广东省四中、三中、培正三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(原卷版+解析)

2022学年第一学期“三校联考”综合测试高二数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）班级_________姓名_________学号_________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线经过原点和，则的倾斜角是（）A.－60° B.60° C.120° D.150°2.直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A. B.C.或 D.与的位置关系不能判断3.直线在轴，轴上的截距相等，则的值为A. B.2 C.或2 D.4或4.已知直线，，且，点到直线的距离（）A. B.C. D.5.棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（）A. B. C. D.6.已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.8.平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.和夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C与直线垂直D.与直线平行11.如图，在所有棱长均为2的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M为侧棱的中点，N为侧棱上的动点，则下列结论正确的有（）A.无论动点N在什么位置，平面B.直线和直线所成角的大小为C.的正弦值的最大值为D.二面角的大小为12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C方程为 B.在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C.在C上存在点M，使得 D.C上的点到直线的最大距离为9第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知向量，，若与垂直，则___________.14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．15.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为_____________.16.已知，则的最小值为_____________．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤．17.如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.18.己知的三个顶点分别为，求：（1）求边中垂线所在的直线方程；（2）求与直线平行且距离为的直线方程；（3）求的外接圆的方程．19.如图，直三棱柱中，为中点.（1）证明：平面；（2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值.20.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点坐标；（2）求的面积．21.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.22.已知圆C经过，两点.（1）当时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；（2）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.（3）已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值；

2022学年第一学期“三校联考”综合测试高二数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）班级_________姓名_________学号_________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线经过原点和，则的倾斜角是（）A.－60° B.60° C.120° D.150°答案：C【解析】分析：根据直线经过两点的坐标求出斜率，进而根据以及直线倾斜角的范围即可求出结果.【详解】因为直线经过原点和，所以，设直线的倾斜角为，故，因为，所以，故选：C.2.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A. B.C.或 D.与的位置关系不能判断答案：B【解析】分析：观察到的直线的方向向量与平面的法向量共线，由此得到位置关系．【详解】解：直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，显然它们共线，所以．故选：B．3.直线在轴，轴上的截距相等，则的值为A. B.2 C.或2 D.4或答案：C【解析】分析：先考虑直线过原点情况，再考虑截距不为0情况,分别求得直线在轴，轴上的截距，由截距相等求得m的值．【详解】若直线过（0，0）点，则-4-m=0,则m=-4,令x=0,则y=,再令y=0,则，由在轴，轴上的截距相等，得，解得m=2.综上m=2或m=-4.选C.【点睛】截距相等要分两种情况考虑，一种是直线过原点，即截距为0，另一种是截距不为0的情况．4.已知直线，，且，点到直线的距离（）A. B.C. D.答案：D【解析】分析：根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可【详解】由可得，解得，故故选：D5.棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：用表示，然后计算数量积．【详解】由已知，因为，，所以，，．故选：D．6.已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A【解析】分析：直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出l的斜率的取值范围,即得解【详解】设直线过定点，则直线可写成，令解得直线必过定点．，．直线与线段相交，由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．7.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：直线始终平分圆的周长，即直线经过点,即故点在直线上,可看作动点到定点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即可求得.【详解】解：，故圆的圆心坐标为，直线始终平分圆的周长，即直线经过点,故，即.可看作动点到定点的距离的平方，又因为，故点在直线上,所以的最小值为点到直线的距离.∵∴∴即的最小值为.故选：D.8.平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A. B. C. D.答案：A【解析】【详解】试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.和夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是答案：BD【解析】分析：根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，，，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，，，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行答案：AC【解析】分析：根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线重合，D错误；，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，令得，直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；由于，C正确故选：AC11.如图，在所有棱长均为2的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M为侧棱的中点，N为侧棱上的动点，则下列结论正确的有（）A.无论动点N在什么位置，平面B.直线和直线所成角的大小为C.的正弦值的最大值为D.二面角的大小为答案：ABC【解析】分析：对于A：利用线面平行的判定定理直接证明平面；对于B：求出与所成角为；对于C：先判断出，即可求出的最大值；对于D：取中点中点,连接,判断出为二面角的平面角.即可求解.【详解】对于A：因为底面为正方形，所以.又面，面，所以平面，即平面.故A正确；对于B：连接.因为分别为中点,所以.又在等边△中,与所成角为，所以与所成角为.故B正确；对于C：连接交于点O，则O为的中点.因为所有棱长均为2，所以,.又,平面,平面,所以平面.又平面,所以,所以.在△中,,所以的最大值为.故C正确；对于D：取中点中点,连接.因为,所以；因为为正方形，所以，所以为二面角的平面角.因为，所以，所以，所以.故D错误.故选：ABC.12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为 B.在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C.在C上存在点M，使得 D.C上的点到直线的最大距离为9答案：AD【解析】分析：由题意可设点，由两点的距离公式代入化简可判断A选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B选项.设，由已知得，联立方程求解可判断C选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此可判断D选项.【详解】解：由题意可设点，由，，，得，化简得，即，故A正确；点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确；故选：AD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知向量，，若与垂直，则___________.答案：【解析】分析：根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解：与垂直，，则，解得：，，则，.故答案为：.14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．答案：【解析】分析：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点到直线的距离：．点到直线的距离为．故答案为：．15.圆：关于直线：对称的圆的标准方程为_____________.答案：.【解析】分析：由圆C的一般方程化为其标准方程，求得圆C的圆心和半径，再求得圆心C关于直线l的对称点，由圆的标准方程可求得答案.【详解】解：由圆：得其标准方程为，圆心的坐标为，半径.设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以所求圆的方程为.故答案为：.16.已知，则的最小值为_____________．答案：【解析】分析：已知提取，剩下的部分表示点到原点的距离与它到直线的距离之和，而这个和的最小值是原点到直线的距离，由此可得结论．【详解】,表示点到原点的距离与它到直线的距离之和，由平面几何知识可知这个距离和的最小值是原点到直线的距离．所以题中所求的最小值是．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤．17.如图，在边长为2正方体中，分别为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.答案：（1）见解析（2）【解析】分析：（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解点面距离即可．【小问1详解】建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分别为，的中点，，1，，，1，，，0，，，2，，设平面的法向量为，则,即，令，则因为，，所以平面．【小问2详解】,,设点到平面的距离为，所以18.己知的三个顶点分别为，求：（1）求边中垂线所在的直线方程；（2）求与直线平行且距离为的直线方程；（3）求的外接圆的方程．答案：（1）；（2）或；（3）．【解析】分析：（1）求出中点坐标，直线的斜率得出中垂线的斜率，从而得直线方程；（2）求出直线后设出与其平行的直线方程，由平行间距离求得参数，得直线方程；（3）设出圆的一般方程，代入三点坐标后求解．【小问1详解】边中点坐标为，，边中垂直的斜率为，直线方程为，即；【小问2详解】直线方程为，即，设所求直线方程为，由，或，所以所求直线方程为或；【小问3详解】设外接圆方程为，则，解得，圆方程为．19.如图，直三棱柱中，为中点.（1）证明：平面；（2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）【解析】分析：（1）连接交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接交于点，连接，在直三棱柱中，为矩形，所以为中点，又因E为BC中点，所以，又由平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，又因为，，所以平面，所以，由，可得，以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案.【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，所以，解得，故.（2）设由题知：，所以，解得，即.，直线，即：.，点到直线的距离，所以.【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题.21.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.答案：（1）证明见解析（2）存在，点是线段的中点【解析】分析：（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.【小问1详解】证明：连接，取线段的中点，连接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又