人教A版普通高中数学一轮复习第八章学科特色微专题“设而不求”在解析几何中的应用学案

微专题“设而不求”在解析几何中的应用解析几何历年是高考压轴题，难度大，综合性强，如何破解是广大考生的巨大困惑．“设而不求”是解析几何中的一种很常用的手段，采用“设而不求”的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果．“设而不求”运用了整体思想、转化思想等数学思想方法，这也是数学核心抽象、数学建模等数学核心素养的集中体现．类型一整体代入【例1】已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x+2y-3=0消去x，得5y2－20y＋12＋m＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝12+m5因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，所以9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，解得m＝3，此时Δ＞0.圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋3＝0，所以该圆的圆心坐标为-12，(1)直线与曲线相交于两点，设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线方程与曲线方程联立后消元得到一元二次方程，根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2后整体代入．(2)在运用“设而不求”的技巧时，要注意将条件坐标化，注意运算的合理性、目的性，思路要清晰，这样就可以使运算简化，迅速解决问题．类型二转化图形【例2】已知△ABC内接于椭圆x2＋4y2＝8，其重心为G2，23，已知点A解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则有x12+4y1又C12，23为△由①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，由③④，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，所以kBC＝y1又BC的中点坐标为2，所以直线BC的方程为y－12＝－(x即2x＋2y－5＝0.通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解．如通过对式子的合理变形、构造，赋予变量相应的几何意义，如斜率、距离等，进而利用相关的曲线的性质解题．类型三适当引参【例3】已知对任何满足(x－1)2＋y2＝1的实数x，y，如果x＋y＋k≥0恒成立，求实数k的取值范围．解：设x=1+cosθ，y=sin则g(θ)＝x＋y＋k＝sinθ＋cosθ＋1＋k＝2sinθ+π4≥－2＋1＋k，令－2＋1＋k≥0，得k≥2－1.根据圆锥曲线方程的特点，恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决．如引入三角函数，可以利用三角函数的性质、恒等变换等解决问题．类型四巧设坐标【例4】设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O.证明：设点A(2pt_(1)^(2)，2pt_1)，B(2pt22因为直线AB过焦点F，所以2pt1·2pt2＝－p2，得t1t2＝－14又直线OC的斜率kOC＝2pt2-p2＝－4直线OA的斜率kOA＝2pt1-02pt12-0＝故A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使