高中数学选择性必修一课件：2 1 1 倾斜角与斜率(人教A版)

第二章

直线和圆的方程[数学文化]——了解数学文化的发展与应用圆的历史墨子古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子.会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年.[读图探新]——发现现象背后的知识1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥，距今已有1400年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37m，宽9m，拱矢高度7.24m，赵州桥是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥.2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直线，太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识.3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题吗？问题1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有关的应用有哪些？问题2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？问题3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？链接：圆在桥上的应用只是解析几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论日常生活还是航天技术的运用，用到解析几何知识的地方还很多，而测量比萨斜塔的倾斜程度，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是解析几何的一部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习解析几何知识吧！2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养.新知探究意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？学完本节后，相信你一定能解决这个问题.问题如何确定比萨斜塔的倾斜度？你有哪些方法可以运用？提示可以先测出比萨斜塔与地面所成的角，利用角度的大小说明倾斜程度.亦可以利用几何方法建立平面直角坐标系，借助于塔上任意两点对应的方向向量通过计算说明.1.直线的倾斜角当直线与y轴平行或重合时倾斜角为90°(1)直线倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们以________为基准，x轴________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是____________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_______.x轴正向向上α|0°≤α＜180°0°1.直线的倾斜角当直线与y轴平行或重合时倾斜角为90°(1)直线倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们以________为基准，x轴________与直线l________的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是____________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_______.x轴正向向上α|0°≤α＜180°0°(1)斜率的定义2.斜率的概念及斜率公式k>0时，直线的倾斜角为锐角；k<0时，直线的倾斜角为钝角我们把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝_________.倾斜角是_________的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.正切值tanα90°(2)斜率公式x1与x2，y1与y2可同时交换位置形数3.直线的方向向量一条直线的方向向量有无数个，且都是非零共线向量方向向量拓展深化[微判断]1.任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.()

提示倾斜角为90°的直线的斜率不存在.2.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(

)

提示直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.××[微训练]1.已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于(

)解析k＝tanα＝tan45°＝1.答案C[微训练]1.已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于(

)解析k＝tanα＝tan45°＝1.答案C2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝(

)答案C答案30°[微思考]1.若直线l与x轴垂直，其倾斜角是多少度？

提示直线l与x轴垂直，则倾斜角为90°.2.若直线l与x轴平行，其斜率是多少？

提示直线l与x轴平行，则倾斜角为0°，其斜率为0.题型一求直线的倾斜角【例1】

(1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A.α＋40° B.α－140° C.140°－α D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.解析(1)根据题意，画出图形，如图所示.因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.(2)有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.答案(1)D

(2)60°或120°规律方法(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.【训练1】下列命题正确的是(

)解析0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α>60°时，3α>180°，与倾斜角的范围矛盾，C错；tan45°＝1，D错.答案A题型二求直线的斜率【例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10).即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.规律方法(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.【训练2】

(1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率.解(1)由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，(2)直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，即l′的斜率k′＝tan135°＝－1.题型三直线的倾斜角与斜率的应用角度1三点共线问题解由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.45°≤α≤120°.解如图所示.【训练3】证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上.证明易知直线AB，AC的斜率都存在，∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，∴A，B，C三点共线.一、素养落地1.通过直线的倾斜角与斜率的学习，提升数学运算、数学抽象素养及逻辑推理素养.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况

α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围0k>0不存在k<0k的增减情况

k随α的增大而增大

k随α的增大而增大3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题： (1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应). (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.二、素养训练1.对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析①②③正确.答案C2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(

) A.在同一条直线上 B.是直角三角形的顶点 C.是等腰三角形的顶点 D.是等边三角形的顶点∴A，B，C三点线.答案A3.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α满足(

) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180°解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α满足90°<α<180°.答案C4.下列各选项的图形中，标出的倾斜角α正确的是(

)解析本题考查直线倾斜角的定义，其中A选项违背了x轴的正方向，B选项违背了x轴的正方向与l向上方向的夹角，C选项违背了l向上的方向.故选D.答案D5.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)； (3)(2，3)，(2，5)；(4)(3，－2)，(6，－2).(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；备用工具&资料4.下列各选项的图形中，标出的倾斜角α正确的是(

)解析本题考查直线倾斜角的定义，其中A选项违背了x轴的正方向，B选项违背了x轴的正方向与l向上方向的夹角，C选项违背了l向上的方向.故选D.答案D2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(

) A.在同一条直线上 B.是直角三角形的顶点 C.是等腰三角形的顶点 D.