第1章 第3课时　不等式的性质-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时不等式的性质[考试要求]1．掌握等式性质.2．会比较两个数的大小.3．理解不等式的性质，并能简单应用．1．比较实数a，b大小的基本事实作差法a−b>0⇔a>b，a−b＝2．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．[常用结论]若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：b−ma−m<ba<b+ma即真分数越加越大，越减越小；(2)假分数性质：a+mb+m<ab<即假分数越加越小，越减越大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2． ()(2)若ba>1，则b>a． (3)若1a>1b，则b<a．(4)若a<b<0，则1a2n<1b2n(n∈N[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.]2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是()A．ab+m＜ab C．ab＜a+mb+mA[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为ab+m，此时浓度变小，糖水变淡，即a3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；(2)如果a＜b＜0，那么1a2________(3)如果c＞a＞b＞0，那么ac−a________b[答案](1)＜(2)＜(3)＞4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________．(－6，5)[∵－3<b<5，∴－5<－b<3，又－1<a<2，∴－6<a－b<5．]考点一数(式)的大小比较[典例1](1)若a<0，b<0，则p＝b2a+a2b与A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定(1)B(2)C[(1)p－q＝b2a+a＝b2−a2a+a2−＝b2因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.综上，p≤q.故选B.(2)P，Q作商可得PQ令f(x)＝exx，则f′(x)＝当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝exx在(1，＋因为a>b>1，所以ebb<又ebb>0，ea所以P<Q.故选C.]【教师备选资源】若a＝ln33A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<cB[法一(作差法)：a－b＝ln33−b－c＝ln44−所以a＞b＞c.法二(作商法)：易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，所以a＞b；bc＝5ln4法三(单调性法)：对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝易知当x＞e时，函数f(x)单调递减．因为e＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.]比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．[跟进训练]1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．(1)A(2)aabb>abba[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故选A.(2)因为aa又a>b>0，故ab>1，a－b所以aba−b>1，即又abba>0，所以aabb>abba.]考点二不等式的性质[典例2](1)(2023·北京朝阳区一模)若a>0>b，则()A．a3>b3 B．|a|>|b|C．1a<1b D．ln(a－(2)(2024·湖北武汉模拟)下列说法正确的是()A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若ca>cb，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则a+m(1)A(2)D[(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误；取a＝1，b＝－2，则1a<1取a＝12，b＝−(2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足ca>cb，但不满足a<对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误；对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0，所以a+mb+m−判断不等式正误的常用方法(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质条件．(2)利用特殊值法排除错误不等式．(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．[跟进训练]2．(多选)若1a<1A．1a+b<1ab B．|C．a－1a>b－1b D．lna2>lnAC[由1a<1b<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以1a+b<0，1ab>0.故有1a+b<1ab，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>a，即a+b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又1a<1b<0，则－1a>－1b>0，所以a－1a>b－1b，故C正确；D中，因为b<a<0，根据考点三不等式性质的应用[典例3](多选)(2024·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是()A．0<a<4 B．0<b<2C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8BD[对于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8，∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正确；对于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2，∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8，∵−8<b−2a<−2，−4<2a+2b<8，∴－12<3b对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，∴1＝m∴a＋2b＝53(a＋b)－13(2a－∵－2<a＋b<4，∴－103<53(a＋b)<∵2<2a－b<8，∴－83<－13(2a－b)<－∴－6<a＋2b＝53(a＋b)－13(2a－b)<6，故C正确求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．[跟进训练]3．(多选)已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是()A．ab∈13，4 B．aC．a－b∈(－9，42) D．a+bAB[因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以118＜1b＜115，－18＜－b＜－15，所以618＜ab＜6015，6＋15＜a＋b＜60＋18，6－18＜a－b＜60－15，即13＜ab＜4，21＜a＋b＜78，－12＜a－b课时分层作业(三)不等式的性质一、单项选择题1．(2024·北京昌平区期末)若a<b<0，c>d>0，则一定有()A．ac>bd B．aC．ad>bc D．aD[由于c>d>0，则1d>1c>0，又a<所以－a>－b>0，故－ad>－bc>0，所以ad2．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D[充分性：若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a，所以b<1a不成立；必要性：若b<1a，则当a<0时，ab3．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则cA．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)D[因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<故选D.]4．设a＝2，b＝7−3，A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>aB[因为7+22－6+32＝9＋214−9−218<0，所以7+2<6+3，所以7−3<6−2，即b<c.又a－5．已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C．1a−c>1b−c D．(a－c)3>(b－cD[∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴1a−c<1b−c，(a－c)3>(b－c)6．eπ·πe与ee·ππ的大小关系正确的为()A．eπ·πe>ee·ππ B．eπ·πe＝ee·ππC．eπ·πe<ee·ππ D．不能确定C[eπ又0<eπ<1，∴0＜eπ即eπ·πeee·ππ<1，即eπ故选C.]7．(2023·广东五校联考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为()A．[15，31] B．[14，35]C．[12，30] D．[11，27]D[因为1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11，27].故选D.]8．若a<b<0，c>0，则下列不等式一定成立的是()A．1a<1b B．a－1b<C．ln(b－a)>0 D．abcD[对选项A，1a−1b＝b−aab，因为a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即b−aab>0，所以1a>1b，故A错误；对选项B，a－1b−b−1a＝a−b+1a−1b＝(a－b)·ab−1ab，因为a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判断ab与1之间的关系，故B不正确；对选项C，因为b－a>0，所以ln(b－a)的取值范围为R，故C错误；对选项D，因为a<b二、多项选择题9．(2023·湖南永州三模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是()A．若b<a<0，则bc2<ac2B．若b>a>0>c，则ca<C．若c>b>a>0，则ac−a>D．若a>b>c>0，则ab>BD[对于A，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A错误；对于B，ca−cb＝cb−aab，因为b>a>0>c，所以所以ca−cb＝对于C，ac−a−bc−b＝ca−bc−ac−b，因为c>b>a>0，所以c－a所以ac−a即ac−a<b对于D，因为ab−a+cb+c＝ab+c−ba+cbb+c10．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则()A．x的取值范围为(－1，2)B．y的取值范围为(－2，1)C．x＋y的取值范围为(－3，3)D．x－y的取值范围为(－1，3)ABD[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，因为－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，则－1<x<2，故A正确；因为－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4，因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正确；因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－95<35(x＋2y)<65，−15<15(2x－y)<45，因为x＋y＝35(x＋2y)＋因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－25<－15(x＋2y)<35，−35<35(2x－y)<125，因为x－y＝－15(x＋2y)＋35(2三、填空题11．若－π2＜α＜β＜π2，则α－(－π，0)[由已知，得－π2＜α＜π2，−π2＜－β＜π2，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β12．a，b，c，d均为实数，使不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，(2，1，－3，－2)(答案不唯一)[根据不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，ab＞cd＞0⇒ab−cd＞0⇒ad−bcbd＞0，又ad＜bc⇒ad13．(2024·河南漯河模拟)某次全程为S的长跑比