人教A版普通高中数学一轮复习51课时练习含答案

课时质量评价(五十一)1．“k＜9”是“方程x225-k＋y2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若方程x225-k＋则(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程x225-k＋y22．双曲线x22－y24＝λA．62 B．C．3或62 D．B解析：因为λ＞0，所以x22λ－y24λ＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为e＝ca＝c3．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PFA．1 B．13C．17 D．1或13B解析：由题意知双曲线x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.当|PF2|＝1时，|4．(2024·朝阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFOA．52 B．C．2 D．23B解析：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则tan30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba5．(多选题)(2024·聊城模拟)已知双曲线C：x29-k＋y2A．双曲线C的焦点在x轴上B．双曲线C的焦距等于42C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1-kD．双曲线C的离心率的取值范围为1ACD解析：对于A，因为0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，所以双曲线C：x29-k－y21-k＝1(0＜k对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10-2k，所以双曲线C的焦距等于2c＝210-2k(0＜k＜1)，故选项B错误；对于C，设焦点在x轴上的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝bca2+b2＝b，所以双曲线对于D，双曲线C的离心率e＝1+b2a2＝1+1-k9-k＝2-89-k，因为0＜k＜1，所以1＜2－6．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率y＝±3x解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(所以e＝c2a2＝a所以b2所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x7．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F355解析：(方法一)如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则F2A＝(x－c，y)，F2B＝(－c，又F2A＝－23F2B，则可得A53又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，-23n，F1B＝(c，n)，则F1A·F1B＝83c2－23又点A在C上，则259c2a2－4将n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2A设|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由对称性可得|F1B|＝3t，则|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.设∠F1AF2＝θ，则sinθ＝3t5t＝35，所以cosθ＝45＝2t+2a5t，解得所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ＝16a2+4a2-4c216a2＝48．已知双曲线C：x2－y2b2＝1((1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．解：(1)因为双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y所以b＝2，所以双曲线C的标准方程为x2－y2(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18.又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.9．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若双曲线C1A．1，23C．(1，2) D．(2，＋∞)A解析：由双曲线C1的方程可得其渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝14a故圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝12a由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得aba2+b2＜12a，即c＞2b又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2所以e＝ca又e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为1，10．(多选题)(新背景)2022年卡塔尔世界杯的会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C.已知P(x0，y0)是双纽线C上的一点，下列说法正确的是()A．双纽线C关于原点O成中心对称B．－a2≤y0≤C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为2aABD解析：对于A，因为定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C，设M(x，y)是双纽线C上任意一点，所以x+a2+y2用M′(－x，－y)替换方程中的M(x，y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O成中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知12×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2＝12×2a×|y即|y0|＝a2sin∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x0＝0，所以a2+y02×a2+对于D，因为PO＝12(PF1＋PF2所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2，所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝a2＋a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为2a，所以D正确．11．(2024·内江模拟)已知双曲线x2－y2a2A．213，+∞C．(1，2) D．以上选项均不正确D解析：设切线方程为y－2＝k(x－2)，由y-2=k得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然当a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a.由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.由题意可知此方程有两个不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2＜43则c2＝1＋a2＜73(c为双曲线的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e将k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝2.综上，e的取值范围是(1，2)∪2，12．已知焦点在x轴上的双曲线x28-m＋y2(0，2)解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为bcb2+a2＝b.双曲线x28-m＋y24-m＝1，即x213．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．解：(1)由题意可知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有2a＝|-3+22解得a＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求双曲线C的方程为x2－y2(2)因为双曲线C的方程为x2－y2所以渐近线方程为y＝±3x.由y=kx+2消去y，整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.①当3－k2＝0即k＝±3时，此时直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点，符合题意；②当3－k2≠0即k≠±3时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±7，此时直线l与双曲线C相切于一个公共点，符合题意．综上所述，符合题意的k的所有取值为±3，±7.14．如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．(1)解：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以双曲线的方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入，得a2＝16－10＝6，所以双曲线的标准方程为x26－(2)证明：由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.又以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，