高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念，凸显数学抽象的核心素养．2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．（三）导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．（四）特别提醒（3）曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．（4）曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)；(2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．【常考题型剖析】题型一：导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念例1.(2023·全国·高三专题练习（理））2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④例2．（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．例3．（2008·北京·高考真题（理））如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________；_________．（用数字作答）【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．题型二：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则例4.(2023·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．例5．(2023·江西·高考真题（理））设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则＝__________．例6．（2023·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．例7.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三：导数的几何意义--求曲线的切线方程例8．（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A． B．C． D．例9．(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．例10．(2023·全国·高考真题（文））已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.【总结提升】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．题型四：导数的几何意义--求切点坐标例11．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.例12．(2023·陕西·高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.题型五：导数的几何意义--求参数的值(范围)例13．（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A． B．C． D．例14．（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．例15．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．题型六：两曲线的公切线问题例16.（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+例17．(2023·全国·高考真题（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.题型七：导数几何意义相关的应用问题例18．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．例19．（2023·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．例20.（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【规律方法】求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围．(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念，凸显数学抽象的核心素养．2.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．3.与函数、曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．（二）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．（三）导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．（四）特别提醒（3）曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．（4）曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)；(2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．【常考题型剖析】题型一：导数（平均变化率、瞬时变化率）的概念例1.(2023·全国·高三专题练习（理））2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④答案：B【解析】分析：利用平均变化率的含义，即看这段时间内的变化量，由此判断①②④的正误；根据瞬时变化率的含义，判断出③的正误，可得答案.【详解】①在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．②在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．故选：．例2．（2023·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③【解析】分析：根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③例3．（2008·北京·高考真题（理））如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________；_________．（用数字作答）答案：

2

-2【解析】【详解】f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．题型二：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则例4.(2023·天津·高考真题（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．答案：e【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：，则，即的值为e，故答案为.例5．(2023·江西·高考真题（理））设函数f(x)在(0,＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则＝__________．答案：【解析】【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．例6．（2023·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．答案：1【解析】分析：由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.例7.（2023·全国高三月考（理））已知函数，则________.答案：6【解析】由，得，令，得，解得.所以.所以.故答案为：6【点评】赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三：导数的几何意义--求曲线的切线方程例8．（2023·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A． B．C． D．答案：B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.例9．(2023·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．答案：

【解析】分析：分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；例10．(2023·全国·高考真题（文））已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.答案：【解析】【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．【总结提升】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．题型四：导数的几何意义--求切点坐标例11．（2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.答案：.【解析】分析：设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.例12．(2023·陕西·高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．答案：【解析】【详解】设.对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.题型五：导数的几何意义--求参数的值(范围)例13．（2023·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A． B．C． D．答案：D分析：解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.例14．（2023·全国·高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．答案：D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．例15．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．答案：【解析】分析：设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．题型六：两曲线的公切线问题例16.（2023·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+答案：D【解析】分析：根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的