2024-2025学年度北师版七上数学-专题1-数轴与绝对值【课件】

第二章有理数及其运算专题1数轴与绝对值数学七年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS◎问题综述数轴是一个非常重要的数学工具，它使数与直线上的点建

立起对应关系，可以用来揭示数与形之间的内在联系，它是数

形结合的基础，通常与绝对值问题综合考查.◎要点归纳1.

数轴的三要素：

、

和

⁠.原点

正方向

单位长度

（1）有理数

a

的相反数为

；若

a

，

b

互为相反数，则

a

＋

b

＝

⁠.（2）在数轴上表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原

点的距离

⁠.－

a

0

相等

2.

相反数.3.

绝对值.（1）正数的绝对值是

，负数的绝对值是

⁠

，0的绝对值是

⁠；（2）几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的

点到原点的

⁠.它本身

它的相反

数

0

距离

数学七年级上册BS版典例讲练02类型一

有理数在数轴上的表示

【思路导航】先化简这些数，在数轴上表示出来；再根据数轴

上，右边的点表示的数总比左边的大将它们连接起来.

在数轴上表示数，如图所示：

【点拨】解答此类问题的步骤：（1）化简；（2）按规范画出

数轴，并在数轴上标记各数；（3）根据“数轴上，右边的数始

终比左边的数大”，按大小顺序排列连接各数.

如图，已知数轴上的刻度为1个单位长度，点

A

表示的数是－3.（1）在数轴上标出原点，并指出点

B

所表示的数是

⁠；（1）【解析】如图，点

O

为原点，点

B

所表示的数是4.故答案为4.4

（2）在数轴上找一点

C

，使它与点

B

的距离为2个单位长度，

则点

C

表示的数为

⁠；（2）【解析】由题意，知点

C

表示的数为4－2＝2或4＋2＝6.

故答案为2或6.2或6

（3）解：在数轴上表示数，如图所示：

（3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来.类型二

利用数轴、绝对值比较大小

如图，已知

a

＜0，

b

＞0，且｜

a

｜＞｜

b

｜，试把

a

，－

a

，

b

，－

b

这四个数用“＜”连接起来.【思路导航】在数轴上找到表示数－

a

，－

b

的点，按照在数轴

上右边的数大于左边的数排列即可.解：如图所示：由数轴可知，

a

＜－

b

＜

b

＜－

a

.【点拨】（1）我们常常通过图形（如此题中的数轴）来帮助理

解，以数的形式（如此题中的答案）作答；（2）数形结合是初

中数学一种重要的思想方法.

若有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的

是（

D

）A.

b

＞

a

＞

c

B.

b

＞－

a

＞

c

C.

a

＞

c

＞

b

D.

｜

b

｜＞－

a

＞

c

D类型三

利用数轴、相反数和绝对值进行计算

已知有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：

b

＋

c

0，

c

－

a

0；＜

＞

【思路导航】（1）先判断

a

，

b

，

c

的正负，再根据加法、减法

法则确定

b

＋

c

，

c

－

a

的正负；（2）化简：－｜－

a

｜＋｜

c

－

a

｜＋｜

b

＋

c

｜.【思路导航】（2）先判断正负，再化简绝对值，进行加减.（1）【解析】由数轴可知，

b

＜

a

＜0＜

c

，且｜

b

｜＞｜

c

｜.所以

b

＋

c

＜0，

c

－

a

＞0.故答案为＜，＞.（2）解：由（1）可知，

a

＜0，

b

＋

c

＜0，

c

－

a

＞0，所以｜－

a

｜＝－

a

，｜

b

＋

c

｜＝－（

b

＋

c

）＝－

b

－

c

，｜

c

－

a

｜＝

c

－

a

.所以原式＝－（－

a

）＋

c

－

a

＋（－

b

－

c

）＝

a

＋

c

－

a

－

b

－

c

＝－

b

.【点拨】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反

数，0的绝对值是0.我们常用这一规律去掉绝对值符号.

有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置如图所示，且表示数

a

的点、

数

b

的点与原点的距离相等.（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：①

b

0；

②

a

＋

b

0；＜

＝

③

b

－

c

0；

④1－

a

0.（1）【解析】由有理数

a

，

b

，

c

在数轴上的位置可知，

b

＜－

1＜

c

＜0＜1＜

a

.又因为表示数

a

的点、数

b

的点与原点的距离相等，所以

b

＜0，

a

＋

b

＝0，

b

－

c

＜0，1－

a

＜0.故答案为＜，＝，＜，＜.＜

＜

（2）化简：｜

a

＋

b

｜＋｜

a

－

c

｜＋｜

b

｜－｜

b

－

c

｜.（2）解：由（1）可知，

a

＋

b

＝0，

a

－

c

＞0，

b

－

c

＜0，

b

＜0，所以原式＝0＋

a

－

c

－

b

＋

b

－

c

＝

a

－2

c

.类型四

利用数轴、绝对值解决距离问题

我们知道｜

a

｜的几何意义是：数轴上表示数

a

的点与原点

的距离，即｜

a

｜＝｜

a

－0｜.这个结论可以推广为：①｜

a

－

b

｜表示在数轴上表示数

a

，

b

的两点间的距离；②｜

a

＋

b

｜表示在数轴上表示数

a

，－

b

的两点间的距离.根据以上结论探究下面问题：（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是

；数轴上表示

－3和－8的两点之间的距离是

；数轴上表示3和－8的两点

之间的距离是

⁠.4

5

11

【思路导航】（1）分别根据结论列式计算即可得解；【解析】（1）｜3－7｜＝4，｜（－3）－（－8）｜＝｜－3＋8｜＝5，｜3－（－8）｜＝｜3＋8｜＝11.故答案为4，5，11.（2）数轴上表示

x

和－3的点

A

和点

B

之间的距离是

；如果｜

AB

｜＝5，那么

x

为

⁠.｜

x

＋3｜

2或－8

【思路导航】（2）根据结论列出绝对值式子，再根据绝对值的性质计算即可得解；

【解析】（2）由题意，得｜

x

－（－3）｜＝｜

x

＋3｜.因为｜

AB

｜＝5，所以｜

x

＋3｜＝5.所以

x

＋3＝5或

x

＋3＝－5.所以

x

＝2或

x

＝－8.故答案为｜

x

＋3｜，2或－8.（3）当｜

x

＋2｜＋｜

x

－1｜取最小值时，相应的整数

x

的值

是

⁠.【思路导航】（3）根据两点间的距离的表示，数

x

在－2和1之间时有最小值即可求解.－2，－1，0，1

【解析】（3）因为｜

x

＋2｜＋｜

x

－1｜表示数

x

到－2和1的距离的和，所以当

x

在－2和1之间时，有最小值.所以相应的整数

x

的值是－2，－1，0，1.故答案为－2，－1，0，1.【点拨】若点

A

表示的数为

x

，点

B

表示的数为

y

，则

A

，

B

两

点间的距离可表示为｜

x

－

y

｜＝｜

y

－

x

｜.

结合数轴与绝对值的知识解决下面问题：（1）｜5－2｜表示5与2这两个数在数轴上所对应的两点之间的

距离，所以｜5－2｜＝

；｜5＋2｜表示5与－2这两个数在

数轴上所对应的两点之间的距离，所以｜5＋2｜＝

⁠.（2）数轴上表示数

x

的点在1与5之间移动时，｜

x

－1｜＋｜

x

－5｜的值是一个固定的值，为

⁠.3

7

4

（3）｜

x

＋1｜可理解为

x

与

⁠这两个数在数轴上所对应

的两点之间的距离，要使｜

x

－3｜＋｜

x

＋2｜＝7，则

x

＝

⁠

⁠.－1

－3或4

（3）【解析】｜

x

＋1｜可理解为

x

与－1这两个数在数轴上所

对应的两点之间的距离.