2021届高三高考文科数学必刷题考点35 基本不等式【含答案】

2021届高三高考文科数学必刷题

考点35基本不等式

1.直线/过抛物线产=似的焦点F且与抛物线交于4B两点，若线段4F,BF的长分别为m,n,贝i」4m+n的最小

值是

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】

由抛物线焦点弦的性质可知：？+：=；=1，

mnp

贝ij4m+解=(4?n+?i)+-)=5+—+—>5+2i-x-=9,

Vmn/nmnm

当且仅当?n=7.n=3时等号成立.

即4m+n的最小值是9.

本题选择8选项.

11

2.已知x>0,y>0,19^+19^=138,则2x3y的最小值是

24

A.3B.3C.2D.4

【答案】B

【解析】

lg4x+lg^=lg8=>22x+3y=23=>2x+3y=3,2x+3y=(五+药>+3y)x目=

1隹+%2卜¥2对+2)/空=空f

312x3y]3y)3,当且仅当2x3y时取最小值3,故选B.

11

—I=1

3.若m>0m>0,m2n上，则机+2”的最小值为

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

11

----1-----=1

,/m>0,n>0,m2n

fl1\2nm

m+2n=（m+2n）|—I-----=2H---------1----->2+2=4

/.\m2n）m2n

2nm

当且仅当m2n,即m=2n时，取

4.下列几个命题:

(Q>0

2

①卜=b-4ac<0是不等式af+bx+c>。的解集为R的充要条件；

②设函数V=八乃的定义域为R，则函数/'(x)与/(-乃的图象关于7轴对称;

③若函数y=4sm(3x+。)(4H0)为奇函数，则。=kzr,keZ；

2

xGy=cosxH--------不

④已知则cosx的最小值为2々；

其中不正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】①{j』>上，4"是一元二次不等式axAbx+caO的解集为R的充要条件，所以①正确；

②，如函数y=sinx；因为y=sinx与y=sin(-x)的定义域均为R,但两个函数的图象关于x轴对称，故②错

1天

③若函数了=/4sin(tox+©)G4工0)为奇函数,则当x=0时Asin(0)=O,所以。=ku,keZ正确,所以③正

确

@cosx+->2।cosxx-^―=25/2）此时cosx=二,所以cosx=±42不成立

COSXcosxcosx

所以④错误

综上，正确个数为2个，所以选C.

5.已知向量自=（3,1）,而=（一1,3）,OC^mOA-nOB（m>o,n>0）,若m+n=l,则I元I的最小值为（）

小yip

A.2B..2C.A/5D.A/10

【答案】C

【解析】

由题得。0=(3m+n,?n—3n),所以+??)2+(?n-3n)-

="0(种+M)<修正日，

当且仅当m=九=：时,等号成立。

故选C.

,b+1—CL4—1

6.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=«,n=b,则m+n的最小值是(.)

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

,11,a+b

,bH-a+—a+/>4--；—

。力的等比中项是1,­••ab=l,J.m+n=a+b=ab=

2(a+b)>4y[ab=4.当且仅当a=b=l时，等号成立。

故选Bo

7.在△4BC中，内角4BC所对应的边分别为a,瓦c,且asin2B+bsinA=0,若a+c=2,则边b的最小值为()

A.4B.3#c.2平D.心

【答案】D

【解析】

127r7T

,sunAsin2B+sinBsinA—OncosB=——,AB=—,A+C=-

根据asin2B+bsM4=0由正弦定理可得.233.

由余弦定理可得

b2=a2+c2-2ac-cosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=4-ac.•••a+c=2>2y/ac,

•••ac<1.b2=4-ac>3,即

故边b的最小值为依，

故选D.

1112

8.已知a>0,h>0,a+h=a+b,贝如+各的最小值为()

A.4B.2&C.8D..16

【答案】B

【解析】

,u.R„31潴#做叽二…尹,E

由修品磷,有磁=：11,则斯廨Y蠲版,故选：B.

9.已知函数f(x)=1o%x+x，ga)=0=-l)-logxa+4(a>l),若存在实数勺,使得/(%)=9(々)，则。=

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

由已知配oJoga*o+x0=ln(x0-1)-logXfla+4.gp(logax0+logXqa)

+(*o一ln(x()-1))=4,而X。>l.a>1,故log^o>O.logxa=—=—>0=>logax0

To。*0a?2,设h(x)=x-ln(x-l),容易求得当x=2时h(x)的最小值为2,

••(logflx0+logXoa)+(x0-ln(x0-l))>4,当“=”成立的时候.曹?/，枷=2.

选A.

3

10.若正数x，y满足》+©-初=0,则工^的最大值为

133

A.3B.8c.7D.1

【答案】A

t解析】

因为x+4y-盯=0,化简可得X+4y=xy,左右两边同时除以xy得

求亡的最大值，即求管=三+?的最小值

所以《+淤1=0+»6+打

x4y14

=—+-+-+-

3y3x33

-cl*4y,1,4

>2—X--

2y3X33

>3,当且仅当±=竟时取等号

所以系的最大值为三

X十J•

所以选A

11.函数/8)=1"刀+'-反+矶6>0,。6/?)的图像在点3/(与)处的切线斜率的最小值是()

A.2播B.依C.1D.2

【答案】D

【解析】

.1.111-

f(x)=—+2x—b；・k=f(b)=-4-b>2--fa=2

Xb(b，当且仅当b=l时取等号，因此切线斜率的最小值是2,,

选D.

12.若Q>0力>0,ab=a+b+lf则Q+2b的最小值为

A.3#+3B,3衣-3c.3+gD.7

【答案】D

【解析】

当》=1时，代入等式a=a+1•不成立，因而b*1

所以ab-a=b+1

所以a+2b

=l+-2-+2b

b-1

2.、

=3+---+2(b—1)

。一1

>3+2x2(b—1)

>3+2x2

>7(当a=3,b=2时取等号)

即最小值为7

所以选D

(X+2y-3<0

lx+3y-3>014

13.已知满足Iy<i/=2乂+丁的最大值为叫若正数见6满足。+6=皿,则a石的最小值为（）

345

A.9B.2c.3D.2

【答案】B

t解析】

作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）

由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线），=-2犬+2经过点工（3,0）时，直线），=-2工+2的截距最大，此时z最大.

代入目标函数z=2x+y得z=2x3=6.

即771=6.

贝ija4-b=6二二+；=21+

Zab6ab

=7a+4+：+手）＞i6+2：.者）=：,当且仅当a=2,b=4取等号，

6ab6yJab2

故选：B.

—+——-|BF|2

14.己知抛物线y2=4x的焦点F,过点F作直线1交抛物线于A,B两点，则1阳1明=,\AF\

的最大值为

【答案】14

【解析】

由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,设设为A（xi，yi）,B（xi，y2），AB：x=my+l,联立直线

/、2%为

x.+x?=my.+1+my?+1=m（y.4-y7）=4m+2pc.x?=---=-1,

与抛物线方程可得，44有抛物线的限制

1111+%2+2+%2+2

----F----=-----+-----=--------------=----------------=],

可得mF|=%]+l,|BF|=X2+l,故1初田尸|与+1x2+l（尢1+1）（上+1）xxx24-4-x2+1

（*.）

11

-----=1-

由，(*)可得\AF\的，故

1616/88\.1~~88n

-------|BFr7=16----------|BF『7=16-—+—+I5FI2?<16-3--------------|BF『二4

1111111

\AF\'\BF\\\BF\\BF\)J|BF|\BF\刍且仅当

8716O

—=\BF\2=^\BF\=2-------\BF\2

|BF|时取等号，故MFI的最大值为4..

即答案为1,4

，2公+1e?x9(4)仆2)

f(x)=---------9\x)~~~7------<------

15.设函数x,e)对任意气々€(0,+8),不等式k-k+1恒成立，则正数k的取值

范围是.(其中e为自然对数底数)

【答案】口，+8)

【解析】.当x>0时，/(x)==e:x+^>2^le=x-^=2e,当且仅当e：x=；,即=热寸等号成立.

e

.•.当x6(0.+8»寸，函数/(X)的最小值为2e.

・•・g(x)==,

.,.当x<1时,g'(x)>O.g(x)单调递增,

当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

.,.当x=1时，g(x)有最大值，且最大值为g(l)=e.

・•.对任意&0,+8),不等式*<崇恒成立,

"W康，解得心1，

二•正数k的取值范围是［L+s).

故答案为［1.+s).

11

16.若过点P(a,b)(a>0,b>0,b［a3-3a2)nJ作曲线fO)="-3/的切线恰有两条,则右的最小值为

【答案】4+26

【解析】

f(x)=3x2-6x,

过点P(a,b)作曲线的切线，

设切点(刈＞f(xo)),则切线方程为：y-b=(3xo2-6xo)(x-a),

将(xo,f(xo))代入得：f(xo)=(3xo2-6xo)(xo-a)-Axo3-3蜡，

即2x?-(3+3a)XO1+^HXLAO(*)

由条件切线恰有两条，方程(*)恰有两根.

令u(x)=2x3-(3-3a)x%ax7bu1(x)=6x2-(6+6a)x+6a=6(x-a)(x-1),

可得u(1)=0或u(a)=0,

即有3a+b=l或b=a3-3a2(舍去"

贝।卜+7=(3a-b)"+：)=4J+-+-＞4+2-¥=4+2、后＞

aoaoaoao

当且仅当b一弓护三寸，取得等号.

即有:+:的最小值为4+2、信,

故答案为：4+2、3

17.函数/'(x)=eX-a+x,g(x)=ln(x+1)-4e°;若使得/(%)-9(*o)=4,则(?.=.

【答案】Tn2

【解析】

令((1)一g(x)=ex-0+x-ln(x+1)+4e°令y=x-/n(x+1)

.1x

y=1------=-----,

第+1x+1,故¥=刀-比(第+1)在(-1,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数，当％=0时炳最小值

0,而e*-a+4ea-*N4当且仅当e*-a=4ear,gpx=a+inZ,故/㈤―当且仅当等号成立时成立,

故％=Q+ln2=0,即a=-ln2

与£

baaa

18.设等差数列｛%｝的前n项和为S”,在数列｛"｝中，n=3n-2+3n-l+3n,且4=6,与=9,则健的

最小值为.

【答案】8

【解析】

设等差数列｛即｝的公差为%

2+a3n1+ajn,

.*.bi=ai+a2+a3=6,b2=34+&十%=9,

.*.b2-bi=3d+3d-3d=9-6>

解得dg

,二ai+ai+Q+ai七=6>

解得a[=|,

.".S=nai1^~--d^n-Ai(n-1)

D2366

.\bn=a3ii2+S3n】+33n=立3(3n~2~1)、33(3n~1-1)*?3、3+(3n-1)x亍33n+3=3(n+1),

•M「'，w"n+"一上一E+Uin+9]_M+：0n+9=%1+2+助

n2n22n~~2n~2^n)

>;no-2=8,当且仅当n=3时取等号，

故答案为：8

19.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序

25

—4--=1

框图，若输入。，4i的值分别为8,6,1,输出。和i的值，若正数匕V满足％V，则⑪+8的最小值为

【答案】49

【解析】

输入a,b,i的值分别为8,6,1；

第一次循环，1=2,a=2)

第二次循环，，i=3,b=4；

第三次循环，，i=4.b=2,

第四次循环，，i=5,b=a；

退出循环，输出。=2.i=5,

ax+iy=(2x-5y)(：+：)=4+25+—+^->49,

当x=＞时，等号成立,

即ax+iy的最小值为49,故答案为49.

12

20.若正数x,y满足2r+3y=l,则13的最小值为

【答案】8+4依

【解析】

12,123y4x13y4一「

-=(-+-)•(2x+3y)=8+—+—>84-2———=8+4道

由题得刀yxyxyy

2x+3y=1

3y_4x_3-0_3-^

当且仅当l工一亍即“一46时取到最小值.

故答案为：8+4/.

2c

21.若二次函数/(%)=。/_钛+2物值域为[0,+8),贝|]4c2+4a?+4的最小值为

1

【答。案】2

【解析】

•••二次函数"灯=ax:-4x+2c(xe/?)的值域为[O.+s),

.'.a>0,△=16-8ac=0,.'.a>0,c>0,nc=2,

.・・.。+上二-2—|二c=a2c

**4c2+4a2+4a2+2ac2c(2c+a)aia+2c)

i1,i】i,i二、。fl~r：i

=--------+-------=一+--------二,।----------=-.

2ca+2caa+2ca2ca+2ca2c二2

当且仅当a=2c=2时取等号，故答案为1

22.已知函数/(Y)=2|X+1|+|X-2].

(1)求/0)的最小值m；

b2c2a2

---1---1—>3

(2)若。也c均为正实数，且满足a+b+c=3,求证：abc~.

【答案】(1)山=3.(2)证明见解析.

【解析】

(1)因为函数f(x)=2|x+l|+|x-2|,

所以当xv-1时，f(x)=-2(x+l)-(x-2)=-3x6(3,+s)；

当・1WX<2时,f(x)2(x+1)-(x-2)x+4€(3.6)

当X22时,f(x)2(X+D，(K・2)=3XW[6.，S),

综上，f(x)的最小值m3.

(2)据(1球解知m3,所以a+b+cm

又因为a>0.b>0.c>0

,

b-ia'b'c"

a•(a•b•c)1•a)•(•b)c)>

,■■

b*c"a"

—F-4-----Fa+b+c>2(a+b♦c)

即abc，当且仅当ab=c：1时等号成立,

23.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市4区开设分店，为了确定在该

区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设

分店的个数，V表示这x个分店的年收入之和.

X(个)23456

Y一(百万元)2.5344.56

(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合7与％的关系，求V关于％的线性回归方程；

(2)假设.该公司在4区获得的总年利润z(单位：百万元)与七V之间的关系为z=y-0.05--1.4,请结合(1)中

的线性回归方程，估算该公司在4区开设多少个分店时，才能使"区平均每个分店的年利润最大？

n

£(々-可(％-刃

in=-.........

可2

参考公式：回归直线方程为y=%x+a,其中i=i,a=y-lx_

［答案］(1)y=0.85%+0.6(2)4

【解析】

8.5

3------------0--.-8-5-

£(演-司210

(1)^=4,y=4,i=l,a=y-l}x=4-4x0.85=0.6

./关于》的线性回归方程为y=035》+0.6.

(2)z-y-005x2-1.4=-0.05x2+0.85%一0.8,

z0.8l80\

t=—=—0.05x------+0.85=—0.01(Sx+—I+0.85

4区平均每个分店的年利润XX\X)

<-0.01-25x—+0.85=0.45

4x.・・％=4时，t取得最大值.

故该公司应在4区开设4个分店时，才能使％区平均每个分店的年利润最大.

24.已知mxeR,不等式设-1|-设-2|2｛成立.

(I)求满足条件的实数t的集合T；

1lon

(II)若m>1,n>l,VteT,不等式1。93m93/t恒成立,求m+"的最小值.

【答案】(I)T={t\t<l}.(1J)6.

【解析】(D令八%)