专题16.2二次根式的乘除（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

16.2二次根式的乘除第十六章二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件学习目标1.理解二次根式的乘法法则.（重点）2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.（难点）3.了解二次根式的除法法则.（重点）4.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.

（难点）5.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）问题1运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.第一宇宙速度v1可以表示为.问题2飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.第二宇宙速度v2可以表示为.思考

若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？(1)___×___=____;=_________;讲授新课一、二次根式的乘法计算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630观察两者有什么关系？

观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考观察后，你发现了什么规律？用关系式表示出来。猜测：

你能证明这个猜测吗？对于二次根式的乘法公式：语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则:二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数被开方数概念总结要求：a,b必须是非负数.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律？1.

×=____(a≥0,b≥0)662020一般地,对于二次根式的乘法法则是:合作探究活动1：探究二次根式的乘法法则及运算a、b必须都是非负数！算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.(a≥0,b≥0)知识要点例1

计算解:反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数．活动2：探究用积的算术平方根化简二次根式例2化简:（1）（2）解：41.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.

想一想？成立吗？为什么？非负数典例精析

计算:解:(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即.归纳可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则

计算:解:

当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即.归纳提示

单项式乘单项式法则试回顾如何计算3a2·2a3=

.6a5提示：可类比上面的计算哦二次根式的乘法法则推广：公式推广此法则也适用于多个二次根式相乘，即当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即例3比较大小(一题多解):解：方法一：（将根号外的数字放到根号里面）∵，，又∵20＜27，∴，即.方法二：（平方法）∵，

，又∵20＜27，∴，即.解：∵，，又∵52＜54，∴，∴,即

比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小A.B.C.D.1.计算的结果是()

A.B.4C.D.2B2.下面计算结果正确的是()

D3.计算：____.

30练一练二、积的算术平方根的性质反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.解：（1）；例4

化简：（1）；（2）．（2）

(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.1.计算：解：

练一练易错提醒：中，a,b必须是非负数.2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为，宽为，求出它的面积.解：它的面积为(1)___÷___=____;=_____;计算下列各式:(2)___÷___=____;(3)___÷___=____;=_____;=_____.234567观察两者有什么关系？

三、二次根式的除法观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？特殊一般议一议问题在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.a,b同号就可以啦你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦归纳总结二次根式的除法法则:文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得例5计算：解:除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算典例精析三、商的算术平方根的性质我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:例6

化简:解:还有其他解法吗?补充解法：典例精析解：先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质1.能使等式成立的x的取值范围是（）A.x≠2B.x≥0C.x＞2D.x≥2C2.化简：解：练一练五、最简二次根式问题1

你还记得分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即问题2

前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子中分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？下面让我们一起来做做看吧：把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.概念学习例7

计算:解:典例精析

分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.归纳满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.归纳总结在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．解：只有(3)是最简二次根式；练一练例8

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知，求a的值.解:∵∴六、二次根式除法的应用例5

高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？解:由题意得我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？合作探究活动：探究二次根式的除法法则及运算首页计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（2）（1）（3）_______；

_______；_______；_______；_______；_______．归纳一般地，二次根式的除法法则（a≥0，b＞0）

两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.思考：等式中的a和b有没有条件的限制？解：公式的逆用活动：探究商的算术平方根的性质及化简注意:(1)这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也可以是单项式）.(2)注意被开方数的取值范围.1.与积的算术平方根的性质比较：共同点：一个根号变成两个根号.区别：取值范围不同.商的算术平方根:2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题比较,得出结论这种方法有的地方称之为分母有理化，即把分母中的根号化去的过程.解：提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简；（2）有理化因式确定方法.如有理化因式是它本身，的有理化因式是.例3：化简解：

观察上面各小题计算的最后结果并思考：（1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？活动：探究最简二次根式的概念及判断可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

简记为：分母无根号，根号无分母解：

解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简.如