高中数学选择性必修一课件：1 3 2 空间向量运算的坐标表示(人教A版)

1.3.2空间向量运算的坐标表示课标要求素养要求1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养.新知探究问题1.若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则巨石所受合力F的坐标是什么？2.巨石受到的合力有多大？2.|F|＝5000N.1.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标

一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____________________. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有向量运算坐标表示加法a＋b＝____________________________减法a－b＝______________________________数乘λa＝______________________________数量积a·b＝____________________终点坐标减去起点坐标(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)，λ∈Ra1b1＋a2b2＋a3b32.空间向量的平行、垂直及模和夹角a1b1＋a2b2＋a3b3＝03.空间两点间距离公式拓展深化[微判断]×提示当b1，b2，b3至少有一个为0时不成立.3.空间向量a＝(0，0，－1)为单位向量.()×√提示当b1，b2，b3至少有一个为0时不成立.3.空间向量a＝(0，0，－1)为单位向量.()×√[微训练]1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(

) A.(16，0，4) B.(8，－16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4)解析4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).答案

D2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(

)答案D[微思考]1.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a1b1＋a2b2＋a3b3<0，则〈a，b〉一定是钝角吗？

提示不一定，也可能〈a，b〉＝180°.2.如何进行空间向量坐标的加减、数乘及数量积运算？

提示

类比平面向量，把对应坐标进行加减、数乘、对应坐标乘积后求和，注意多了一个竖坐标.2.如何进行空间向量坐标的加减、数乘及数量积运算？

提示

类比平面向量，把对应坐标进行加减、数乘、对应坐标乘积后求和，注意多了一个竖坐标.题型一空间向量的坐标运算【例1】

(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. (2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________.解析(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，规律方法关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.【训练1】若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.解析据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.答案2题型二空间向量平行、垂直的坐标表示及应用角度1平行、垂直的简单应用所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.规律方法(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE.题型三夹角和距离的计算【例3】在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)求BP的长；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.解(1)如图，建立空间直角坐标系.∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.规律方法通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.【训练3】已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(2)因为M为BC1的中点，一、素养落地1.通过学习空间向量坐标形式的线性运算和数量积运算，提升学生的数学运算素养；通过借助空间向量的数量积运算，判定空间中线面的位置关系，提升直观想象素养.2.空间中线、面位置关系常转化为向量的关系，空间的角和距离问题一般利用向量的数量积解决，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的关系.二、素养训练1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(

)答案C2.已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于(

) A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)解析b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).答案B3.已知a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.4.已知a＝(－2，0，1)，b＝(1，0，2)，若a⊥(ka＋b)，则k＝________.解析ka＋b＝(－2k＋1，0，k＋2)，故a·(ka＋b)＝－2(－2k＋1)＋k＋2＝5k＝0，解得k＝0.答案0由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，备用工具&资料由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，4.已知a＝(－2，0，1)，b＝(1，0，2)，若a⊥(ka＋b)，则k＝________.解析ka＋b＝(－2k＋1，0，k＋2)，故a·(ka＋b)＝－2(－2k＋1)＋k＋2＝5k＝0，解得k＝0.答案02.空间向量的平行、垂直及模和夹角a1b1＋a2b2＋a3b3＝0拓展深化[微判断]×1.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标

一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____________________. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有向量运算坐标表示加法a＋b＝____________________________减法a－b＝______________________________数乘λa＝______________________________数量积a·b＝_______________