人教版初中数学八年级上册《13.4课题学习最短路径问题》同步练习卷

人教新版八年级上学期

《13.4课题学习最短路径问题》同步练习卷

选择题（共6小题）

1.如图，矩形ABCD中，A8=2g,BC=6,P为矩形内一点，连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC

A.4后3B.2>/21C.2731-6D.4旄

2.如图，ZABC=30°，点。、E分别在射线8C、BA±,且BD=2,BE=4,点M、N

分别是射线BA、上的动点，当DW+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）

3.如图.已知△ABC.ZACB=30°,"为/ACS的平分线，且CP=6,点M、N分别是

边AC和BC上的动点，则周长的最小值为（）

4.ZVIBC中，ZABC=97.5°,P、Q两点在AC边上，PB=2,BQ=3a,PQ=yfI^,若

点A/、N分别在边48、BC上,当四边形PQVM的周长最小时，（MP+MN+NQ）?的值

A.18+8娓B.24+8&C.22+6aD.31+^/10

5.如图，在矩形ABC。中，对角线AC=6,过点。作。E_LAC,垂足为E,AE=3CE,点

A.2®B.</2C.2MD.3a

6.中，ZACB=90°,AC=4,BC=8,D,E是AB和8C上的动点，连接CD,

QE,则CD+DE的最小值为（）

A.8B,16+8.c.竺返D.32

555

二.填空题（共14小题）

7.已知：如图，直线MN和直线/相交于点0,其中两直线相交所构成的锐角等于45°,

且。M=6,MN=2,若点尸为直线/上一动点，那么PM+PN的最小值是.

8.如图，△ABC中，ZBAC=30°且AB=AC,尸是底边上的高AH上一点.AP+BP+CP

的最小值为2近，贝U2C=.

9.如图，在矩形48CD中，AB=10,AD=6,动点P满足S△出8=L$矩形ABCD，则点P到

3

A,B两点距离之和PA+PB的最小值为

10.如图，菱形ABC。的边长为3,N8AO=60°,点E、/在对角线AC上(点E在点P

11.如图，在菱形ABC。中，AB=6,NA=135°,点尸是菱形内部一点，且满足&PCD

12.如图所示，已知点C(1,0),直线y=-尤+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E

分别是A8,0A上的动点，则△CQE周长的最小值是.

13.如图，在等腰三角形ABC中，NABC=120°,点尸是底边AC上一个动点，M、N分

别是A3、BC的中点，若RW+PN的最小值为4,则△ABC的周长是.

B

14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上•AC与网格线交

于点。，点P,。分别为线段BC,AB上的动点.

(/)线段CD的长为；

(II)当PD+PQ取得最小值时，用无刻度的直尺.画出线段PD,PQ,并简要说明点尸和

点。的位置是如何找到的.

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90Q,平分/BAC交BC于点D若AC=4,CD

=1,E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则尸C+PE的最小值为.

16.已知A(-2,0),B(0,2),尸是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90°得到点C,

则AC+V2CP的最小值是.

17.如图，四边形ABC。为边长为4的正方形，的半径为2,P是。8上一动点，贝UPD+

E为C。的中点.在2C上有一动点P,则尸。+PE的最小值是

19.如图，在正方形ABC。中，BC=2,对角线AC与8。交于点。，P、0为8。的两个动

20.在△ABC中，ZABC=60°，8C=8,AC=10,点。、£在AB、AC边上，且AO=C£,

则CD+BE的最小值

21.如图，在△ABC中，已知AB=AC,45的垂直平分线交A8于点M交AC于点M,连

接MB.

(1)若NABC=70°,则/MWA的度数是度.

(2)若A8=8ca,△M2C的周长是14cH.

①求8C的长度；

②若点尸为直线上一点，请你直接写出APBC周长的最小值.

22.如图己知所〃G//,AC_LEP于点C,BD_LEF于点、D交HG于点、K.AC=3,DK=2,

BK=4.

(1)若8=6,点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；

(2)若CD=H,点、P是HG上一点，点。是EF上一点，连接AP,PQ,。8,求AP+PQ+QB

2

的最小值.

G---------------------------------------H

B

23.如图，/XABC中，。是BC上的一点，若A8=10,BD=6,AD=8,AC=17,

（1）求△ABC的面积；

（2）如图②，8H为NABC的角平分线，点。为线段上的动点，点G为线段8c上的

动点，请直接写出OC+OG的最小值.

24.如图，在直角坐标系中，点A、8的坐标分别为（1,4）和（3,0）,点C是y轴上的

一个动点，且A、2、C三点不在同一条直线上.

（1）求出的长.

（2）求出AABC的周长的最小值？

25.已知△ABC中，AC^6cm,BC=8cm,AB^lOcm,CD为AB边上的高.动点尸从点A

出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s,设运动时间为fs.

（1）求。的长；

（2）/为何值时，尸为等腰三角形？

（3）若M为2C上一动点，N为AB上一动点，是否存在N使得AM+MV的值最小？

如果有请求出最小值，如果没有请说明理由.

26.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地/1放羊，然后赶羊到小河“饮水，之后再

回到8处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊

与饮水的位置.

草地

27.已知点P在内.

（1）如图1,点尸关于射线的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接OG、

OH、OP.

①若NMON=50。,则NGO//=；

②若PO=5,连接G/L请说明当NMON为多少度时，GH=10；

（2）如图2,若/MON=60。，A、8分别是射线。M、ON上的任意一点，当△用8的周

长最小时，求/AP8的度数.

28.在如图所示的网格中，线段A8和直线/如图所示：

（1）借助图中的网格，在图1中作锐角△ABC,满足以下要求：①C为格点（网格线交点）;

@AB=AC.

（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点尸，使得P到AB.

AC的距离相等，且出=尸5（友情提醒：请别忘了标注字母！）

(3)在图2中的直线/上找一点。使得△QAB的周长最小，并求出周长的最小值是.

29.用三角板和直尺作图.(不写作法，保留痕迹)

如图，点A,8在直线/的同侧.

(1)试在直线/上取一点M,使MA+M8的值最小.

(2)试在直线/上取一点M使NB-NA最大.

•B

30.如图，NXOY内有一点尸，试在射线0X上找出一点在射线OY上找出一点N,使

PM+MN+NP最短.

31.在如图所示的方格中，点A,B,C,。都在格点上，且A8=BC=2CD=4,P是线段

3c上的动点，连结AP,DP.

(1)设BP=x,用含字母x的代数式分别表示线段AP,。尸的长，求x=2时，AP+DP

值；

(2)AP+QP是否存在最小值？若存在，求出其最小值.

(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式力2+4+，(12二)2+9的最小值・

32.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知点A(-l,0),点8(0,2),点C(3,0),

直线。为过点。(0,-1)且平行于无轴的直线.

(1)直接写出点B关于直线a对称的点E的坐标；

(2)若尸为直线。上一动点，请求出△2以周长的最小值和此时P点坐标.

探

>,2)

A(1,Q)C(i,0；

Ox

一DC,“

33.(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P,使C、D、尸三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、。2上分别存在点E、尸，使得E、F、P

三点组成的三角形的周长最短，找出E、尸两点，并说明理由.

(3)如图3,在NAOB内部有两点M、N,是否在。4、。2上分别存在点E、F,使得E、

F.M.N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理

N

------------B

由.图1图2图3

34.如图，C为线段BD上一动点，分别过点8,。作EDLBD,连接AC,EC.已

知A8=5,DE=3,BD=15,设8C=x.

(1)用含尤的代数式表示AC+CE的长；

(2)请问点C在什么位置时，AC+CE的值最小，求出这个最小值;

(3)根据(2)中的规律和结论，作出图形并求出代数式｛x2+4W(i2-x)2+9的最小值。

35.如图，在△ABC中，A8=10,BC=12,BC边上的中线AQ=8.

(1)证明：△ABC为等腰三角形；

(2)点H在线段AC上，试求AH+BH+C”的最小值.

36.如图所示，正方形ABCD的边长为8,M在。C上，MDM=2,N是AC上的一动点,

求。N+MN的最小值.

37.已知：三点A(a,1)、B(3,1)、C(6,0),点A在正比例函数产学的图象上.

(1)求。的值;

(2)点尸为x轴上一动点.

①当△OAP与△C8P周长的和取得最小值时，求点P的坐标;

②当NAPB=20。时，求/。4尸+/尸2。的度数.

3

2

-2•

38.如图，C为线段8。上一动点，分别过点8,。作ED±BD,连结AC、EC.已

知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)试求AC+CE的最小值.

39.如图，点A是半圆上的三等分点，2是弧⑷V的中点，P是直径上一动点，。。的

半径是1,问点P在直线MN上什么位置是(在图中标注)，AP+3P的值最小？并求出最

小值.

40.如图，梯形ABC。中，AD//BC,ZBAD=90°,AD=l,E为A8的中点，AC是EQ

的垂直平分线.

(1)求证：DB=DC-,

(2)在图(2)的线段上找出一点P,使尸C+P。的值最小，标出点尸的位置，保留画

图痕迹，并求出尸8的值.

41.如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形42C£>,

N是斜边AC上一动点.

(1)若E、F为AC的三等分点，求证：/ADE=NCBF；

(2)若M是。C上一点，且。加=2,求。N+MN的最小值；

(注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若/C=90°,则AB2=AC2+BC2)

(3)若点尸在射线8C上，MNB=NP,求证：NP1ND.

42.如图等腰梯形A8CZ)中，AD//BC,AB^CD,其中AD=2,BC=5.

(1)尺规作图，作等腰梯形ABCD的对称轴°；

(2)在直线a上求作一点P,使PD+PC和最小；并求此时PD：PC的值.

43.如右图，/尸。。=20°,A为。。上的点，8为。尸上的一点，且。4=1,0B=2,在

。2上取点4，在AQ上取点上，设/=441+4也+428，求/的最小值.

0Q

44.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(8,0),以A8

为直径的半圆与y轴交于点M,以AB为一边作正方形ABCD.

(1)求C,M两点的坐标；

(2)连接CM,试判断直线CM是否与OP相切？说明你的理由；

(3)在x轴上是否存在一点Q,使得的周长最小？若存在，求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

45.如图，正方形ABC。边长为4,DE=1,M,N在BC上，且MN=2.求四边形AMNE

周长的最小值.

46.如图，点P是四边形ABC。内一点，分别在边A3、3C上作出点M,点N,使PM+PN+MN

的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

47.如图，在铁路/的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C,货场应建在什么

地方，才能使A、8两厂到货场C的距离之和最短？

B

48.如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧的中点，点P

是直径AB上的点.若。。的半径为1.

（1）用尺规在图中作出点P,使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）求MP+NP的最小值.

49.已知△ABC中，BC=a,AB=c,ZB=30°,尸是△ABC内—点，求E4+PB+PC的最

小值.

50.如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，/i〃A表示小河甲，k

〃/4表示小河乙，A为校本部大门，3为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各

建一座桥，桥面垂直于河岸.图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直

距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小

河平行方向）120米，为使A、8两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，

此时A、。两点间来往的路程是多少米？

"1______

甲L

1

人教新版八年级上学期《13.4课题学习最短路径问题》

2019年同步练习卷

参考答案与试题解析

选择题（共6小题）

1.如图，矩形ABC。中，A2=2愿,BC=6,尸为矩形内一点，连接B4,P8,PC,则PA+PB+PC

A.4\<3+3B.2^/21C.2A/3+6D.4旄

【分析】将△2PC绕点C逆时针旋转60°,得到△斯C,连接PP、AE,AC,则AE的长

即为所求.

【解答】解：将ABPC绕点C逆时针旋转60°,得到△跖C,连接尸RAE,AC,则AE

由旋转的性质可知：是等边三角形，

:.PC=PF,

"：PB=EF,

：.PA+PB+PC^PA+PF+EF,

...当A、尸、F、E共线时，朋+P8+PC的值最小,

:四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

.•.tan/ACB=^=逅，

BC3

AZACB=30°,AC=2AB=W1，

VZBCE=60°,

：.ZACE=90°,

AE=7（4V3）2+62=2，^21,

故选:B.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

2.如图，NABC=30°,点。、E分别在射线BC、BA±,且BD=2,BE=4,点M、N

分别是射线BA、BC上的动点，当。M+MN+NE最小时，（DW+MN+NE）2的值为（）

A.20B.26C.32D.36

【分析】如图，作点。关于8A的对称点G,作点E关于BC的对称点X,连接G8交48

有交BC有N,连接。M、EN,此时DM+MN+NE的值最小.再证明N/ffiG=90°,

利用勾股定理即可解决问题；

【解答】解：如图，作点。关于8A的对称点G,作点E关于BC的对称点H,连接G8交

A8有交BC有N,连接。M、EN,止匕时DM+MN+NE的值最小.

根据对称的性质可知：BD=BG=2,BE=BH=4,DM=GM,EN=NH,

：.DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，

VZABC=ZGBM=ZHBC=30°,

；・NHBG=9U°,

・•・GH2=BG2+BH2=20,

・•・当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为20,

故选：A.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决

最短问题，属于中考常考题型.

3.如图.己知△ABC.ZACB=30°,C尸为/AC8的平分线，且CP=6,点M、N分别是

边AC和8C上的动点，则△丹何周长的最小值为()

A.4B.6C.673D.10

【分析】作点尸关于AC的对称点E,点P关于8C的对称点R连接£尸交AC于"，交

BC于N,连接CE、CF.此时△PMN的周长最小.

【解答】解：作点尸关于AC的对称点E,点尸关于BC的对称点R连接所交AC于M,

交8C于M连接CE、CF.此时△PMN的周长最小.

由对称的性质可知，ZACP^ZACE,NPCB=/BCF,CP=CE=CF=6,

VZACB=30°,

：.ZECF^60°,

...△CEP是等边三角形，

；.EF=CE=6,

：.4PMN的周长的最小值=2加+四脂硒=£1〃+孙斗桥=£尸=6,

故选：B.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.

4.△ABC中，NABC=97.5°,P、。两点在AC边上，PB=2,8。=3&，PQ=y/10,若

点M、N分别在边AB、8c上，当四边形PQVM的周长最小时，(MP+MN+NQ)?的值

为()

A.18+8巫B.24+8&C.22+6瓜D.31-H/10

【分析】如图，作点P关于AB的对称点P',点。关于BC的对称点。'，连接P'Q'

交AB于交BC于N,此时四边形PQW的周长最小.作/W_L20于"

【解答】解：如图，作点尸关于的对称点P,点。关于BC的对称点Q',连接P

Q'交A8于M,交BC于N,此时四边形尸QNM的周长最小.作尸8,8。于H.

.\22-B$=(A/10)2-(372-BH)

解得由/=6，

/.PH2=4-2=2,

:.PH=也,

：.PH=BH=y/2>

：.NPBQ=45

VZABP=ZABP',ZCBQ=ZCBQ',

：.ZP'BQ'=2(/ABC-/PBQ)+ZPBQ=2ZABC-ZPBQ=150°,

作Q'K±P'B于K.

在RtZXBK。'中，ZKBQ'=30°,BQ'=8Q=3&,

：.KQ'=2/1,BK=^H-,

22

在RtZXP'Q'K中，KP'=2+^^,KQ'=2^,

22

：.P'Q12=(2+当应)2+(-^2-)2=22+6建，

22

CMP+MN+NQ)-P'Q'2=22+6找.

故选：C.

【点评】本题考查轴对称最短问题、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角的性质

等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，根据直角

三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

5.如图，在矩形ABC。中，对角线AC=6,过点。作。ELAC,垂足为E,AE=3CE,点

F,G分别在AC,BC上,则AG+PG的最小值为（）

C.2y/3D.373

【分析】作点A关于BC的对称点连接CM,作AHLCM于H,交BC于G,作GfU

AC于F,止匕时AG+GF的值最小，最小值=A8的长.想办法证明/ZME=30°即可解决

问题；

【解答】解：作点A关于8C的对称点M,连接CM,作AHLCM于X,交BC于G,作

GF±ACTF,此时AG+Gf1的值最小，最小值=A〃的长.

.•四边形48CD是矩形，

ZA£)C=90°,

'：DE±AC,AE=3CE,设EC=a,贝！|AE=3a,

ZAED=ZDEC=90°,

〃+3。=6,

"：ZDAE+ZADE=90°,ZADE+ZEDC=90°,

:.NDAE=NEDC,

：.AADEsADCE,

:.DF=AE・EC,

：.DE=^^,

2

■,/c/Z7EE

AE3

：.ZDAE=3Q°,

'：AD//CB,

：.ZDAE^ZACB^ZBCM=30°,

：.ZACH=60°,

.•.AH=AOsin60°=3代，

故选：D.

B

【点评】本题考查轴对称-最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和和性质，锐角三角

函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于

中考常考题型.

6.RtAABCZACB=90°,AC=4,BC=8,D,E是AB和8c上的动点，连接CO,

DE,则CD+DE的最小值为（

D

CEB

A.8B.I'”旄C.D.丝

555

【分析】如图，作NABG=/ABC,CFLBG^F,交AB于D,作。EJ_BC于E,止匕时DC+OE

的值最小，最小值=行的长.再利用相似三角形的性质求出CP即可.

【解答】解：如图，作/ABG=N45C,C凡LBG于尸，交A8于。，作OE_L8C于E,此

时DC+DE的值最小，最小值=CF的长.

取A8中点T,连接CT,作CH_LAB于H.

22=

在RtAABC中，AS=JAC+BC4后,

,CH一AC，BC—■§2^.CT=LB=2后

AB52

■;TC=TB,

：.ZTBC=ZTCB=ZABGf

・・•ZADC=ZTBC+ZTCB=2ZDBC,ZCBF=2ZDBC,

：.ZCTH=ZCBF,

：.sinZCTH=sinZCBF,

•CH=CF,

*CTBC，

・飞一.CF

••,—9

W58

.,.CF=丝，

5

故选：D.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂线段最短等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常

考题型.

二.填空题（共14小题）

7.已知：如图，直线和直线/相交于点。，其中两直线相交所构成的锐角等于45°,

且0M=6,MN=2,若点P为直线/上一动点，那么PM+PN的最小值是10.

【分析】作点M关于直线/的对称点连接NM,交直线/于P,连接NP,则MP=MP,

依据轴对称的性质，即可得到。加=。川=6,NNOM=90°,再根据勾股定理即可得到

PM+PN的最小值.

【解答】解：如图，作点M关于直线/的对称点朋\连接M0,交直线/于P,连接NP,

则MP=MP,

：.PM+PN的最小值等于线段MN的长，

'：OM=OM,OP=OP,PM=PM,

CSSS）,

：.ZPOM^ZPOM'^45°,0M=0Af=6,

：.ZNOM,=90°,

.,.RtZ\NAf。中，财N={N02+N，02=五2+62=10,

的最小值是10,

故答案为：10.

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题和勾股定理等知识，凡是涉及最短距离

的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某

直线的对称点.

8.如图，△ABC中，ZBAC=30°MAB=AC,尸是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP

的最小值为2&，则二退

【分析】如图将绕点A顺时针旋转60°得到△AMG.连接PG,CM.首先证明当

G,P,C共线时，B4+P3+PC的值最小，最小值为线段OW的长，想办法求出AC的长

即可解决问题；

【解答】解：如图将AABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG.连接PG»CM.

'：AB=AC,AH±BC,

：.ZBAP^ZCAP,

'：PA=PA,

：./\BAP^/\CAP(SAS),

：.PC=PB,

；MG=PB,AG^AP,ZGAP=60°,

...△GAP是等边三角形，

C.PA^PG,

：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

...当M,G,P,C共线时，E4+P8+PC的值最小，最小值为线段CM的长,

,：AP+BP+CP的最小值为2注,

:.CM=2版,

'：ZBAM=60°,ZBAC=30°,

AZMAC=90°,

：.AM=AC=2,

作BN2AC于N.贝ljBN=—AB=1,AN=M，CN=2-聪,

2

BC=VBN2+CN2=V12+（2-V3）2=^-逅

故答案为我-、他.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会

利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型.

9.如图，在矩形ABC。中，48=10,4。=6,动点P满足S△%B=L矩形ABCD，则点P到

3

A,B两点距离之和PA+PB的最小值为2ym

【分析】首先由S^PAB=—S矩形A5CZ），得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线/

3

上，作A关于直线I的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然

后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即B4+PB的最小值.

【解答】解：设AAB尸中A8边上的高是江

S^pAB~~S矩形ABCD，

2

23

.'.h=^-AD=4,

3

动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线I的对称点E,

连接AE,连接BE,则的长就是所求的最短距离.

在RtZiABE中，VAB=5=10,AE=4+4=8,

•*,BE=>!AB2HE2=V102+82=2^41'

即PA+PB的最小值为2总.

故答案为：2yl.

£

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点

之间线段最短的性质.得出动点尸所在的位置是解题的关键.

10.如图，菱形ABCZ）的边长为3,/胡。=60°,点E、/在对角线AC上（点E在点F

的左侧），且EF=1,则DE+BF最小值为—而—

【分析】作。/〃AC,使得。M=EF=1,连接8M交AC于F,由四边形。是平行四

边形，推出DE=FM,推出DE+BF=FM+FB=BM,根据两点之间线段最短可知，此时

DE+FB最短,由四边形A8C£）是菱形，在中，根据8加二标病计算即

可.

【解答】解：如图，作。河〃AC,使得。Af=EP=l,连接8M交AC于尸，

\'DM=EF,DM//EF,

.,•四边形DEFM是平行四边形，

：.DE=FM,

：.DE+BF=FM+FB=BM,

根据两点之间线段最短可知，此时。E+EB最短,

:四边形ABC。是菱形，AB=3,/BAD=60°

：.AD=AB,

.,.△A3。是等边三角形，

：.BD=AB=3,

2=

在RtzXBDM中，BM=yj^2+2VIO

J.DE+BF的最小值为Jld

故答案为府.

【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于

中考填空题中的压轴题.

11.如图，在菱形ABC。中，AB=6,/A=135°,点尸是菱形内部一点，且满足&PCD

【分析】如图在BC上取一点E,使得EC=LBC=2,作废'〃A8,作点C关于EF的对称

3

点C',CC'交所于G,连接。C'交所于尸,连接PC,此时此时&PDC=/S菱形g，

PD+PC的值最小.

【解答】解：如图在8c上取一点E,使得EC=LBC=2,作匹〃A8,作点C关于环的

3

对称点C,CC'交跖于G,连接DC交所于P,连接PC,此时此时SAPDC=

■h菱形皿，*PC的值最小―

•・•四边形A8CD是菱形，NA=135°,

：.ZB=ZCEG=45°,ZBCZ)=135°

VZCGE=90°,CE=2,

:・CG=GE=GC'他，

.•.ZGCE=45°，ZDCC=90°,

=462+(2&)2=2m，

故答案为2m.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会

利用轴对称解决最短问题.

12.如图所示，已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E

分别是AB,0A上的动点，则△CZJE周长的最小值是10.

【分析】点C关于。4的对称点C'(-1,0),点C关于直线48的对称点C"(7,6),

连接C'C"与AO交于点E,与AB交于点D,此时周长最小，可以证明这个最

小值就是线段CC".

【解答】解：如图，点C关于的对称点C(-1,0),点C关于直线的对称点C",

:直线48的解析式为y=-x+7,

直线CC〃的解析式为y=x-1,

由上X+7解得卜=&

ly=x-l【y=3

直线A8与直线CC"的交点坐标为K(4,3),

是CC"中点，

可得C"(7,6).

连接C'C"与AO交于点E,与AB交于点。，此时周长最小，

△DEC的周长=DE+EC+CD=EC+ED+DC"=C'C"=^2^2=10.

故答案为10.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性

在找到点。、点E位置，属于中考常考题型.

13.如图，在等腰三角形ABC中，NABC=120°,点P是底边AC上一个动点，M、N分

别是AB、8c的中点，若PM+PN的最小值为4,则△ABC的周长是8+4立.

B

&pC

【分析】本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点,根据勾股定理就可

求出跖V的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出A3、BC、AC的长，从而得到^

ABC的周长.

【解答】解：作M点关于AC的对称点AT,连接MN,则与AC的交点即是P点的位置,

,：M,N分别是AB,BC的中点，

MN是NXBC的中位线，

J.MN//AC,

.FM'KM'—

,,PN=KM-

：.PM'=PN,

即：当尸M+PN最小时尸在AC的中点，

：.MN^1-AC

2

：.PM=PN=2,MN=2M

：.AC=473，

AB=BC=2PM=2PN=4,

.♦.△ABC的周长为：4+4+4M=8+4V3.

故答案为：8+4行.

【点评】本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用.正确确定P

点的位置是解题的关键.

14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上AC与网格线交

于点。，点P,0分别为线段BC,AB上的动点.

（/）线段CO的长为反；

—4一

（II）当PO+P。取得最小值时，用无刻度的直尺.画出线段P。，PQ,并简要说明点尸和

点Q的位置是如何找到的作。。'于。'交BC于P,作尸0LA2于。，根据垂

线段最短可知，此时PD+POuRD+P。'=D。'最短..

【分析】（/）添加辅助线，构造相似三角形即可解决问题；

（11）作。。‘于Q'交BC于尸，作于。，根据垂线段最短可知，此时PD+尸。

=PD+PQ'=DQ'最短；

【解答】解：（/）作。尸〃AB交BC于尸，作CH_LA8于H交DF于G.

'."DF//AB,

:.ACDFsACAB,

•CD=CG

"CACH，

•.•-C-D_1,

54

：.CD=^~,

4

故答案为反.

4

(II)如图构造边长为5的菱形ABEC,

作。Q'于0交BC于P,作尸。，42于。根据垂线段最短可知，此时尸。+尸。=

PD+PQ'=DQ'最短.

故答案为：作。。于。'交BC于P,作PQLAB于。，根据垂线段最短可知，此时

PD+PQ=PD+PQ'=DQ'最短.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理、菱形的性质、垂线段最短就、相似三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问

题，属于中考常考题型.

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,平分/BAC交BC于点D若AC=4,CD

=1,E是AC的中点，尸是上的一个动点，则PC+PE的最小值为—生叵

【分析】作点E关于AD的对称点E',连接CE'交于P,连接PE,此时PE+PC的

值最小，作E'H_LAC于X,DG1ABG.设BG=y.成本法求出E'H,CH,

利用勾股定理即可解决问题；

【解答】解：作点E关于A3的对称点E',连接CE'交于尸，连接PE,此时PE+PC

的值最小，作E'H_LAC于H,OG_LA8于G.设BD=x,BG=y.

平分NCAB,DG±AB,DC1.AC,

：.DG=DC,\"AD=AD,

：.RtAADG^RtAADC,

：.DG=DC^1,AG=4C=4,

ED=BG=DG

ABBCAC)

x_y_JL

4+yx+14

'：E'H//BC,

.EzH_AEy_AH

BCABAC，

：.E'”=也，AH=迎,

1717

1717

.,.2£+尸。的最小值=。£'

故答案为=坦叵.

17

【点评】本题考查轴对称最短问题、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似

三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，学会利用轴对称解决最短问题.

16.已知A(-2,0),8(0,2),P是x轴上动点，将8绕。点顺时针旋转90°得到点C,

则AC+aCP的最小值是

【分析】如图，在无轴上取一点M(2,0),连接CM交y轴于N.首先证明△OBPs^AffiC,

推出尸=90°,推出点C在直线CN上运动，因为BC=5/无C,可得AC+

C=CA+CB,延长到3',使得A/次=BM,连接A3'交CN于C',此时AC'

+BC的值最小，最小值=线段A距的长；

【解答】解：如图，在无轴上取一点肱(2,0),连接CM交y轴于N.

：.0A=0B=0M=2,

:.AOBM,△PBC都是等腰直角三角形，

ZOBM=ZCBP=45°,

：.ZOBP=ZMBC,

..CB-PB_<2

EMBC2

：.40BPsAMBC,

：.ZMBC=ZBOP=90°,

...点C在直线CN上运动，

VBC=A/2PC,

：.AC+\p2PC^CA+CB,

延长8M■到8',使得MB'=BM,连接AB'交CN于C'，此时AC，+BC'的值最小，

最小值=线段A夕的长，

VA(-2,0),B'(4,-2),

-"AB'=^2^+62=2VT5，

故答案为2A.

【点评】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压

轴题.

17.如图，四边形A8CD为边长为4的正方形，08的半径为2,尸是。8上一动点，贝UPD+

A.PC的最小值为5；y/2PD+4PC的最小值为小风.

2一

D

【分析】①如图，连接PB、在8C上取一点E,使得8E=1.只要证明△尸可

得骂_=里=l，推出PD+LpC=PZ)+PE,再根据三角形的三边关系尸E+PDWOE即可

PCBC22

解决问题；

②连接DB,PB,在BD上取一点E,使得BE=*,连接EC,作EF±BC于F.只要证

明APBEsADBP,可得上1=里=返，推出尸石=返尸。，推出J^PQ+4PC=4(返

PDBD444

PD+PC)=4(PE+PC),根据三角形的三边关系PE+PCWEC即可解决问题；

【解答】解：①如图，连接尸8、在BC上取一点E,使得8E=L

:.P^=BE・BC,

.•.里=里,:NPBE=/CBE,

ECPB

.♦.△PBEsACBE,

.FE=PB=J_(

"FCBCT

：.PD+1-PC=PD+PE,

2

•：PE+PDWDE,

在RtZVDCE中，DE=^32+42=5,

：.PD+1-PC的最小值为5.

2

②连接08,PB,在8D上取一点E,使得2E=¥",连接E