2021九师联盟（河北）高三数学高考第三次模拟考试含答案

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2021九师联盟(河北)高三数学高考第三次模拟考试含答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分.考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用近径0.5毫米黑色墨水筌字笔将密封我内项目填写清史.

3.考生作答时.请将■答案各在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂■黑；非选择题请用直径0.5光米黑色墨水接手笔在餐题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命后起向;新海*忠由.......................................

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.巳知全集为U.集合A,B为U的子集，若(CuA)nB=0,则AflB=

A.CuBB.CuAC.BD.A

2.在平面直角坐标系zQy中，角a的顶点为。,始边为H轴的非负半轴，若点P(-l,2)是角a终边匕的

一点，则tan(x-2a)等于

A.~&-4C.-1-D.y

4343

3.巳知双曲线C：三一左=l(a>0)的一条渐近线方程为笈一尸0出出分别是双曲线C的左、右焦

a10

点,P为双曲线C上一点，若|PFJ=5,则|PR|=

A.1B,1或9C.3或9D.9

4.已知复数z.=l+i+i'+…+i'(i为虚数单位.nCN。，若Mn(z|*=4•z,(s0=l,2,…，”)》.从M

中任取一个元素,其模为1的概率为

A，4&4C.4D.-

777n

5.生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段.每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长

速度较为缓慢、在发展阶段速度加快、在成熟阶段速度又趋于缓慢,按照上述三个阶段生长得到的变化

曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家宙蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律

的生长曲线，称为“皮尔曲线”,常用“皮尔曲线”的函数解析式为人工)=讦表我(K>0,a>14V0).

一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为/(z)=M占GrWN).z表示果树生长的年数,/Q)表

示生长第1年果树的高度，若刚裁种时该果树高为1m,经过一年，该果树高为25m・则/(4)-/(3)-

A.2.5mB.2mC.1.5mD.1m

6.如图，圆台0。的上底面半径为QA】=1,下底面半径为OA=2.母线长AAi厂卫

=2,过OA的中点B作OA的垂线交圆。于点C,则界面直线05与AC所/i/

成角的大小为£...太二口:

A.30°R45*c~~

C.60"D.90,

【高三新高考5月•数学第1页(共4页)】河北

7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算

法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数

所构成的“杨辉三角”中（如下图），记笫2行的第3个数字为a.、第3行的第3个数字为生.……•第〃

（〃22）行的第3个数字为a.-】，则/+…+aio=

第

o行

I

第

I行

I1

第

2行

3I21

行

第

41331

行

第

514641

行

第IS10105I

.-

A.220B.186C.120D.96

8.已知点P在真线z+y=4上•过点P作圆O：/+y=4的两条切线，切点分别为A,B.则点M（3,2）

到直线AB距离的最大值为

A.々B.73C.2D.75

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在管理学研究中，有一种衡R个体领导力的模型,称为“五力模型”.

即一个人的领导力由五种能力一影响力、控制力、决断力、前瞻力

和感召力构成.右图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每

项能力分为三个等级，“一般”记为4分「较强”记为5分「很强”记

为6分，把分值称为能力指标,则下列判断正确的是

A.甲、乙的五项能力指标的均值相同

B.甲、乙的五项能力指标的方差相同

C,如果从控制力、快断力、前肺力考虑,乙的领导力高尸甲的领导力

D.如果从影响力、控制力、感召力考虑•甲的领导力高于乙的领导力

10.已知两个不为零的实数工.“满足工V”则下列结论正确的是

A.311>1B.jryVy2C.x\x\<y\y\

11.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法一牛顿迭代

法，做法如下：如图•设「是/（彳）=0的根•选取我作为，的初始近似值，

过点（工0，/（工0））作曲线y=的切线//C^O）S=/Z<XO）<J-Xo）«

贝I"与z轴的交点的横坐标」一/普（/（劭）#0）,称不是r的

一次近似值，过点5J3））作曲线,=/（"）的切线，则该切线与z轴的

交点的横坐标为工2,称次是「的二次近似值;重复以上过程，得厂的近似

值序列•其中N“+l=工一铝、（/（工*）力0），称工"I是r的n+1次近似

值，这种求方程/（工）=0近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程/=2的近似解.则

A.若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为苣

B.若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为超

〃工。）£（4）

f（Xo）f<X|）J（X：）f（X3）

D.xt工Q)I£5)/<X2),/(J3)

fGQ)Z<X|)777317ci7)

【高三新高考5月•数学第2页（共4页）】河北

12.已知函数/(工)=sin-z+cosd(nGN*),Ri|

A.对任意正奇数"，/(1)为奇函数

B.当”=4时,/(7)的单调递增区间是「一£+时,后［及62)

C.当”=3时,/(外在「0,彳］上的最小值为专

I).对任意正整数"，/(工)的图象都关于直线工=；对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向此叫&满足Ia，=|""ar2bl=焉lai.则向量a,b的夹角为.

14.请写出一个函数/(x)=，使之同时具有如卜-性质，①VN6R，/(H)=

/(4-H),②V_reRJ(H+4)=/(H).

15.已知椭圆C的左、布焦点分别为F,,F2,直线AB过％与椭圆交于A.B两点，当aFzAB为正三角形

时，该椭圆的离心率为__________.

16.在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-AIiG口中,已知AA=8B=V/T'\

CG=。Dl=a,AB—2.A倒=l,则该四楼台的表面积为_______;该四棱-…匕

台外接球的体积为.(本小题第一空2分,第二空3分)F-------彳

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在等比数列｛仇｝中，公比q>0，其前"项和为S,.且S?=6,.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设〃“=loga.2•旦数列KJ满足aHl，G+)-6=儿”",求数列｛4｝的通项公式.

从①S,二30•点6—与=96,③是Ss与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中

的横线上•并作答.

注:如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)

在△ABC中，角A,81的对边分别为a6cosc=ab§csinB,点D在边AC上，且AD=2DC,

J

BD=2.

(1)求角8的大小,

(2)求△ABC面积的最大值.

19.(本小题满分12分)

在三棱柱ABC-AICi中,儿％_1底面人8仁△八BC为正三角形,AB=AAi=2,E是B%的中点.

(1)求证1平面AEGJ_平面AAiGGG|<K^——B,

⑵求二而角B-ACi-E的余弦值.I、'卜W

A

【高三新高考5月•数学第3页(共4页)】河北

20.（本小即满分12分）

已知抛物线C"?=4y的焦点为F,准线为/.设过点F且不与z轴平行的直线m与抛物线C交于A,

B两点•线段AB的中点为M.过M作直线垂直于/,垂足为N,宜线MN与抛物线C交于点P.

（1）求证:点P是线段MN的中点.

（2）若抛物线。在点P处的切线与），轴交于点Q.问是否存在直线m,使得四边形MPQF是有一个内

角为60’的菱形？若存在•请求出直线m的方程;若不存在•清说明理由.

21.（本小题满分】2分）

现代战争中•经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为

20%•由于三行员的综合素质和经验的不同,不同的£行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不

尽相同,在一次演习中•红方的甲、乙两名优秀6行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别

为《和:，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.

（D甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击,各

次攻击相互独立•求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？

（2）蓝方机群共有8架战机•若甲、乙共同攻击（战机均在攻击抱围之内.每枚导弹只攻击其中一架战

机，甲、乙不同时攻击同一架战机）.

①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会,记一轮攻击中•击中蓝方故机数为X,求X的分布列；

②若实施两轮攻击（用完携带的导弹）•记命中蓝方战机数为匕求丫的数学期望E（Y）.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（x）-alnx4-x4-l（aGR）.

⑴讨论人工）的单调性；

（2）若不等式对任意的zW（l.+8）恒成立，求实数。的取值范围.

【高三新高考5月•数学第4页（共4页）】河北

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.C因为《CuA〉nB=0.所以BLA.所以AnB=R故选C.

2,B山题意•得lana—2•从而ian(n2a)=tan2a["'S=f~~；~~W".故选B.

1-larva1—(-Z)3

3.D山题意知f=2.所以以=2,所以c=/中了=26•所以|PF|=5V2+26=a+c.所以点P在双曲线C的左支

上•所以IPFI\PF|=4,所以|PF|=9.故选D.

4.B因为幺=l+i+1+…+j-=Lp1-•所以“=l+i，i，O・l，l+i，i，OJL，RP«R的取值只有四个数l+i,i.O".所以

M=(0・1・1」・2「—+「也中共7个元索,其中模为1的花三个元末•故所求概率为伴.故选R

5.C根据已知/(0)=1m,/(l)=2.5m・得1+3*=10且1+3*&=•!・得6=2.4=1,所以，(力=曷噎•从而八3)

=渭==乎=7.5m,/(4)=Y^F=9m・所以/⑷/⑶=l.5m.故选C.

6.B在直角梯形ORAA中，因为B为QA的中点.04=2•所以01A=OB=AB=。连接

•易证四边形848为矩形•所以m〃八B・所以NBAC为异曲出线00*jAC

所成的加・在在用：.角形AAJ3中・AA-2.所以A3=6；连找OC.住克向三用形OBC

中•小。8=1.OC=2•得3c=6,在直角：加形ABC中.BC=AI.所以/BAC-45°.故

选山

■.Aaaa，…+4"=「「「…(((,「…「「(’…(('('…「…

=('='喷骏『=220.故选A.

8.1)设P(a"),则aH•以OP为巨林的例的方程是(工修)i(>4)'-f<a")・1胭0的方程二-V=

4一减，得直得AB的方程为ax+万=4•即ar+如4=0,因为a+b=4•所以6=4。•代入直线AB的方程，得ar+

(4a)y1=0,即a(zy)+4y1=0•当/=y且，”I=(),即z=l・y=1时该方程恒成。•所以直线AB过定点

N(1,1),点M到直线AB即周的最大侑即为点MN之间的距离.1MN&,所以点M⑶2)到宜线AB距离的破大点

为唐.故选\).

9.AB甲的E项能力指标为6.5・4・5・4,平均值为出土产士1-^8；

乙的五项能力指标为6・I・5.』,5・平均仰为6T4+j-5=,12,则AiE确：

III于均值相同.各项指标数也相同(只是顺序不同).所以方荣也相同•则B正确；

从控制力、决断力、前略力考虑•甲的均值为号.乙的均值为号•所以甲的领导力高于乙的领导力•则C不正确；

从影响力、控制力、感召力考虑,甲、乙的指标均区相同•方差也相同，所以甲、乙水平相当,则D不正确.故选AR

10.AC因为nV”所以|工,|>0,所以3以”>1•则A正确；因为当y>0时,卬<，・*yVO时立y>炉・则

B错误;令/Q)=Z|N|•易知/JXER上单渐递增•又所以/《GV。)〉•即N|N|Vy|y|•则C正确；对于

D・法一:令4(])=《一亡・易知g(N)在《一-.0〉和(0.+♦)上单调递减•不妨设(Xx<y.则g(x>>g(>>，即!

【高:•新高考3月•数学参考答案第1页(共6页)】河北

小》_Ly.亦即,,c*e*,则l）错误，法二:取I・y==1,则—=-2>c1c・则I）错误,故选AC.

yyy

11.ABC构造函数/（I）=r2•则/（幻=21•取初始近似俏工,=1•则为-r凭彳=1=-x

2—2

偌r卷「Q=m则A"：如

-2—9

夕浅=普工，一倦=等三=%.则正确，

取初始近似侦工-2.则工।二工=2-15=11

4入~2

根据物意・可知H=工,黄*・Z?=为夕浮35=",/;0:・］：=H夕（::•上述四式相加.得为=/

箔《黄割-凭十一/铝.则DZE确,C正确,故选ABC.

12.CD取n—1•则/（x）=sinx+cosz,从而/（0）=1/（）•此时人工）不是奇函数•则A错i电当n=IH«j./（x）=sinx+

cos'x=（sin'x+cos:x）Zsin'xcos'x=1-ysin21=1-~=JcosIx+-y.则/（1）的递坨区间为

4竿4-，44

号.与•钊“£Z）,则B错误：

当〃-3时./（n）3sin'xcosx3cos\rsinx3sinICONJ（sinxcosx）.当z&）时・/（“）<（"当N£

（号4］时/（G>0,所以人］）作［。,于）上单调递减.在：（宁上单眼递增•所以/⑺的最小例为,（年），

（g）+（g）=4‘故F确:因为/（母n）：“W（金”）+<3（号］）一COS-JH•所以/（力的

图象X广直线x4•对称•则D正嘛故选CI）.

13.与设0.b夹角为。•山|。+2引吟向101•得l4+4|0||»|eoSI加=34・结合|a；=!b|・解得汽》1—十,乂

0an,所以0=亨.

H.cosfz性质⑴②分别我东八工）关于直线工2对称和以I为周期,答案不唯••写出一个即可.

15.§不妨设椭网的方程为，+*=1储>。>0）•根据椭刷定义,IAR|=2aIAF|.IBBI=2aIBF|.△FAB为

正三角形.IAFBF：|,所以IAFJ=BEI.RPB为线段AB的中点•根据椭圆的对称性知AB正直于”轴.没

IFF|=2c.Wi］|AFl=2n«n300=率・|AFI=-^7?=峥•因为八卜：|+IAFI=2a・即26c=2。•所以一

«3COS«5v«j

£=穆

a3,

16.313〃（2分）华”（3分）住等腴梯形DCCD中•过C作CiH」_DC.乖足为H.劾求

。“=十.。”冬则四段台的表面枳为5=5|扈+5*卜&=1+4+4乂%"><孝=

5+3".设ACf|BD=O.AiCCIBD=。.ill棱台的性质•可将该核台补成四梭锥（如右

图）•因为AB=2・AB=I•可知△SAB与ASAB相似化为I«2MSA=2AA-2V2.AO

【高：新高号5月・数学卷考答案第2页（共6页”河北

72.WjSOVir.MOO,号.即该叫杨分的高为专.由于上.下底面都是正方影.则外接球的球心在：8,上.在平面

B,BO。上,由于。0>专.B。专.则OB,&OB.即点。到点B与到点B,的距岗相等,同理。到A.A-C.

C,,D,D,的距离均为死.于是。为外接球的球心,且外接球的半径r故该四板台外接球的体枳为华工

17.解：（1）若选①S,：3a

-

由S-6及S30»a\a6.a（aIaIa（-30,

两式相馥，得加十a24,...............................................................................................................................................2分

即g+此）24•所以q4,由q>0•得Q2.............................................................................................................3分

RAa<+a?=6,得a（+2a=6•解得a（=2,....................................................................................................................4分

所以数列〈aJ的通项公式为a.=2"..................................................................................................................................5分

若②SS,=96.

因为6,S,=K十a,=96・ai+a=6•所以aq'十qg96・勾十aiq=6,....................................................................2分

两式相除.得，=16•结合q>0,得g=2,.........................................................................................................................3分

所以四+26=6•解得5=2・.............................................................................................................................................4分

所以数列〈4）的通项公式为42"..................................................................................................................................5分

若选③用是Si与2的等差中项.

由a是S与2的等票中项•得2a,S+2.

则2&a>+a+小+2,

由勾+收=6,得小=8......................................................................................................................................................2分

由通项公式•徨④十ag6.伯q8.

消去火•得3寸一“一4=0,结合q>0,解得g2.........................................................................................................3分

代人a+aq6•得a2,.................................................................................................................................................$分

所以数列<4｝的通项公式为42"..................................................................................................................................5分

（2）由（1）,得4=1。％2=康4=+.............................................................................................................6分

C.+,C.3,^77）i+.........................................................................................................................7分

所以当时,c.g+（身。）+（c.-R）+（Ctc.）+•,•+（c.c»।）

=i+（T-T）+（T-T）+（l-T）+-+（^i-i）=2-i-................................................................9分

又G-l也适合上式,故数列，c.）的通项公式是c,24--........................................................................................10分

n

18.解：（I）由beenCa+§csinB及正弦定理,得sinBcosCsinA；4sinCsinB...............................................2分

乂A（B+C）,所以zinBensCsin（B十。十专sinBsinC,即conBsinC十，sinCsinB=0,.......................4分

因为OVGK.JnC^O,所以tanBR、

又0VBVn/VB=争..................................................................................6分

⑵方法1：因为点D住边ACh，且AD2DC,所以

【高•:新高考3月•数学参考答案第3页（共6页）】河北

疝HAI^A('HA*龙一威)-十8九年必

7分

3D=§13ABA・BC,*BCT•即l=-^-c1-yaccos号,，标♦即4a：c2ae-36...............................8分

III4/+<r2皿可得\ac2〃<36•即ac<\S,当且仅当2a-c时•等号成立..............................10分

所以ZVU3C向枳的外大伤为十><18><而半=呼.当且仅用2a=c•即。=3.c=6时等号成L......................12分

方法2.设/X；=，•则AD=2，./AQ8=".

在/MBD1|>.|1|余弦定理,得c2=I+4r2X2X2〃、。*仇即c=4+Jr8/cos仇①

同理.在△BCD中•山余弦定理•得a=\+-+4ICOS.②

由①②消伸cos仇得4+勿2-12+6巴③.............................................................7分

在/XABC中•出余弦定期•得9，'=a―/+ac.即t=竺士导土”.④

把④代人③•得4°2+——2砒=36..................................................................................................................................8分

III4a：TUac,可得lax2ac<36,即ac<l8•所以△△以：面积的最大值为+X18Xsin与=挈.当且仅当2a=c.

即a=3・c=6时等号成立.............................................................................12分

19.(I)证明।取AG的中点此取AC的中点G,连接EF.FG.BG.

因为E是时的中点•所以/3E〃OC・/吐4CC..................................................................................................I分

因为FG是△A0G的中位线•所以FG//OCy.FG-yCT).......................................................................................2分

所以HE//FGJiE=Rj.

所以四切形BETO为平行四边形•所以EF〃BG...........................................................3分

因为△ABC为正三角形,G为AC的中点•所以BG1AC.

因为AA_L底血A/3C.BGC底面A5C.所以AA3G.

所以EFiAC.EFLAA,.

乂AAnAOA.AiA.AOC平面AACC,所以EF!平血人ACC...........................4分

又EFU平呦AEC,•所以平面AECL平血AA.QC...................................................5分

(2)解：以8为原点.分别以BC.84的方向为工轴,z轴的正方向,在立空间在用坐标系

I3-xyz(如图所示).

则B(O.O,O)・A(1,乃,O).G(2,O,2),E(O.O.l),.....................................................................................................6分

从而温=(l.V3.2).BA-(hV3.O),EC=(2.0.1),

n•BA=O.[x+V^>y=O.

“.AC："

设平面ABC的法向fR为〃=(”・》%).则

尸—1・

取了=一・则，所以平面ABC的一个法向址为加=(伍.-1.一0).......................................................8分

IL—J3.

fm,EG—0,j2a+c=0・

设平面人EC的法向址为m=(a".c).则4»即

m•ACi=0.'a/?6+2c=0.

取a=l•则所以平血AEC的个法向M为m=(1•①.2).10分

-2

【高•，新高考5月.数学参考答案第4页(共6页)】河北

设向的夹角为。,则eos。含需y/葭方牛,

由图知・二面角B-AG-E为锐二面角，

所以二面角B-AG-E的余弦值为年..............................................................12分

20.(1)证明:由题意知直线m的斜率存在且不为。，故设直线m的方程为ykx1(^0).

代人x2I”并整理得了"\kxI0.

所以△-16必+16>0•设A(±i・M),B(N?)•则为十牝\k^x\x-：4.......................................................2分

设则%=吗色=2*,»=M+12F+1,即M(编滤+1).......................................................3分

由MNU•得N(2儿1),

所以MN中点的坐标为(2M/').

将工=2*代人工=4"解得’=力,剜P(2A")，所以点P是MN的中点..................................5分

⑵解：山三小得尸亨，则。=堂,

所以抛物线C在点PC2配产)处的切线网的斜率为A........................................................................................6分

又由宜线m的斜率为k,可得m〃PQ：

又MN〃,轴•所以四边形MPQF为平行四边形........................................................7分

而MF，⑵>+(2牙+11尸2"(ATI).IMP|(2公+1)7—・

由MFIMP.得2%(%」I)A+1,解得万土乌,即当上士号时.四边形MPQF为菱形...........9分

且此时PFI/(240)'+a—TFklb|MP|二|MF|•所以/PMF60%

直线m的方程为y，士§了十1,即z/Ty+6=0,或工+6,#0,.........................................................11分

所以存在直线m,使斛四边形MPQF是有一个内角为60°的菱形.........................................12分

21.解:设此乙两名匕行员发射的第i枚导弛命中对方故机分别为小件A.凡•则P(A)•|・P(B)

⑴(甲飞行员能够击中或方战机为事件M.剜MA(4A；•AiA•A；•A+K•至・*・A.・..............1分

所以P(M)P(Ai+无’・A："瓦•雇•AIA7・*・•?・A)

P(Ai)-FP(Ai•A?)+P(A\•A•A)+P(A\•A•A.•A,)

P(Ai)+P(M)P(A)TP(X?)P(A")P(Ai)4P(A)P(A^)P(A?)P(A,)

T+"1x4>+1乂等乂］十4乂等x4~x4=言.........................................4分

o<)CC«i«?«?4C«JO1

(2)①X0,l,2・3・4•则

P<X=0)=(f)\(f)；=4-.........................................................................................................................5分

P(X-D=C!X-i-X-1-X(y)'+(y)XC!X-j-X-1--i.........................................................................6分

P<X=2)=(1)!X(-1-)2+(-1-):X(4-):+CIX|X|XC!X4-X1=-^..............................................7分