2024年高中数学专题1-8重难点题型培优精讲全称量词与存在量词学生版新人教A版必修第一册

全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题3．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．4．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要留意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要依据命题涉及的意义去推断．【例1】（2024秋•普宁市校级月考）下列命题中全称量词命题的个数为（）①正方形的对角线相互平分；②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】（2024秋•临沂期中）下列命题中，是全称量词命题的是（）A．∃x∈R，x2≤0 B．当a＝3时，函数f（x）＝ax+b是增函数 C．存在平行四边形的对边不平行 D．平行四边形都不是正方形【变式1-2】（2024秋•沧州期中）下列命题是全称量词命题的是（）A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360°【变式1-3】（2024秋•苍南县校级月考）下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于随意x∈R，总有1x存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【方法点拨】推断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，须要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要推断其为假命题，只需举出一个反例即可．推断存在量词命题真假的方法：推断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．【例2】（2024春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题【变式2-1】（2024秋•武汉期末）下列命题为真命题的是（）A．对每一个无理数x，x2也是无理数 B．存在一个实数x，使x2+2x+4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．全部的质数都是奇数【变式2-2】（2024春•丰城市校级期中）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，4x0+1＝0 C．∀x∈R，x2﹣1＝0 D．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0【变式2-3】（2024春•罗甸县校级月考）下列命题中是假命题是（）A．∀x∈R，|x|+1＞0 B．∃x∈R，1|x|C．∃x∈R，|x|＜1 D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0【题型3依据命题的真假求参数】【方法点拨】(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以依据函数等数学学问来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出确定存在的假设，然后从确定的假设动身，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致冲突，则否定了假设．【例3】（2024春•泰安期末）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【变式3-1】（2024秋•普宁市期中）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1【变式3-2】（2024•四川模拟）若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]【变式3-3】（2024秋•黄石月考）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】【方法点拨】对全称量词命题否定的两个步骤：①变更量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．对存在量词命题否定的两个步骤：①变更量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【例4】（2024春•阿勒泰地区期末）全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（）A．∃x∈R，x2+5x＝4 B．∀x∈R，x2+5x≠4 C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正确【变式4-1】（2024秋•荷塘区校级期末）命题“∃x∈R，使x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x＞1 B．∃x∈R，使x＜1 C．∀x∈R，都有x≤1 D．∃x∈R，使x≤1【变式4-2】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【变式4-3】（2024•衡阳县校级四模）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A【题型5命题否定的真假推断】【方法点拨】(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易推断时，可以转化为推断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【例5】写出下列命题的否定，并推断真假．（1）正方形都是菱形；（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；（3）∀x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【变式5-1】（2024秋•邹城市期中）推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并推断其真假：（Ⅰ）p：对随意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．【变式5-2】（2024秋•广平县校级期中）推断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：（1）∀x∈N，x3＞x2；（2）全部可以被5整除的整数，末位数字都是0；（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线相互垂直．【变式5-3】（2024秋•澄城县校级月考）推断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；（2）有些三角形是等边三角形；（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数．【题型6依据命题否定的真假求参数】【方法点拨】结合题目条件，依据命题的否定的真假与原命题的真假之间的关系进行转化求解，进而求出参数即可.【例6】（2024春•荆州期末）已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）【变式6-1】（2024•香洲区校级学业考试）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【变式6-2】（2024春•福建月考）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1