初中数学-分式方程(一)教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：第五章第四节分式方程(1)

授课人：

课型：新授课

授课时间：教学目标：

1.能将实际问题中的数量关系用分式方程表示.

2.掌握分式方程的概念.

3.体会分式方程的模型作用.

教学重点和难点：

重点:根据实际问题的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的概念.

难点:根据实际问题中的等量关系列出分式方程.

教法及学法指导：

本节课是在七年级学过列整式方程的基础上,使学生对实际问题进行建模有初步理解，具

备分析问题、处理问题的能力.在教学时有意识的提高学生的的阅读理解能力,鼓励学生从多角度

思考问题,启发引导学生发现解决问题的方法,注重知识的形成过程.教学中采用互动的教学模式,

用问题做载体，通过小组合作、讨论、交流、归纳、辨析、反思、质疑等活动实现互动，创设和谐

民主的课堂氛围.

课前准备：多媒体课件、导学案

教学过程：

一、情境导入

(多媒体播放图片)

颤抖,ft河移位,满目疮痍,生离死别.全国人民纷纷伸出关爱之手，捐出自己的一份爱.时隔7

年，在世界各地爱心帮助下，新居民、新城镇、新学校、新园区勃勃生机，大地处处美丽和谐，又

还人间一个锦绣巴蜀.

【设计意图:通过生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受到,世界需要爱,也充满爱.

让学生展开联想,为下面问题的提出做铺垫.]

【教学效果:学生通过图片展示,看到爱的力量,发奋努力学习,长大后为祖国建设出一份

力

【师】我们来看一个捐款的实例：（多媒体展示）

“救灾捐款”问题

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐

款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个

年级人均捐款恰好相等.如果设七年级捐款人数为X人,那么X满足怎样的方程？

【生】阅读思考.

【师】这个“救灾捐款”问题用我们以前学过的一元一次方程能否解决？

【生】（交流后回答）不能.

【师】那么今天我们就来学习一种新的能刻画现实世界，反映现实世界的数学模型.（出示

课题）

【设计意图:通过实际问题的提出，让学生感受到，以前所学知识已不能解决现有的问

题,需要学习新的知识,提高学生学习的欲望.并且让学生带着问题投入学习,积极性更加强

烈.】

二、合作探究

探究一：“高铁列车”问题

【师】随着科技和人们生活水平的不断提高，我们现在已进入具有时代气息的高铁时代.这

里有这样一个实例.（多媒体展示）

【师】你能找出这一问题中的所有的等量关系吗？

（学生认真阅读题目，分析问题,独立思考后分小组讨论交流.教师进行巡视，了解学生活

动情况.）

［生1］乘高铁列车所用的时间+9/7=乘特快列车所用的时间.

［生2］高铁列车的平均速度=2.8x特快列车的平均速度.

1400

【生3】乘高铁列车所用的时间=一-加=，八B.

局铁列车的平均速度

1400

【生4】乘特快列车所用的时间=附、6钻B3、吉阵.

4特db快列车的平均速度

________1400

【生5】高铁列车的平均速=乘高铁列车所用的时间

1400

【生6］特快列车的平均速度=

乘特快列车所用的时间

【师】非常好,如果设特快列车的平均速度为M"?/〃，那么X满足怎样的方程?根据你

所找的等量关系完成下表,并列出方程.

时间///平均速度/（攵7〃/力）路程/%机

高铁列车

特快列车

关系式

（学生可以先自己填写,然后再在小组内交流,教师在学生思考交流时进行巡视,对于有困

难的部分学生可以加以点拨.最后利用实物投影展示.）

【生】

时间/〃平均速度/（如2/〃）路程

高铁列车14002.8%1400

2.8%

特快列车1400X1400

X

关系式乘高铁列车所用的时间+9=乘特快列车所用的时间

14C001400

所以方程为：—-+9=——.

tX

【师】很棒，如果i殳小明乘高铁列车从甲地到乙地需W?,那么y满足怎样的方程?完成

下表:

时间/〃平均速度/（加/力）路程/A机

高铁列车

特快列车

关系式

（由于有了上一个表格的分析,学生完成此表格比较容易.）

【生】

时间/〃平均速度/（Am/〃）路程/A机

高铁列车V14001400

y

特快列车y+914001400

y+9

关系式高铁列车的平均速度=2.8x特快列车的平均速度

1400oo1400

所以列出方程为：143=2.8X

yy+9

【师】通过此问题的解答，你认为准确列出方程的关键是什么？

【生】关键是找等量关系.

探究二：“高速公路”问题

【师】公路与我们的生活也有着密切的联系,高速公路被誉为一个国家走向现代化的桥梁,

是发展现代交通业的必经之路.（多媒体展示）

“公路”问题~

从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600%相

的普通公路,另一条是全长480h”的高速公路.某

客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路

上快45加/h,由高速公路从甲地到乙地所需时

间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.

【师】这一问题中的所有的等量关系有哪些？

（学生认真阅读题意，找题目的等量关系，并以小组为单位讨论交流，然后选代表回答.

学生有了上面的经验，回答的很踊跃.）

【生11客车在高速公路上行驶的速度-客车在普通公路上行驶的速度=45bnlh.

［生2］客车由高速公路从甲地到乙地的时间x2=客车由普通公路从甲地到乙地的时

间.

480

［生3】客车在高速公路上行驶的速度;，、.二＞一_.八口.“eem

客车由局速公路从甲地到乙地的时间

600

【生4】客车在普通公路上行驶的速度=

客车由普通公路从甲地到乙地的时间

480

【生5】客车由高速公路从甲地到乙地的时间=，&6六"、击八口々।一讪毋力.

客车在昌速公路上行驶的1Vl速度

600

【生6］客车由普通公路从甲地到乙地的时间，客车在普通公路上行驶的速度.

【师】如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为皿，那么x满足怎样的方程？

（学生根据自己找到的等量关系，列出工满足的方程.）

480600

［生］—一=45.

x2x

【师】如果设该客车在高速公路上行驶的速度为，那么y满足怎样的方程？

480600

［生］——x2=—花•

yy-45

【设计意图：通过探究交流，让学生学会寻找等量关系，然后根据等量关系列出方程，理

解建立分式方程的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.］

探究三：“救灾捐款”问题

【师】现在我们再来看刚开始上课时遇到的捐款问题，在这个问题中有哪些等量关系？

（学生独立思考，教师进行巡视，对于有疑问的同学可以进行指导.）

【生1】八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.

［生21七年级捐款总额=七年级捐款人数*七年级人均捐款.

【生3】八年级捐款总额=八年级捐款人数x八年级人均捐款.

【生4】七年级人均捐款=八年级人均捐款.

48005000

【生5】所以所列方程为：一•=「米•

xx+20

【设计意图：通过分析问题解决问题，让学生熟练掌握“找等量关系--列分式方程”,

体会建模过程.】

探究四:观察发现,形成知识

【师】由上面的问题,我们得到了下列方程？

【生】有

-1400140014001400480600WT~600-

——+9=——，——=2.8x——，坐——=45,——x2=--------,

2.8xXy>,+9X2.xyy-45

4800_5000

xx+20

【师】这些方程有没有共同特点？

（学生认真观察、独立思考,先用自己的语言描述，然后再在小组中讨论、交流.）

【生】这些方程中都有分式，并且分母中含有未知数.

【师】那么我们可以叫它什么？

【生】分式方程.

【师】我们应该怎样定义它呢？

【生】分母中含有未知数的方程叫分式方程.

【师】回答的非常好.分式方程要满足两个条件：一是方程中的代数式都是分式或整式；二是

分母中含有未知数.

【设计意图：学生通过经历从实际问题抽象概括分式方程这一“数学化”的过程，体

会分式方程的模型思想.］

三、巩固新知（出示幻灯片）

1.下列方程：（1）1=2;（2）£11=土；（3）二+2=1（。*为已知数）；（4）

x32ab

v3

-Ar+--=3.其中分式方程有.（填序号）

x-\\-x

2.下列各式中，是分式方程的是（）

A.x+y=5B^+2=2y-zC.l£>.-=0

53xx+5

3.若分式方程士=2的解是2,则〃的值是（）

x+2

A1B.2C.30.4

4.甲队修路120加与乙队修路100加所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10〃?，设

甲队每天修路x机.依题意,下面所列方程正确的是（）

120100120100「120100一120100

A4.___—_____n___—_____c._____—___D._____—___

xx-10xx+10x-10xx+10x

5、某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8000元购进一批衬衫，很快销售一空.再

进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4元/件，他用17600元购进2倍于第一次

进货量的这种衬衫。问第一次购进多少件衬衫？

（学生先独立完成，然后再交流自己的结果，教师巡视，了解学生对知识的掌握情况.）

［生1］因为（1）（4）中分母中含有未知数，所以分式方程是（1）（4）.

【生2】因为12°=10°分母中含有未知数，所以选。.

x+10x

［生3］因为分式方程x+2的解是2,所以把％=2代入方程中得a=4,所以选。

【生4】本题的等量关系是：甲队修路120加的天数=乙队修路100m的天数.设甲队每

120100

天修路A7H,那么乙队每天修路（X-10）相，所用天数分别为--------—，所以选A•

xx-\0

［生5］在充分思考讨论后，完成下面的表格.

进货数量进货总价进货单价

（单位：件）（单位：元）（单位：元肿）

第一次8000

X8000

X

176001

第二次2x17600

2x

解：设第一次购进x件衬衫，由题意得：

176008000

-=4.

2xx

［设计意图：通过巩固练习,让学生进一步加深对分式方程定义的理解.】

四、归纳小结

【师】通过本节课的学习，你有哪些收获?和大家一起分享吧！

［生1］通过今天的学习，我认识了分式方程.知道了分母中含有未知数的方程叫分式方

程.

【生2】我学会了如何根据题意列分式方程.

【生3］我悟到了列分式的党门，先找到题目中的等量关系，再根据等量关系列出分式方

程.

【生4］我觉得在解决实际问题的时候,哪个等量关系是用列方程的，哪个等量关系是列

方程中的分式或整式的,我不是很明确.

【师】可能不止一个同学又这个感觉,希望大家带着收获用今天学到的知识去解决实际问

题，并在不断的取得经验的同时把困惑变成收获.

（学生畅所欲言,相互进行补充,用自己的语言进行归纳.）

（设计意图:让学生以反思的形式回忆本节的学习内容与方法,更有利于学生加深对所

学知识的印象,有利于培养学生养成良好的数学学习习惯.J

五、达标检测

【师】请同学们独立完成导学案上的达标检测.

।Q64

1.方程二+5=0,=4,V+5=6,：__=2,1=2中，分式方程有

2x-2y-23xn

（）

A2个B.3个C4个D5个

2某村计划新建水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效

率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠X，”，则下列所列方程正确的是

()

3600360036003600

A.=B.20=

X1.8x1.8.rX

3600360036003600

C...........-____=20D.____.+____=20

X1.8xX1.8x

有两块面积相同的试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦

12000依和14000依，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500版.如果设第一块

试验田每公顷的产量为X依，那么X满足怎样的分式方程？

（学生做完后，教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况，学生根据答案进行纠错.）

【设计意图:学生检查自己的学习成果,并最大限度地调动学生学习数学的积极性,使

每个学生都能有所收益,有所提高,让教师及时了解学生对知识的掌握情况,有针对性的进行

指导，达到全面提高的目的.】

六、布置作业

1.基础题:课本P习题5.7第1、2题.

126

2.选做题:课本P习题5.7第3题.

126

板书设计

§5.4分式方程（D

1.“高铁列车”问题分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程.

140014001400co1400

——+9=——，——=2.8x------学生板演（填表）

2.8xxyy+9

2.“公路”问题例题分析：

480600480600

------------=45,------x2=---------

x2xyy-45

3.“救灾捐款”问题四行四列表格

4800=5000

xx+20

§5.4分式方程⑴

学情分析:

学生在本章前面已经学习了分式的意义，列分式表达实际情景。七年级学习了用一元一

次方程解决实际问题，八年级上册学习了二元一次方程组解决问题。八年级学生具有丰富的

想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性。但是在实际问题中列分式方程，

对部分同学来说仍然较有困难，因此在教学过程中应重点强调如何寻找实际问题中的等量关

系，建立方程模型。列分式方程解决问题往往要比列一次方程复杂一些。在教学中要想办法

引导学生仔细分析问题中的数量关系，抓住寻找等量关系、恰当选设未知数、用含未知数的

分式或整式表示有关量、利用等量关系列出方程等关键环节，帮助学生进一步体会模型思想。

此外，教学中要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题，注

意检查、解释所获得结果的合理性。

§5.4分式方程(1)

效果分析:

1.学生是课堂的主体，本课通过设置问题情境，启发了学生的学习热情.通过解决“救灾捐

款”问题使学生感受到了世界需要爱。通过解决“高铁列车”问题和“高速公路”问题感受到了

我们国家高科技的迅猛发展，培养了民族自豪感。通过'‘修水渠"、“衬啾货”、“小麦试验

田”、“土地沙化”等问题感受到了生活中处处有数学，数学处处有用处.

2.通过自主探究、小组交流、口头表达等数学活动，使学生的学习能力得到了锻炼，学

习方法有了一定的突破。

3.本节课在教师的引导帮助下，大部分同学完成了学习目标，学生的潜力得到较大

程度的挖掘，智力好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人

学有所得。

4.课堂教学中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，配合默契，教

与学的气氛较和谐。教师教得轻松，学生学得愉快。

§5.4分式方程(1)

教材分析:

分式方程是“数与代数”中重要的一部分，是在学习了用字母表示数、一元一次方程、

二元一次方程(组)、一次函数后所学习的另外一种方程模型，解决问题过程中需要用到列

分式方程这一建模过程，为九年级学习较难的一元二次方程的应用、二次函数的应用提供了

练兵的机会。知识体系呈现螺旋式上升，分式方程在其中具有承上启下的作用。

分式方程中所涉及的问题情境来源于实