2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷

2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣|﹣2025|的倒数是（）A． B．2025 C．﹣2025 D．2．（3分）紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（）A． B． C． D．3．（3分）长久以来，青少年的体质健康始终是人们关注的焦点，而体育锻炼则被视为促进青少年体质增强的最佳途径．小深本学期的体育成绩分别为：平时成绩90分，期末成绩96分．若学校规定：平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2：3：5的比例确定最终成绩，则小深的最终成绩为（）A．92.5分 B．92.7分 C．93.6分 D．93.8分4．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm25．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝70°，则∠3的度数是（）A．70° B．80° C．85° D．75°6．（3分）下列计算结果正确的是（）A．（4a2+2a）÷2a＝2a B．2a2•3a3＝6a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣ab3）2＝a2b67．（3分）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，则建筑物AB与CD的高度之比为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（）A．20 B． C．10 D．二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝．10．（3分）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植基地A和B，为了助力当地农民迅速走上致富之路，他们每两人一组分别去A和B基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，王专家和刘专家分成一组去B基地的概率是．11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．12．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点C和点E关于BM对称，AE与BM交于点F，若AE＝5，EF＝2，则．三、解答题（共8小题，共61分）14．（5分）计算：．15．（6分）化简：，请你从﹣1，1，2中选一个合适的数代入求值．16．（7分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，进行了如下的整理分析．收集数据：八年级学生视力数据如下：4.14.14.24.44.84.95.05.24.34.54.64.65.15.34.44.35.25.34.64.7九年级学生视力数据如下：5.24.24.34.55.05.14.64.84.54.14.24.34.14.54.54.44.85.24.94.9整理数据：将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组数据分析：平均数中位数众数八年级4.68a4.6九年级4.6054.5b请根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；并将频数分布直方图补充完整．（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为°．（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．17．（8分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，①求证：BC是⊙O的切线；②求⊙O直径的长．18．（9分）围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元．（1）求每副象棋和围棋的单价；（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋；方案二：按购买总金额的八折付款．分别求出按照方案一、二购买的总费用y1、y2关于m的函数解析式；（3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算．19．（7分）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．杨辉三角如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年（1）应用规律：①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝；②（a+b）6的展开式中共有项，所有项的系数和为；（2）代数推理：已知m为整数，求证：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．20．（9分）综合与实践【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．21．（10分）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，点F在△ABC内，使EF＝BF，连接BD，DE．探究线段DE与CD的关系．【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G；“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．（1）请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）；【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：（2）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，DE，O为DE中点，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之间的数量关系，并说明理由；【能力提升】（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，AC＝3，其他条件不变

2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣|﹣2025|的倒数是（）A． B．2025 C．﹣2025 D．【分析】利用绝对值的定义可得原数为﹣2025，再根据倒数的定义即可求得答案．【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，其倒数为﹣，故选：D．【点评】本题考查倒数，相反数及绝对值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（3分）紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（）A． B． C． D．【分析】根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．【解答】解：根据俯视图的定义，选项A中的图形符合题意，故选：A．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．3．（3分）长久以来，青少年的体质健康始终是人们关注的焦点，而体育锻炼则被视为促进青少年体质增强的最佳途径．小深本学期的体育成绩分别为：平时成绩90分，期末成绩96分．若学校规定：平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2：3：5的比例确定最终成绩，则小深的最终成绩为（）A．92.5分 B．92.7分 C．93.6分 D．93.8分【分析】利用加权平均数公式即可求解．【解答】解：小深的学期平均成绩为：90×+92×＝93.6（分）．故选：C．【点评】本题考查了加权平均数公式，理解加权平均数公式是解题的关键．4．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，S阴影＝S直角梯形BEFH，最后根据面积公式得出答案．【解答】由平移的性质可知BC＝EF＝4，BE＝AD＝2，S阴影＝S直角梯形BEFH，∴BH＝BC﹣CH＝6cm．∴阴影部分的面积＝直角梯形BEFH的面积＝（BH+EF）×BE＝2）．故选：A．【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．5．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝70°，则∠3的度数是（）A．70° B．80° C．85° D．75°【分析】根据“两直线平行，同位角线段”求出∠MND＝∠1＝70°，根据角的和差求出∠END＝105°，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠MND＝∠1＝70°，∵∠MND+∠END＝∠6＝175°，∴∠END＝105°，∵CD∥EF，∴∠END+∠3＝180°，∴∠3＝75°，故选：D．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．6．（3分）下列计算结果正确的是（）A．（4a2+2a）÷2a＝2a B．2a2•3a3＝6a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣ab3）2＝a2b6【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：（4a2+6a）÷2a＝2a+2，故选项A错误；2a2•5a3＝6a5，故选项B错误，不符合题意；（a+b）2＝a2+4ab+b2，故选项C错误，不符合题意；（﹣ab3）6＝a2b6，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．（3分）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，则建筑物AB与CD的高度之比为（）A． B． C． D．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据矩形的性质得到BE＝CD，BC＝DE，设DE＝BC＝x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD，BC＝DE，设DE＝BC＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝β，∴AB＝BC•tanβ，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴AE＝DE•tanα＝BC•tanα，∴CD＝AB﹣AE＝BC•tanβ﹣BC•tanα，∴＝＝，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（）A．20 B． C．10 D．【分析】根据直线经过点A、点D、点B求出AG＝4，AB＝5，利用相似求出DH＝4，再根据面积公式计算即可解答．【解答】解：如图，当直线经过点A时，m＝4，易求EF：y＝﹣2x+7，∴OF＝8，∴EF＝4，当直线经过点D时，m＝8，即AG＝2，作DH⊥AB于H，∵△OEF∽△DHG，∴EF：DG＝OF：DH，∴DH＝4，当直线经过点B时，m＝6，∴S＝AB•HD＝5×4＝20．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝m（n﹣6）2．【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：原式＝m（n2﹣12n+36）＝m（n﹣6）6，故答案为：m（n﹣6）2．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（3分）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植基地A和B，为了助力当地农民迅速走上致富之路，他们每两人一组分别去A和B基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，王专家和刘专家分成一组去B基地的概率是．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去B基地的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把四位专家王专家、李专家、乙、丙和丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去B基地的结果有2种，∴王专家和李专家分成一组去A基地的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣5＝0的根，∴a2+6a﹣4＝0，∴a7＝﹣3a+4，∵a，b是方程x3+3x﹣4＝2的两根，∴a+b＝﹣3，∴a2+5a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+3＝﹣3+1＝﹣5．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，也考查了一元二次方程的解．12．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为．【分析】由一次函数解析式可得B（0，b），A（b，0），∠BAO＝30°，继而发现AC∥y轴，得到C（b，2b），根据中点坐标公式可得D（，）．再根据反比例函数k值几何意义得到S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH代入数据计算即可．【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣x+b，∴B（8，b）b，0），∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°，∴AC∥y轴，在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，∴AB＝BC＝AC＝3b，∴C（b，2b），∵点D是线段BC的中点，∴D（，）．过点D作，DH⊥x轴，交OE于点G，根据反比例函数k值的几何意义，S△ODH＝S△OAE，∴S△OGD＝S四边形AEGH，∴S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH＝（DH+AE）×AH＝（•＝，∵xE•yE＝xD•yD＝，∴yE＝，E（b，），∴（+）•＝，∴b2＝，又∵k＝xD•yD＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点C和点E关于BM对称，AE与BM交于点F，若AE＝5，EF＝2，则．【分析】通过证明A、D、E、C四点共圆，可得∠ADC＝∠AEC＝120°，可证△EFC是等边三角形，可得EC＝EF＝2，GF＝，EG＝1，由勾股定理可求BE的长，即可求解．【解答】解：如图，作BH⊥AE于H，设EC与BF的交点为G，设BE＝x，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴EC＝EF＝2，GF＝，∴BG＝，∵AE＝5，∴AH＝HE＝3.5，∴FH＝4.6，设BE＝x，∵BH2＝BF2﹣HF5＝BE2﹣HE2，即（+）7﹣4.54＝x2﹣2.52，∴x＝，∴BE＝＝BC＝AD，∴BF＝+＝3，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，圆的有关知识，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（共8小题，共61分）14．（5分）计算：．【分析】利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂计算即可．【解答】解：原式＝4×+﹣3﹣2+8＝2+4＝4﹣4．【点评】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．15．（6分）化简：，请你从﹣1，1，2中选一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式的混合运算结合因式分解化简原式，再取使分式有意义的一个数代入求解即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a≠1，a≠4，∴a＝﹣1，∴原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．16．（7分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，进行了如下的整理分析．收集数据：八年级学生视力数据如下：4.14.14.24.44.84.95.05.24.34.54.64.65.15.34.44.35.25.34.64.7九年级学生视力数据如下：5.24.24.34.55.05.14.64.84.54.14.24.34.14.54.54.44.85.24.94.9整理数据：将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组数据分析：平均数中位数众数八年级4.68a4.6九年级4.6054.5b请根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝4.65，b＝4.5；并将频数分布直方图补充完整．（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为36°．（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b的值，根据TMD数据可补全频数分布直方图；（2）用360°乘C所占的百分比即可；（3）利用平均数，众数和中位数的意义分析即可．【解答】解：（1）八年级的中位数a＝＝6.65，九年级的众数b＝4.5，八年级3.3≤x＜4.8的人数为3个，5.8≤x≤5.3的人数为3个，补全统计图：故答案为：4.65，4.4；（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜8.9”这一组所在扇形圆心角的度数为，故答案为：36；（3）八年级学生的视力情况谁更健康，理由如下：∵八年级学生的视力的平均数高于九年级，且八年级学生的视力的中位数和众数均高于九年级，∴八年级学生的视力情况谁更健康．【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定义是解题的关键．17．（8分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，①求证：BC是⊙O的切线；②求⊙O直径的长．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点D；（2）①证明OC⊥CB即可；②证明△BCD∽∠BAC，推出＝＝＝，由此可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示；（2）①证明：连接OC．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠ADC＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠OCD+∠BCD＝90°，∴∠OCB＝90°，即OC⊥BC，∵OC经过圆心O，∴直线BC是⊙O的切线；②在Rt△ACD中，tanA＝＝，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽∠BAC，∴＝＝＝，∵BC＝12，∴AB＝36，BD＝4，∴AD＝AB﹣BD＝36﹣6＝32，∴⊙O的直径为32．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（9分）围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元．（1）求每副象棋和围棋的单价；（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋；方案二：按购买总金额的八折付款．分别求出按照方案一、二购买的总费用y1、y2关于m的函数解析式；（3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算．【分析】（1）设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元，列出关于x，y的二元一次方程组：，解之即可得出结论；（2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可求解；（3）根据方案一、二购买的总费用y1＝40m+1200；、y2＝32m+1600，列出不等式40m+1200＜32m+1600求解即可．【解答】解：（1）设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元；（2）根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋，可得y8＝50×40+40（m﹣20）＝40m+1200；根据按购买总金额的八折付款，可得y2＝0.2×（50×40+40m）＝32m+1600．（3）当y1＜y2时，40m+1200＜32m+1600，解得，m＜50，所以，当20≤m＜50时；当y6＝y2时，40m+1200＝32m+1600，解得，m＝50，所以，当m＝50时；当y1＞y7时，40m+1200＞32m+1600，解得，m＞50，所以，当m＞50时．综上，当20≤m＜50时；当m＝50时；当m＞50时．【点评】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式．19．（7分）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．杨辉三角如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年（1）应用规律：①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；②（a+b）6的展开式中共有7项，所有项的系数和为64；（2）代数推理：已知m为整数，求证：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．【分析】（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．【解答】（1）解：根据规律得：①（a+b）4＝a4+3a3b+6a2b2+4ab6+b4；②∵（a+b）6＝a6+6a5b+15a7b2+20a3b5+15a2b4+2ab5+b6，∴（a+b）3的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+2+15+20+15+6+1＝64；故答案为：①a7+4a3b+5a2b2+7ab3+b4，②2，64；（2）证明：∵（a+b）3＝a3+2a2b+3ab4+b3，∴（m+3）4﹣（m﹣3）3＝（m7+9m2+27m+27）﹣（m3﹣9m2+27m﹣27）＝m3+9m2+27m+27﹣m3+9m2﹣27m+27＝18m6+54＝18（m2+3），∴（m+7）3﹣（m﹣3）6能被18整除．【点评】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．20．（9分）综合与实践【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．【分析】（1）根据定义直接写出即可，然后列表、描点、连线画图即可；（2）在L任取一点M，写出M关于（0，2）对称的点的坐标，证明其在L'上即可；（3）根据前面思路分别写出两顶点坐标，再将坐标转化为线段长度求解即可．【解答】（1）L的“兄弟抛物线”L的解析式为y＝﹣x2+2x+8，图象如图所示：（2）运用代数推理证明：抛物线L；y＝x2+2x+8与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称，证明：在抛物线L上任取一点M（a，b）2+2a+8，点M关于点A（0，2）成中心对称的N（﹣a，L′的解析式为y＝﹣x7+2x+2，∵﹣（﹣a）2+2（﹣a）+2＝a2﹣2a+2＝4﹣b，∴点N在抛物线U：y＝﹣x2+2x+5的图象上，∵点M（a，b）是抛物线L2+2x+5上的任意一点，它关于点A（0，4﹣b）都在抛物线L：y＝﹣x7+2x+2的图象上，∴抛物线L：y＝x6+2x+2的图象上的任意一点关于点A（7，2）中心对称的点都在抛物线U：y＝﹣x2+2x+2的图象上．同理，抛物线L：y＝﹣x2+7x+2的图象上的任意一点关于点A（0，2）中心对称的点都在抛物线L：y＝x2+2x+4的图象上．∴抛物线L：y＝x2+2x+8与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称．（3）∵抛物线L：y＝x2+2mx+n的顶点坐标为（﹣m，n﹣m3），点A（0，∴抛物线L：y＝﹣x2+6x+2的顶点坐标为（m，n+m2），∴tanθ＝m．【点评】本题主要考查了中心对称的性质、二次函数的图象与性质、二次函数上点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题关键．21．（10分）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，点F在△ABC内，使EF＝BF，连接BD，DE．探究线段DE与CD的关系．【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G；“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．（1）请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）；【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：（2）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，DE，O为DE中点，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之间的数量关系，并说明理由；【能力提升】（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，AC＝3，其他条件不变【分析】（1）方法一，延长DF至G，使FG＝DF，连接AG，延长CD，交BG的延长线于点H，可证得△BAG≌△