人教版高中数学全册教案-09-直线、平面、简单几何体-07

两条异面直线所成的角练习课

教学目标

1.记忆并理解余弦定理；

2.应用余弦定理来求异面直线所成的角.

教学重点和难点

这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余

弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦.这节课的难点是使学生初步理

解当cos。>0时，0°<0<90°,当cos0=0时，9=90°,当cos。V0时，

90°<0<180°.

教学设计过程

一、余弦定理

师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？

生：余弦定理有两种表述的形式，即：

a-b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b'-2abcosC

cocA=-------

2bc

■FT

-辽~~

第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求

角.

师：在立体儿何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边

来求角.

在余弦定理的第二个形式中，我们知道产十小可以等于心也可以小于a2

也可以大于或.那么，我们想当于+d=天时,NA等于多少度?为什么？

生：当炉+声］时，由勾股定理的逆定理可知NA=90°.

师:当b，+cz>a邛寸，NA应该是什么样的角呢?

生：因为cosA>0,所以NA应该是锐角.

师：当b，+c2〈a2时，NA应该是什么样的角呢？

生：因为这时cosAVO,所以NA应该是钝角.

师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可.初步理解后

应该记住、会用.现在明确提出当cos0=0时，0=90°,0是直角；当cos。

>0时，0°V。<90°,。是锐角当cos。V0时，90°<e<180°,。是钝

角.下面请同学们回答下列问题：

皿。4。等于知喻

8"=g,百于多少第

生：。等于60°,。等于120°.

师：这时。和。是什么关系？

生：。和。是互为补角.

师：再回答下列问题：

3。L乌,01等于多少度7

左，0等于多少废？

8&=夕%等于多少第

8i=_去，可度？

生：等于45°,牝等于135°,0,+牝=180°；。2等于30°,。产150°,

%+%=180°.

师：一般说来，当cos。=-cos。时，角0与角。是什么关系？

生：角。与角。是互补的两个角.即一个为锐角，一个

为钝角，且0+。=180°.

（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学

生有所理解即可）

二、余弦定理的应用

例1在长方体ABCD-ARCD中，AB=BC=3,AA,=4.求异面直线AB和AD,

所成的角的余弦.（如图1）

师：首先我们要以概念为指导作出这个角，AB和AD所成的角是哪一个角？

生：因为CDVAB,所以NADC即为AB与AD,所成的角.

师：NADC在△ADC中，求出aADC的三边，然后再用余弦定理求出/ADC

的余弦.

生.&AADQ中，AD1=CDl=5.AC=3j2.

AD；+CD：-AC：25+25/8_16

所以CO«ZADIC==

2AD|,2-5*525

师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指

导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形.现在

我们再来看例2.

例2在长方体ABCD-ARCD中,ZC,BC=45°,ZB,AB=60°.求AB,与BC,

所成角的余弦.（如图2）

图2

师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，

还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余

弦定理.

生:因为BG〃AD”所以但与BG所成的角即为NDA与根

据所绐的糊味角条件可设AB=%MABt=2a,=所以在△

D|ABL中.AB|=B|D|=2a>AD（=

师：现在我们来看例3.

例3已知正方体的棱长为a,M为AB的中点，N为B,B的中点.求AM与

CN所成的角的余弦.（如图3）（1992年高考题）

图3

师：我们要求AM与GN所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当

一次平移不行时，可用两次平移的方法.在直观图中，根据条件我们如何把AM

用两次平移的方法作出与GN所成的角？

生：取AB的中点E,连BE,由平面儿何可知BE〃AM,再取EB,的中点F,

连FN由平面几何可知FN〃BE,所以NF〃AM.所以NCNF即为AM与CN所成的

角.

在ACiFN中.由知院定理可求出CJT=BE=李加FN=1BE=

«■M

乎a,CjF=-^^a.由斜理.待

CM+FN】-铲9+标-IP

2

cos^C|HF=

2・C[N・FN5

2・—a--a

师：还可以用什么方法作出A.M与C,N所成的角？

生：当BE〃AM后，可取CC中点G,连BG,则BG〃GN,

这时/EBG即为A[M与Cl而诫的角.在AEBGlt.BE=BG=^a,

而EG，=EC：+CiGi=#所如G=^岫融磔L将

51516,

-a—a—ac

CMZEBG=~~昼=

2,吏a,吏aI5.

22

师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例

4.

例4在长方体ABCD—ABCD中,AA,=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AG与

BD所成的角的余弦.（如图4）

图4

师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出

AG与BD所成的角。

生：连AC,设ACABD=O,则0为AC中点，取CC的中点F,

连OF,则OFZgAC「所以/FOB即为AC1与DB所成的角.在△FOB

甲,OB=gG+炉,OF=^V»a*ba*ca,*%,由例t

定理，得

y(aa*bJ)+b’+c')-(b'+

cosZFOB=4----------------------------------------—

2・亭’

4

师：想一想第二个解法

生：取AG中点0“BB中点G.在△CQG中，NCQG即

为AC】与BD所成的角.OIGZOB,CJG^BF,Oig=；ACi.由解法

一可知：

c«ZC101G=-==:'-y,==.

痴，+b'X・‘+b'+c')

师：想一想第三个解法.当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个

角.有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线.

生：延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE〃BD,所以NEAC

即为AG与BD所成的角.（如图5）连EG,在

3

△AEC冲AE=ACt=Ja+b'+c'.CtE=.

由余弦定理，得

9+bb+(d+F

L・6W+J

Vo.

所以NEAC为钝角.

根据异面直线所成角的定义，AG与BD所成的角的余弦为

师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概

念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻

补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负

值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角.（异面直线所成