2025届湖北省武汉第三寄宿中学数学九上期末综合测试试题含解析

2025届湖北省武汉第三寄宿中学数学九上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（）A．60° B．65° C．70° D．80°2．对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形 D．当时，随的增大而增大3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是()A． B． C． D．34．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥5．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A． B． C． D．6．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm7．把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（）A． B． C． D．8．下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A． B． C． D．10．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()A．60° B．75° C．87° D．120°11．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．012．抛物线y=-2（x+3）2-4的顶点坐标是：A．（3，-4） B．（-3，4） C．（-3，-4） D．（-4，3）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝cm，则AB的长为_____．14．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．15．如图，某水坝的坡比为,坡长为米，则该水坝的高度为__________米．16．如图，直线与两坐标轴相交于两点，点为线段上的动点，连结，过点作垂直于直线，垂足为，当点从点运动到点时，则点经过的路径长为__________．17．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC中，sinB=，cosC=，AB=5，求△ABC的面积．20．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，点B在双曲线（x＜0）上，点D在双曲线（x＞0）上，点D的坐标是（3，3）（1）求k的值；（2）求点A和点C的坐标．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线向上平移个单位长度后与轴交于，与反比例函数图象在第一象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积.22．（10分）如图，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．①②③④（1）问题发现：当时，．（2）拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．（3）问题解决：当旋转至三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．23．（10分）如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是6，仰角为；1后火箭到达点，此时测得仰角为（所有结果取小数点后两位）．（1）求地面雷达站到发射处的水平距离；（2）求这枚火箭从到的平均速度是多少？（参考数据：，，，，，）24．（10分）[阅读理解]对于任意正实数、，∵，∴，∴（只有当时，）．即当时，取值最小值，且最小值为．根据上述内容，回答下列问题：问题1：若，当______时，有最小值为______；问题2：若函数，则当______时，函数有最小值为______．25．（12分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，试求的长；（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．26．如图，已知抛物线（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.2、C【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；B、∵，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；D、∵，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．3、A【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=，∴cosA===，∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=.故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.4、A【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.【详解】依题意得2-4x≥0解得x≤故选A.【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.5、B【分析】画出树状图，根据概率公式即可求得结果.【详解】画树状图，得∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，∴实际这样的机会是．故选：B．【点睛】本题考查随机事件的概率计算，关键是要熟练应用树状图，属基础题.6、A【解析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值．【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，

∴

解得：a=2cm．

故答案为A．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．7、A【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，即可得解.【详解】由已知，得经过平移的抛物线是故答案为A.【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.8、C【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.9、D【解析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．【详解】点与点关于轴对称；由于的图象关于原点对称，因此选项错误；由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项正确故选．【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．10、C【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.11、B【解析】试题解析：是关于的二次函数,解得：故选B.12、C【解析】试题分析：抛物线的顶点坐标是（-3，-4）．故选C．考点：二次函数的性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据题意过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，进而分析计算得出AB即可．【详解】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．∵∠B＝45°，∴CD＝BD，∵BC＝，∴BD＝，∵∠A＝30°，∴tan30°＝，∴AD＝＝＝3，∴AB＝AD+BD＝．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．14、【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.故其概率为：．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15、【分析】根据坡度的定义，可得，从而得∠A=30°，进而即可求解．【详解】∵水坝的坡比为，∠C=90°，∴，即：tan∠A=∴∠A=30°，∵为米，∴为1米．故答案是：1．【点睛】本题主要考查坡度的定义和三角函数的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．16、【分析】根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．【详解】解：∵AM垂直于直线BP，∴∠BMA=90°，∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，连接ON，∵直线y=-x+4与两坐标轴交A、B两点，∴OA=OB=4，∴ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∵在Rt△OAB中，AB=，∴ON=，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMA=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．17、3-4【解析】试题分析：根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4.考点：方程的解18、30°【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠OBC=60°，

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°．

故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．三、解答题（共78分）19、【分析】过A作AD⊥BC，根据三角函数和三角形面积公式解答即可．【详解】过A作AD⊥BC．在△ABD中，∵sinB=，AB=5，∴AD=3，BD=1．在△ADC中，∵cosC=，∴∠C=15°，∴DC=AD=3，∴△ABC的面积=．【点睛】本题考查了解直角三角形，关键是根据三角函数和三角形面积公式解答．20、（1）k=9,（2）A（1,0）,C（0,5）.【分析】（1）根据反比例函数过点D,将坐标代入即可求值,（2）利用全等三角形的性质,计算AM,AN,CH的长即可解题.【详解】解：将点D代入中,解得：k=9,（2）过点B作BN⊥x轴于N,过点D作DM⊥x轴于M,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵∠BAN+∠ABN=90°,∴∠BAN=∠ADM,∴△ABN≌△DAM（AAS）,∴DM=AN=3,设A（a,0）,∴N（a-3,0）,∵B在上，∴BN==AM,∵OM=a=3,整理得：a2-6a+5=0,解得：a=1或a=5（舍去）,经检验,a=1是原方程的根,∴A（1,0）,过点D作DH⊥Y轴于H,同理可证明△DHC≌△DMA,∴CH=AM=2,∴C（0,5）,综上,A（1,0）,C（0,5）.【点睛】本题考查了反比例函数的性质,三角形的全等,难度较大,作辅助线,通过全等得到长度是解题关键.21、（1）；；（2）【分析】（1）将A点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数的解析式即可求得答案；（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式，再解方程组可求得点C的坐标，利用进行计算可求得结论.【详解】解：（1）把代入得，解得；把代入得，正比例函数的解析式为；反比例函数的解析式为；（2）直线向上平移的单位得到直线的解析式为，当时，，则，解方程组得或，∵点在第一象限内，点的坐标为；连接，.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，只要把这两个函数的关系式联立成方程组求解即可.22、（1）；（2）无变化，理由见解析；（3）图③中；图④中；【分析】（1）问题发现：由勾股定理可求AC的长，由中点的性质可求AE，BD的长，即可求解；（2）拓展探究：通过证明△ACE∽△BCD，可得；（3）问题解决：由三角形中位线定理可求DE=1，∠EDC=∠B=90°，由勾股定理可求AD的长，即可求AE的长．【详解】解：（1）问题发现：∵∠B=90°，AB=2，BC=6，∴AC=，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴AE=EC=，BD=CD=3，∴，故答案为：；（2）无变化；证明如下：∵点，分别是边，的中点，∴由旋转的性质，，，∵，，∴，∴，∴；（3）如图③，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE=AB=1，DE∥AB，∴∠CDE=∠B=90°，∵将△EDC绕点C顺时针方向旋转，∴∠CDE=90°=∠ADC，∴AD=，∴AE=AD+DE=；如图④，由上述可知：AD=，∴；【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23、（1）雷达站到发射处的水平距离为4.38；（2）这枚火箭从到的平均速度为0.39．【分析】（1）根据余弦三角函数的定义，即可求解；（2）先求出AL的值，再求出BL的值，进而即可求解．【详解】（1）在中，，答：雷达站到发射处的水平距离为4.38；（2）在中，，在中，，∴，∴速度为0.39，答：这枚火箭从到的平均速度为0.39．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义，是解题的关键．24、（1）2，4；（2）4，1【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和m的取值；（2）先将函数写成，对用上面的公式算出最小值，和取最小值时a的值，从而得到函数的最小值．【详解】解：（1），当，即（舍负）时，取最小值4，故答案是：2，4；（2），，当，，，（舍去）时，取最小值6，则函数的最小值是1，故答案是：4，1．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算．25、（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．【详解】解：（1）连结，如图：∵是的直径∴∴∵∴∵∴∴∵在圆上∴是