2021江苏六校联考高三数学新高考模拟考试含答案

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2021江苏六校联考高三数学新高考模拟考试含答案

江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试

数学

命题：徐州一中高三数学组、兴化中学高三数学组、淮阴中学高三教学组

审核：盐城中学高三数学组、南京十三中高三数学组、汨阳中学高三数学组2021.4

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

I.已知向量集合2)+2(3,4)"eR},N={a|a=(-2-2)+/(4,eR},

则“riN=

A-{(1,2)}B.{(-2,-2))

C.{(1,2),(-2,-2)}D.0

2.十六进制是一种逢16进1的计数制.我国曾在重量单位上使用过十六进制，比如成语“半

斤八两”，即十六两为一斤.在现代，计算机「中也常用到十六进制，其采用数字0〜9和字

母A-F共16个t-数符号.这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制0123456789ABCDEF

十进制0123456789101112131415

例如，用十六进制表示：E+D=1B,则AxB二

A.6EB.72C.5FD.BD

3.正三棱柱P-N3C的高为2,侧棱与底面力BC成45。角，则点4到侧面P8C的距离为

A.>/3B.2拒C.至D,e6

55

4.用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯

特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：mol/L)之比

为常数K,并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行

〃次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的」一倍，溶质在水溶液

10+K

中原始的物质的量浓度为1.0mol/L,该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20,则至少

经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于LOxKT5moi/L?(假设萃取过程中

水溶液的体积不变.参考数据：ln3%L099,lnl072.303.)

D6联考数学试题第1页(共9页)

A.9次B.10次C.11次D.12次

5.(1+我)6(1+』=尸展开式中的常数项为

A.1B.46C.4245D,4246

6.学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动

服务.经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s.后来经核实，

发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时,

被误统计为15小时：乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时.更正后

重新计算，得到标准差为则s与4的大小关系为

A.s=S|B.$VS[C.5>5]D.无法判断

7.已知向量QWC,\e\=1，且对任意fwR,恒成立，则

A.aA.eB.a1(a-e)

C.eV(a-e)D.(a+e)1(a-e)

8.在平面直角坐标系xQy中，点/是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，以抛物线的焦点厂为

圆心，以FA为半径的圆交抛物线的准线于8,C两点，44BC的面积为辿，记/BFC=0,

3

若Zsin?。一sin26=3cosO-sinO,则p的值为

A.4B.8C.40D.8&

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分,

9.已知a,乃是两个不同的平面，〃7,〃是两条不同的直线，下列说法正确的是

A.“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实(公理)之一

B.“若a〃6，mua,则山〃夕”是平面与平面平行的性质定理

C.“若m//n,"?(za,〃ua,则6〃a”是直线与平面平行的判定定理

D.若a〃夕，mHa,w//w,4，则〃〃夕

10.若x>0,y>0♦S.x+y=xy>则

A.x+y^4B.xy^2

C.x+2y+xy^S-¥2y/6D.—+-^->6+4>/2

jr-1y-1

已知椭圆q：5+4=im>6>0)的左右焦点分别为耳，F,离心率为q,上顶点为尸，

11.2

a~b~

且片的面积为双曲线。2与椭圆Ci的焦点相同，且。2的离心率为02，M为G与

的一个公共点，若则

D6联考数学试题第2页(共9页)

A.幺=石B.e.g,=—C.e：+e：=2D.el-el--

e,48

12.设函数/（x）=立冬吆+Mnx,下列说法正确的是

A.若a=b=O,/（x）是奇函数

B.若a=l,6=0,/（x）在g,+8）单调递减

C.若。=0,b=-\,/（x）在（1,+8）有且仅有一个零点

D.若a'0,b｝0,/（%）+/（%）>f"）-）区>%>i）

Xx

X]+x2l~2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.国际象棋中骑士（Knight）的移动规则是沿着3x2格或2x3-----------------------------

格的对角移动.若骑士限制在图中的3x4=12格内按规则移---------------------

V

动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角-----------------------

标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,到达右匚〜----------士-

下角标12的方格内，那么图中X处所标的数应为.

14.写出一个使得0++0'=0成立的非零复数0=.

15.已知数列｛q｝为正项数列，4=1，S”为J工的前"项和，且满足1+S：=MM+S“，则分

别以I,S„,历为三边边长的三角形有一内角为定值,｛凡｝的通项公式为

.（本题第一空2分，第二空3分.）

16.在长方体/3CQ-44GA中，43=13,AD=5,AA,=\2.过点月且与直线CD平行

的平面a将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面a

变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设｛4｝是集合｛2‘+2'10WsV。且s,，eZ｝中所有的数从小到大排列成的数列，即q=3,

a2=5,a｝=6,%=9,a5=10,%=12,….将｛%｝各项按照上小下大、左小右大的原则

写成如下的三角形数表.

3

56

91012

（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由），并求小„；

（2）设｛4｝是该三角形数表第〃行的〃个数之和所构成的数列，求｛瓦｝的前〃项和S”.

D6联考数学试题第3页（共9页）

18.(12分)

如图，在水平桌面上放置一块边长为1的正方形薄木板

ABCD.先以木板的4。边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平

面此时NB/8的大小为。再以木板的

边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面/且G。，此时NGB£

的大小也为0.

(1)求整个转动过程木板扫过的体积；

<2)求平面｛耳G"与平面/8CD所成锐二面角的余弦值.

19.(12分)

在A48C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,(3-cosJ)tany=sinJ,ZL4BC

的周长为8.

(1)求6：

(2)求△/BC面积的最大值.

20.（12分）

郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹

如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲

抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系

中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干

涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.

(1)已知4,B是在直线/两侧且到直线/距离不相等的两点，P

为直线/上一点.试探究当点尸的位置满足什么条件时，|尸4-尸8|取

最大值：

(2)若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于

曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦

点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于

双曲线的另一个焦点.

D6联考数学试题第4页(共9页)

21.（12分）

2

已知函数/（了）=帚（工+1）-工.

X+1

（1）求/（X）的单调区间；

（2）若不等式（l+』）""We对任意•恒成立，求"的取值范围.

n

22.（12分）

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出"（"eN'且〃亍4）瓶

外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序：经过一段时间，等其

记忆淡忘之后，再让其品尝这〃瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据

一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以外，外,生，…，a”表示第一

次排序时被排在I,2,3,…，”的〃种酒在第二次排序时的序号，并令

X=|l-q|+|2-O2|+|3-a3l+…+|"-q则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

（1）证明：无论“取何值，X的可能取值都为非负偶数：

（2）取"=4,假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，q,a?，4,a4等可能地为

1,2,3,4的各种排列，且各轮测试相互独立.

①求X的分布列和数学期望：

②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有XW2,则认为该品酒师有较好的酒味鉴别

功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.

D6联考数学试题第5页（共9页）

江苏省六校联合2021届高三第四次适应性考试

数学试题评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.B2.A3.D4.C5.D6.C7.C8.B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.CD10.ACD11.AC12.BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.814.」+招（或」-乌）

2222

15.-（2分）a“=______-______（3分）16.17-2闻

3"4sin2[yx（l）"-2]

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

（1）第四行：17182024,（1分）

第五行：3334364048,（2分）

在该三角形数表中第，行中有，个数，其中第5+1个数为2'+2’,（4分）

（1+4T）（，oT）v]00w（1+'。儿

22%=14

设am=2“+2'。，贝人,解得

100（i+0T）（「i）=8

=S0+1

2

从而=2"+2*=16640.（6分）

l21(12)),

(2)/>„=n-2"4-(2°+2+2+--+2""')=w2"+~=(M+1)2-1.（8分）

1—2

=2x2'+3x22+4x23+--+(n+l)-2"-M,

2S„=2X22+3X23+4X24+-+(M+1)-2"+,-2M,

4(1-2"'1)

从而S„=(M+1)-2"+|-4—---------n=-2"+,-M.（10分）

1-2W

考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分.

18.（12分）

（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为0,半径为1的扇形,高为1的

直棱柱组成，（2分）

n

故其体积r=2x（2x7txFxl）=。.（4分）

2冗

（2）以/为坐标原点，方方向为x轴正方向，福方向为y轴正方向，建立如图所示的

数学试题评分参考第6页（共9页）

空间直角坐标系力-斗，

则力（0,0,0）,8（0,cos。，—sin。），D（-l,0,0）,B,（0,1,0）,〃（一cos。,0,sin。）,

AB=（0,cos。，-sin。），而=（-L0,0）,福=（0,1,0）,

4。]二（一cos/0,sin。），（6分）

设〃=（x,y,二）是平面45co的一个法向量，则

（ycos^-rsin^=0人,八

\,即八，不妨令蚱sin。，

[nAD=0[T=0

可取〃=（0，sin。，cos。），（8分）

同理平面力5c2。的一个法向量m=（sin。，0,cos。），（10分）

设平面力4GA与平面48co所成锐二面角为。，

则COS0=|cos<〃,/W>|=[,：°SI=cos仇

Jsir?6+cos26•Jsin?6+cos20

所以平面ABC2A与平面45。。所成锐二面角的余弦值为cos20.（12分）

考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分.

19.（12分）

（1）因为（3-cos4）tan?=sin4,所以（3-8$4）2$m9（：053=5皿42（：05：!日，

所以sinB（3-cos?l）=sin4（1+cosB）,（2分）

化简得3sin8=sin4+sin8cos力+sin4cos8=sinJ+sin（J+B）,

又因为4+8+。=兀，故3$亩8=5吊4+5亩[7[—（4+8）]=5足4+5由。，（4分）

在zMBC中，由正弦定理得一二=—U=-J,故3b=a+c,

sinJsinBsinC

从而a+6+c=4b=8,即b=2.（6分）

（2）由于6=a+cN2疝，所以acW9,当且仅当a=c=3时等号成立，（7分）

[221k2

而=4ocsinB，在公”〃。中，由余弦定理得C0S8="+）-"'（9分）

2lac

故S，BC=-^2^2sin2B=-02c-cos2B）=-a2c2[\+C-——）2]

444he

122ri/（a+cp—2oc-Zr\21,

=-a^c-[\-（---------------y]=Soac-6依8o,

42ac

所以SascW2ji,故△Z8C面积的最大值为2啦.（12分）

考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分.A

20.（12分）卜

（1）不妨设X点到直线/的距离比3点到直线/的距离大，作4点

关于直线/的对称点H.j/l^^P

当/为乙1PB的平分线时，A',B,尸三点共线，

故PA-PB=PA'-PB=A'B,

数学试题评分参考第7页（共9页）

当/不是41P8的平分线时，取这样的点P',则H，B,P'能构成一个三角形，

故P'A-P'B=P'A'-P'B<A'B,

因此，当且仅当P的位置使得/为aIPS的平分线时，|4一尸8|取最大值.(4分)

(2)不妨设双曲线的焦点在x轴上，半实轴长为明左右焦点分别为耳，F2,入射光线乙

从巴出射，入射点。，反射光线4,双曲线在。点处的切线4,右在。点处的垂线小

由光的反射定律，小乙关于/,对称，故4,乙关于对称，

要证：反射光线4过点耳，

只要证：4是4的角平分线，(7分)

定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，

由双曲线的定义，FtQ-F2O=2a,

对于双曲线内部的一点。'有|百。'-外>2%

对于双曲线外部的一点。"有|£。"-人。"|<2%(9分)

(命题：淮阴中学-朱振东兴化中学-姚楷徐州一中-赵嘉铉)

又4是双曲线在。点处的切线，故在4上有且仅有一点Q使得FtQ-F2Q=2a,

%上其他点Q"均有片-F2Q-<2a,

故。是4上唯一使得片。-5。取最大值的点，(11分)

又石，鸟到直线4距离不相等，根据(1)中结论，可知4是/耳。6的角平分线，

故反射光线4过点耳，命题得证.(12分)

考生若有其它解法，应给予充分尊重，并参照本标准评分.

21.(12分)

(1)/(x)的定义域(-L+8),

j.,._21n(x+l)X?+2x_2(x+l)ln(x+l)-x2-2x

J⑶=FTi一—(TTij7=漏T，(1分)

令g(x)=2(x+l)ln(x+l)---2x,xe(-l,+8),g，(x)=21n(x+l)_2x,(2分)

令/>(x)=21n(x+l)-2x,XG(-1,+oo),

2

h\x)=----2,当一IVxvO时,，(x)>0,当x>0时,h'(x)<0,(3分)

x+1

所以〃(x)在(-1,0)单调递增，在(0,+8)单调递减，

又力(0)=0,故〃(x)WO,即当x>-l时，g'(x)WO,

所以g(x)在(-1,+8)单调递减，(4分)

于是当-IvxvO时，g(x)>g(O)=O,当x>0时，g(x)Vg(O)=O,

所以当-IVXVO时，/V)>0,当x>0时，/'(x)vO,

所以/(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+00).(6分)

(2)不等式(l+」)*"We5wN)等价于(〃+a)ln(l+3〈l,

nn

又—>1,故aW--------n，(8分)

nln(l+-)

n

数学试题评分参考第8页(共9页)

、儿/、11°「，/、(x+l)ln2(jr+l)-x2f(x)

设。(x)=r■:-77一一，^e(0,1],(/)\x)=^-L―——=,；—，

ln(x+l)xjf2(jf+l)ln(j+l)xIn(A+1)

又〃x)W/(0)=0,故当xw(0,l]时，”(x)v0,(10分)

所以K)在(。山单调递减'于是双故公专一1

所以"的取值范围为S而