2021届高三高考数学复习压轴题40-双曲线四【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练40—双曲线（4）【含

答案】

一、单选题

1.已知双曲线C:£-£=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，A、3为双曲线的左、右顶点，渐

近线上的一点P满足IOPRO尸且=则双曲线的离心率为（）

ACRc而D273

233

解：由题意可得，4一。,0）,伙60）,|OPROb|二c,

设尸（,小〃）在渐近线=0上，且P在第一象限内，由"70,，解得，〃=a,n=b,

\m'+n'=c~

即P(a,b),

所以|PA|=J4a?+/,\PB\=b,\AB\=2a,

在\PAB中，由余弦定理可得

…八|PA|2+|/JB|2-|AB|24a2+b2+b2-4a2b1

'-2\PA\\PB\一2"？寿功一Q7F-2,

可得4/=3b2,即2=2叵，

a3

所以e=三=卜;耳=叵.

a\a13

故选：C.

22

2.点F是双曲线C:=-2=l（a>0,b>0）的右焦点，A、8分别为C的右顶点、虚轴的

ab~

上端点，若N班厂一48£4=四，则双曲线的离心率是（）

2

解：如图,

bb

tanZBAF=-tanNBAO=——，tanZBFA=-，

JT冗

由N84尸一/8必=—,得NBA尸=N8必+—,

22

tanNBAF=tan(ZBM+-)=-cotZBFA=----!——,

2tanZBM

1

——=——,EPb=acJ可得一〃。一。2=o,

ab

.'.e1—e—l=0,解得e=［十,(e>1),

故选：D.

3.已知AABC是有一内角为二的直角三角形，若圆锥曲线。以A、B为焦点、,并经过点C,

6

则圆锥曲线。的离心率不可能是()

A.—B.—C.V3D.6+1

32

解：①如果。=工，设4=工，BC=1,则AC=白，84=2,

26

若圆锥曲线为椭圆，则e=%=4g=__=6-%

2aAC+BCV3+1

若圆锥曲线为双曲线，则6=空=4打=^=&+］；

2aAC-CBV3-1

②如果3=工，设4=工，3。=1,则AB=G，C4=2,

26

AB43y/3

若圆锥曲线为椭圆，则

AC+BC-2+T-T

若圆锥曲线为双曲线，则e=%=A3=正=。；

2aAC-CB2-1

③如果A=工，设。=2，BA=1,则AC=6，BC=2,

26

若圆锥曲线为椭圆，则6=竺="=—^==2-拒;

2aAC+8C2+V3

若圆锥曲线为双曲线，则《=空===_1^=2+」；

2aAC-CB2-V3

④如果A=工，设8=工，C4=l,则48=6，BC=2,

26

若圆锥曲线为椭圆，则e=%=AB=3=且;

2aAC+BC1+23

若圆锥曲线为双曲线，则e=%=AB=JL=也;

2aAC-CB2-1

所以该圆锥曲线的离心率不可以是更.

2

故选：B.

„22

4.如图，已知双曲线C：/-gv=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，鸟，以。鸟为直径

的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为P,线段尸片与另一条渐近线交于点。，且

△OP乙的面积是AOPQ面积的2倍，则该双曲线的离心率为()

解：设片(-<:,0),乙(c,0),直线OP的方程为法-政=0,①

以。名为直径的圆的方程为(x-])2+y2=C,②

由①②解得P(《，—),

CC

直线PFX的方程为y=_&(x+c)，与渐近线方程瓜+@=0,

矿+c~

解得0一端Jabc、

2a2+c2)

由AOP月的面积是XOPQ面积的2倍,

可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍,

,crbca2bc

即有3=上至五二卫三,

化为4/=2/+(?,即为c=

所以e=£=5/2.

故选：c.

r22

5.已知双曲线C:二-斗v=l(a>0,b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,B,点P,

ab

。是双曲线C上关于x轴对称的两点，且直线PQ经过点F.如果M是线段FQ上靠近点Q

的三等分点，E在y轴的正半轴上，且E,A,M三点共线，P,E,8三点共线，则双

曲线。的离心率为()

A.5B.2亚C.2瓜D.6

解：设尸(-c,0),A(-a,O),8(a,0),

点P,。是双曲线C上关于x轴对称的两点，且直线PQ经过点F,可得轴，

22P-h2

令K=-C、可得-cy-万v=1,解得y=-1=±—,

,2»2

可设尸(-C,生)，e(-c,-—),

aa

1

由“是线段FQ上靠近点Q的三等分点，可得丝2b)，

3。

由£在y轴的正半轴上，可设E(0,e),

由E,A>M三点共线，可得左必=女.”，

2b工

即为2=3^,①

a-a+c

由尸，E,8三点共线，可得％班=原;>，

匕

即为-£=—^―，②

a-c-。

由①②可得」一=」一，

c+a3(c-a)

即为3c-3a=2c+2rz,即c=5a,

所以e=£=5.

a

故选：A.

22

6.已知耳(-5,0),8(5,0)是双曲线=-与=l(a>02>0)的两个焦点，过好的直线/与圆

a2b2

0:/+丫2=/切于点T,且与双曲线右支交于点/>,M是线段尸耳的中点，若

\OM\-\TM\=\,则双曲线的方程为()

解：由题意可得C=J3+缶=5,即/+/=25,①

连接OT,在直角三角形O7M中，可得-|7"|2=/,

又|QM|-|7M|=1,可得|OM|+|TM|=/,

则|0河|」(1+/)，\TM\=-(a2-1),

22

又在直角三角形076中，""Ze?-/=0,

所以|P耳|=2|M耳|=2(b+g/一;)=26+。2-1,

由OM,为XPF、6的中位线，可得|Pg|=21|=1+Y,

由双曲线的定义可得|「片|-|尸鸟|=24,\^b-\=a,②

由①②解得a=3,6=4，

所以双曲线的方程为E-E=l.

916

-2

7.已知抛物线",好与双曲线4-x?=l(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点，P在x

16CT

轴上方且在双曲线上，则。户的最小值为()

A.4715-16B.16-4厉C.15-4岳D.4715-15

解：抛物线y='x2即为/=16>，贝ijp=8,故焦点坐标厂(0,4),

...抛物线>=_1》2与双曲线4.-9=](4>0)有共同的焦点产，

16a

c2=a2+1=16,解得a2=15,

2

则双曲线的方程为二-V=l,

15

设点P的坐标为(%,%)，且y0..尽，

OPFP=(x0,%)•(%,%-4)=x；+y：-4%=5-1+%-4%=34一4%-1,

其对称轴为%=—<V15，

8

故/(%)=S火-4%_1在[而，+00)单调递增，

=/(V15)=15-4715，

故选：C.

22

8.已知双曲线;•-5=1(4,6>0)的左、右焦点分别为6，F,,过点石且倾斜角为生的直

a~b6

线1与双曲线的左、右支分别交于点A,B,且|A乙总8E|,则该双曲线的离心率为(

)

A.V2B.73C.2拒D.2>/3

解：过工作用NLA8于点N,设6|=机，

因为直线/的倾斜角为巴，

6

所以在直角三角形耳gN中，|N乙|=c,|NF,|=V3c,

由双曲线的定义可得I86|-|BF；|=2a,所以|B耳|=定+旭,

同理可得IA41=〃?-2a,所以|ABR87"-|A耳|=4a,

即|4V|=2a,

所以[4"=gc-2a,因此机=V5c,

在直角三角形4V心中，|A5|2=|叫F+|ANF，

所以(6C)2=4a?+c2,所以c=\[2a,

则6，=夜.

故选：A.

Ay

二、多选题

22

9.已知双曲线C:^-2=1（。>0/>0）,A、3分别为双曲线的左，右顶点，耳、心为

左、右焦点，l4KI=2c,且a,b,c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点8的

任意一点，记小,PB的斜率分别为占，k2,则下列说法正确的是（）

A.当尸鸟_Lx轴时，N尸耳玛=30。

B.双曲线的离心率6=匕且

2

c.勺玲为定值、手

Js-1

D.若/为的内心，满足S“历=S”阳+xS“.（xeR），贝=

解：因为a,b,c成等比数列，所以〃2=“c,

I2

A中，尸6_Lx轴时，P的坐标为：（&幺）即P（c,c）,

所以tanN尸耳名=卑"=£=1，所以/尸£月二30。，所以A不正确;

I4玛I2c2

8中，因为从=今，所以可得02一/=的，可得e2_e-l=0,又e>l,

解得：e=叵已，所以5正确；

2

2222

c,设尸（%,%）,则0-誓=1,所以尤=从.且二£,

a~b~a~

由题意可得4一。,0），B（a,0）,所以左他=」——纥=_£下=与，

由6=ac,可得A人=£=匕@,所以C正确;

a2

D中因为久畔=S/A+xS/M，所以:=+

可得.写乎=得=品=空'所以。正确;

故选：BCD.

10.已知点P是双曲线E:£-匕=1的右支上一点，F一6是双曲线E的左、右焦点，△

Pg心的面积为20,则下列说法正确的有（）

A.点P的横坐标为"B.△尸片"的周长为当

C.HP*大于（D.△/>《心的内切圆半径为1

解：设△片P用的内心为/,连接/P,阴，阴，

双曲线E:———=1的〃=4,6=3,c=5,

169

不妨设P（/n,/i）,m>。,/?>0,

由△?/=也的面积为20,可得：|月名|〃=5=5,7=20,即〃=4,

由d-3=1,可得相=理，故A正确；

1693

20

由尸（5，4）,且耳（—5,0）,鸟（5,0）,

可得k=—,kpF=—，

明PF35”5

1212

5

则tanZF,PF2==黑6（0,仃），

]_1_[乙入31y

5x35

则/4Pg<3，故。不正确；

..5〜L352L25371350

由|PDFr；l|+|P鸟1=^16+—+^16+—=—+—=—,

则的周长为三+10=三，故3正确;

设△尸耳g的内切圆半径为r,

可得gr(|PKI+|P吊|+|66|)=：|耳巴14,

可得地「=40,解得r=3,故。不正确.

32

故选：ABD.

11.黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、

和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618.北京新机场，自然也留下了黄金数

的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家

们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.设离心率为黄金比苴二

2

的倒数%=当口的双曲线称为黄金双曲线.若a,b,c分别是实半轴、虚半轴、半焦距

的长，则对黄金双曲线，有()

X2V2

A.当焦点在x轴时，其标准方程为：—=1

arV5+1o

-a~

2

B.若双曲线的弦£F的中点为M,则%•%=/

C.双曲线中〃，b,c成等比数列

D.双曲线的右顶点A(a,0),点3(08)和左焦点厂(-c,0)构成是直角三角形

解：对于A：若为黄金双曲线，则离心率为4=存、

又因为4=4=上¥=1+4，

aaa

所以尸=储(e：—1)="[(存^)2-1J=与^^，

所以黄金双曲线的方程为4-=1,故A正确;

a"石+12

Cl

2

对于8：由上可知，黄金双曲线的方程为二-二=1,

aeoa

设EQ,y）,F（X2,y2）,线段即的中点"（x。，%）

则M-1=1,三一2^=1,

a~eGaaeQa"

两式相减得近W-支二£=o，

a"e（）a

所以一---7•（%—冬）------------必）=°'

2a~2eQa~

所以％•二一X）一左=0，

a~e（）a~x]-x2

所以1•生1匹=0,

Q-e{}ax}-x2

所以二一AQM•=0，

ae（}a

所以卯=%，故3错误；

对于C：由上可知从=垦1〃2,

2

26+12

ac=a-aeQ=ere。=---a,

所以〃2=*,

故双曲线中〃，b,c成等比数列，故C正确；

对于。:3=-',%="，

ac

2

匚匚I、I,>bbb.

所以《西•女所=----=----=一1，

acac

故故。正确.

故选：ACD.

）2

12.已知耳，居是双曲线5-二=1（4>0沿>0）的两个焦点，半焦距为c,过其中一个焦

ab

点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,且点M在以线段F,F2

为直径的圆内，则下列说法正确的是（）

A.过居与双曲线的实轴垂直的直线与双曲线交于点尸和。，则线段P。长为空

a

B-M（*

c哈今

D.双曲线离心率的取值范围是(1,2)

解：根据题意可得耳(0,c),且(0,—c),

对于A：过心与双曲线的实轴垂直的直线为y=-c,

ka

b2

联立y2/,解得土幺,

h2A2

所以p（-一，-C）,e（—,-C）,

aa

2b2

所以|「。|=生,故A正确,

对于3,C：过点片与渐近线卜=0》平行的直线为y=Zx+c,

bh

abe

y=-x+cx=

联立可得b,解得2。，

ac

x尸彳

y=~Tb2

所以M点的坐标为-),故3正确，C错误；

对于D：因为点“在以线段片工为直径的圆/+/=C?内,

所以|QW|<r=c,

所以(-笑)2+§)2<02,

所以。2<3/,

所以-erv3a2,

所以£<2,

a

所以双曲线的离心率范围为(1,2),故。正确，

故选：ABD.

三、填空题

22

13.已知片，巴分别是双曲线C:「-1=im>0,b>0)的左、右焦点，直线/为双曲线。的

ab

一条渐近线，耳关于直线/的对称点片'在以居为圆心，以半焦距C为半径的圆上，则双曲

线的离心率为—.

22.

解：直线/为双曲线C：W-2=1(。>0,6>0)的一条渐近线，设直线/为

aba

设片(—c,0),亮(c,0),

设F、关于直线/的对称点为FJ(x,y),

所以上=一四，匕2=9.士£,

x+cb2a2

42组b—a~2ab

cc

即可(上二三，

CC

因为不是以巴为圆心，以半焦距。为半径的圆上的一点,

所以£二4一c)2+(_也_())2=02,

CC

整理可得4/=/,

即2々=c,

.•.e，=2,

a

故答案为：2.

14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆=双曲线G：5-q=1，P、。分别

为C，J上的动点(P、。都不在坐标轴上)，且NPOQ=90。，则品y+屯讦的值为.

解：由题意，直线OP、OQ均不与坐标轴重合,

双曲线G的渐近线方程为N=土丘x,

设直线OQ的方程为y=kx(.\k\<V2),由NPOQ=90。,

可得直线OP的方程为y=--x,

k

联立,24

y=kx

4（公+1）

■\OQ^=x^+yQ=

2-k2

,1124k2

y=--xx2=——

联立k，得］p4K+1,

“2,y_i„2_4

.[12-k24/+13(4+l)_3

''|OP)一|0。『-4(9+1)+4(公+1)-4(k2+1)-4'

故答案为：

4

22

15.已知双曲线C:「一斗=1(“>0/>0)的左、右焦点分别为耳，工，过工的直线/交。的

a"b~

右支于A,8两点，且4月=2后月，A48月的周长等于焦距的3倍，若乙4耳8>乙48片，

则C的离心率的取值范围是___