b∈(0,1),即a∈(0,1),b∈(0,1).]4.若2x2+1≤14x−2,则函数y=2A.18,2C.−∞,18 B[因为2x2+1≤14x−2=24-2x,所以x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以函数y=2x的值域是5.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=e−x−12.记a=f22,b=f32,A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>bA[函数f(x)=e−x−12是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f62=f2−62,又22<2-62<32<1,所以f22<f2−6.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1) B.(-4,3)C.(-3,4) D.(-1,2)D[原不等式变形为m2-m<12因为函数y=12x在(-所以12当x∈(-∞,-1]时,m2-m<12x恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2二、多项选择题7.已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()ABCDABD[由题图知,函数y=ax为增函数,即a>1,且当x=1时,y=2,即a=2.则A项,y=12B项,y=x-2=1xC项,y=2|x|,当x>0时,函数y=2x单调递增,不满足条件,D项,y=|log2x|的图象,满足条件.故选ABD.]8.(2024·重庆巴蜀中学模拟)若f(x)=e1−A.f(x)在(0,+∞)上单调递增B.f(x)在(0,+∞)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=0对称D.f(x)的图象关于点(0,0)中心对称BC[因为y=1-x2在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,y=ex在定义域R上单调递增,所以f(x)=e1−x2在(0,+∞又f(-x)=e1−−x2=e1−x2=f(x),所以f(x)=e1−x2三、填空题9.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=________.1[法一(定义法):因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.法二(取特殊值检验法):因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-a2−2=2a-12,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以法三(转化法):由题意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数.设g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-2-x为奇函数,所以h(0)=a·20-2-0=0,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-2-x)为偶函数,所以a=1.]10.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为54,则函数y=3a2x-112[因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在定义域上是单调函数,又y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为54,所以a0+a1=1+a=54,解得a=14,所以y=3a2x-1=3×142x−1=12×116x.因为函数y=116x在定义域上为减函数,所以y=12×116x在[0,1]上单调递减,所以四、解答题11.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式1ax+1bx-m≥0在(-[解](1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以b所以a2=4.又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,12x+13x即m≤12x+13又因为y=12x与y=13x在(-∞,1]上均单调递减,所以y=12x+13x在(-∞,1]上也单调递减,所以当x=1时,y=12x+1312.已知定义域为R的函数f(x)=−2(1)求a,b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求
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