第2章 第7课时　指数与指数函数-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第7课时指数与指数函数[考试要求]1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a(3)(na)n＝a当n为奇数时，nan＝当n为偶数时，nan＝|a2．分数指数幂正数的正分数指数幂，amn＝nam(a>0，m，n∈N正数的负分数指数幂，a−mn＝1amn＝1nam(a>0，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．(3)指数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]指数函数图象的特点(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，−1，(2)函数y＝ax与y＝1ax(a＞0，且a≠1)的图象关于(3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)nan＝(na)n＝a(2)函数y＝a－x是R上的增函数． ()(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． ()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简3−5A．5 B．5C．－5 D．－5B[原式＝35232．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点2，13A．1 B．2C．3 D．3C[依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73 B．1C．1.70.3＞0.93.1 D．233BCD[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为2−43＝1243，y＝12x为减函数，所以1223＞1243＝2−43，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)＝a12x+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则34[因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f(x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－12x＋1，所以f考点一指数幂的运算[典例1](1)(多选)已知a＋a-1＝3，则下列正确的是()A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝18C．a12+a−12＝±5 D．a(2)计算：14−12·4ab(1)ABD(2)85[(1)因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a-1＝3，所以(a12+a−12)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以a12+a−12＝5，故选项C错误；因为a3＋a-3＝18，且a＞0，所以aa(2)原式＝2·43指数幂运算的一般原则(1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．[跟进训练]1．(1)已知x<0，y>0，化简49A．－3x2y B．3x2yC．－3x2y D．3x2y(2)计算：278−23＋0.002−(1)B(2)－1679[(1)由题意得49x8y4＝914x814(2)原式＝32−2＋50012－105+25−2考点二指数函数的图象及应用[典例2](1)(多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列式子可以成立的是()A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．(1)ABD(2)0，12[(1)如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<12.综上可知，a的取值范围为0](1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)掌握函数y＝f(|x|)，y＝f(x)，y＝|f(x)|的图象之间的变换与联系．(3)定点与渐近线是作图的关键．[跟进训练]2．(1)(2023·枣庄二模)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是()A．−∞，−12C．0，12(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．(1)A(2)[－1，1][(1)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－12a∵0＜a＜1，∴12a＞12，－12a即横坐标的取值范围是−∞，(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].]【教师备选资源】在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝bax，二次函数y＝ax2－ABCDB[指数函数y＝bax图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零点ba，0.A，B选项中，指数函数y＝bax在R上单调递增，故ba>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝考点三指数函数的性质及应用比较指数式的大小[典例3](1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞b＞c D．b＞a＞c(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)D(2)B[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c.故选D.(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.]【教师备选资源】已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为()A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)A[根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，则有b2＝1，即b＝又由f(0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x.若x<0，则cx<bx<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递减，此时有f(bx)<f(cx)；若x＝0，则cx＝bx＝1，此时有f(bx)＝f(cx)；若x>0，则有1<bx<cx，而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时有f(bx)<f(cx)．综上可得f(bx)≤f(cx)．]解简单的指数方程或不等式[典例4](1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a−x，x<0，(2)设函数f(x)＝12x−7，x<0，x(1)12(2)(－3，1)[(1)当a<1时，41-a＝21，解得a＝1当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为12(2)当a<0时，原不等式化为12则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.当a≥0时，则a<1，0≤a<1.综上，实数a的取值范围是(－3，1)．]指数函数性质的综合应用[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝xexeaxA．－2 B．－1C．1 D．2(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．(1)D(2)D(3)(1，＋∞)[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝a2≥1，解得a≥2.故法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝x−322－94在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x(2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即xexeax−1＝−xe−xe−ax−1，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－法二：f(x)＝xexeax−1＝xea−1x−e−x，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝−t−12＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a【教师备选资源】在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域D内单调递增且有界的函数f(x)，即∃M＞0，∀x∈D，|f(x)|≤M.则下列函数中，所有符合上述条件的序号是________．①f(x)＝x；②f(x)＝x1+x2；③f(x)＝ex−e−x③④[对于①，f(x)＝x无界，不符合题意；对于②，f(x)＝x1+x对于③，f(x)＝ex−e−xex+e−x＝e2x−1e2x+1对于④，f(x)＝11+e−x单调递增，且f(x)∈(0，1)，则|(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．[跟进训练]3．(1)(2024·江苏沭阳模拟)设12＜12bA．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa(2)若函数f(x)＝13ax2+2x+3(1)C(2)(－∞，－1][(1)∵12＜12b＜12a＜1且y∴0＜a＜b＜1.当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa.当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.(2)∵y＝13t是减函数，且f(x)的值域是0，19，∴t＝则a>0且12a−224a因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].]课时分层作业(十二)指数与指数函数一、单项选择题1．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为()A．12 C．32 A[由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝12当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a＝12时，f(x)＝12x符合题意，∴a＝122．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<aC[由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.]3．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则()A．a>1，b>1 B．a>1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1D[根据题图知，函数f(x)＝ax－b是减函数，所以a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]4．若2x2＋1≤14x−2，则函数y＝2A．18，2C．−∞，18 B[因为2x2＋1≤14x−2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是5．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e−x−12.记a＝f22，b＝f32，A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>bA[函数f(x)＝e−x−12是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f62＝f2−62，又22<2－62<32<1，所以f22<f2−6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－2，1) B．(－4，3)C．(－3，4) D．(－1，2)D[原不等式变形为m2－m<12因为函数y＝12x在(－所以12当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2二、多项选择题7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()ABCDABD[由题图知，函数y＝ax为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2.则A项，y＝12B项，y＝x-2＝1xC项，y＝2|x|，当x>0时，函数y＝2x单调递增，不满足条件，D项，y＝|log2x|的图象，满足条件．故选ABD.]8．(2024·重庆巴蜀中学模拟)若f(x)＝e1−A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减C．f(x)的图象关于直线x＝0对称D．f(x)的图象关于点(0，0)中心对称BC[因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增，所以f(x)＝e1−x2在(0，＋∞又f(－x)＝e1−−x2＝e1−x2＝f(x)，所以f(x)＝e1−x2三、填空题9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．1[法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2−2＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．]10．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，则函数y＝3a2x-112[因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3×142x−1＝12×116x.因为函数y＝116x在定义域上为减函数，所以y＝12×116x在[0，1]上单调递减，所以四、解答题11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0在(－[解](1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以b所以a2＝4.又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，12x＋13x即m≤12x＋13又因为y＝12x与y＝13x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝12x＋1312．已知定义域为R的函数f(x)＝−2(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求