高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题11二次函数根的分布问题(原卷版+解析)

微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为2、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．例2．(2023·全国·高一单元测试）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.例3．(2023·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．例5．(2023·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.例6．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知､是一元二次方程的两个实数根．(1)若､均为正根，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由．题型二：根在区间的分布问题例7．(2023·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．例8．(2023·全国·高一课时练习）已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？例9．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：有不同的两根且两根在内．例10．(2023·江苏·高一专题练习）已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．例11．(2023·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.例12．(2023·上海市七宝中学高一阶段练习）方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围为___________.例13．(2023·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．例14．(2023·全国·高一单元测试）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．例15．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____．例16．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．例17．(2023·上海·高一专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______例18．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．例19．(2023·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：整数根问题例20．(2023·上海市实验学校高一开学考试）已知是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求使的值为整数的实数的整数值.例21．(2023·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（

）A．13 B．18 C．21 D．26例22．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（

）A．5 B．6C．7 D．9例23．(2023·全国·高一专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.题型四：范围问题例24．(2023·上海·高一专题练习）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.例25．(2023·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程的两实根分别为.(1)当时，求的值；(2)若，求实数m的取值范围及的最小值.例26．(2023·北京海淀·高一期末）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．例27．(2023·江苏·高一）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1例28．(2023·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．例29．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．(1)若，解不等式；(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·高一专题练习）已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（

）A．1 B．0 C． D．22．(2023·江苏·高一专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京·北师大实验中学高一期中）设方程的两个不等实根分别为，则（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·高一课时练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）.A． B．C． D．5．(2023·全国·高一课时练习）一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是(

)A． B． C． D．6．（2023·四川·树德中学高一阶段练习）设集合，集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高一课时练习）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（

）.A．B．若不等式的解集为，则C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则10．（2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．11．(2023·湖南湖南·高一期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．112．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正实数根的充要条件是C．方程无实数根的充要条件是D．当m=3时，方程的两个实数根之和为013．（2023·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5三、填空题14．(2023·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x的方程的一根大于1，一根小于1，则a的取值范围是：__________________．15．（2023·北京师大附中高一期中）若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．16．（2023·上海·复旦附中高一期中）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．17．（2023·上海·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是______________．四、解答题18．(2023·全国·高一期中）命题关于的方程有两个相异负根；命题，．(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．19．(2023·湖南·高一课时练习）若一元二次方程的一个根在区间内，另一个根在区间内，求实数的取值范围．20．（2023·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）已知．(1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围；(2)如果，成立，求实数的取值范围．21．（2023·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数，其中.(1)若，且关于的不等式的解集为，求的取值范围；(2)若，且均为奇数，求证：方程无整数根；(3)若，当方程有两个大于1的不等根时求的取值范围.微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为2、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．答案：【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，当时，不等式恒成立；当时，则满足，解得，综上可得．由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，则满足，整理得，所以，解得．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，可得，即实数的取值范围为．故答案为：．例2．(2023·全国·高一单元测试）关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.答案：或【解析】若方程有且仅有一个负实数根，则当时，，符合题意.当时，方程有实数根，则，解得，当时，方程有且仅有一个负实数根，当且时，若方程有且仅有一个负实数根，则，即.所以当或时，关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“或”.故答案为：或.例3．(2023·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.答案：或【解析】首先，设方程的两根为，则，所以，又，解得或．故答案为：或．例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．答案：【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：例5．(2023·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，则解得.（2）因为，所以，由题可知，则或，由题意，方程有两个负根，即解得.综上，实数的取值范围是.例6．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知､是一元二次方程的两个实数根．(1)若､均为正根，求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根､故，即，且，解得：．（2）由题意，当，即时，有解得：，与矛盾.故不存在实数k，使得成立题型二：根在区间的分布问题例7．(2023·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．答案：【解析】设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2.故答案为：.例8．(2023·全国·高一课时练习）已知关于x的方程．(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，故方程的一个根大于1，另一个根小于1，则，解得，所以a的取值范围是．（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数的大致图象，由图知，，解得．所以a的取值范围是．（3）方程的两个根都大于0，则，解得，所以a的取值范围是．例9．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：有不同的两根且两根在内．【解析】令，因为方程有不同的两根且两根在内，所以，解得，故答案为：例10．(2023·江苏·高一专题练习）已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．【解析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由已知得，而，所以，故，不等式即，解得或，故不等式的解集为或.（2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，解得：，即实数t的取值范围为.例11．(2023·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.答案：(1)(2)(3)分析：设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设．依题意有，即，得．（2）设．依题意有，解得．（3）设．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得，即②有一个正根，一个负根，此时可得，得．③有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得．例12．(2023·上海市七宝中学高一阶段练习）方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围为___________.答案：【解析】令，因为程的一个根在区间上，另一个根在区间上，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：.例13．(2023·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．答案：【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，令，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：例14．(2023·全国·高一单元测试）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．答案：【解析】由题意，方程的两根都大于，令，可得，即，解得．故答案为：.例15．(2023·全国·高一专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____．答案：【解析】显然，关于的方程对应的二次函数当时，二次函数的图象开口向上，因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，所以，即，解得；②当时，二次函数的图象开口向下，因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，所以，即，解得；综上所述，实数的范围是．故答案为：．例16．(2023·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．答案：.【解析】方程

方程两根为，若要满足题意，则，解得，故答案为：.例17．(2023·上海·高一专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______答案：【解析】的两个根都大于，解得可求得实数的取值范围为故答案为：例18．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，即，解得，故，故选：D例19．(2023·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】方程对应的二次函数设为：因为方程恰有一根属于，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，，解得，当时，方程的根为，不合题意；若，方程的根为，符合题意综上：实数m的取值范围为故选：D题型三：整数根问题例20．(2023·上海市实验学校高一开学考试）已知是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求使的值为整数的实数的整数值.【解析】（1）假设存在实数，使得成立，一元二次方程的两个实数根，，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得，，但，不存在实数，使得成立.（2），要使其值是整数，只需要能被整除，故，即，，.例21．(2023·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（

）A．13 B．18 C．21 D．26答案：C【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，根据题意可得，，解得，因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得，即，解得，又所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C例22．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（

）A．5 B．6C．7 D．9答案：BC【解析】设，函数图象开口向上，且对称轴为，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足，即，解得，又因为，所以或或，故选：BC.例23．(2023·全国·高一专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.答案：1【解析】方程化为，由，解得，所以最大整数值是.故答案为：1.题型四：范围问题例24．(2023·上海·高一专题练习）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.答案：【解析】a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，可得，，，又，可得，，又，，又，，故答案为：．例25．(2023·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程的两实根分别为.(1)当时，求的值；(2)若，求实数m的取值范围及的最小值.【解析】（1）当时，方程为，，所以，.（2）因为两根，所以，解得.因为，，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时符合题意，的最小值为.例26．(2023·北京海淀·高一期末）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．答案：B【解析】因为函数（b，c为实数），，所以，解得，所以，因为方程有两个正实数根，，所以，解得，所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．(2023·江苏·高一）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1答案：B【解析】由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B例28．(2023·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．答案：A【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.例29．(2023·福建厦门·高一期末）已知函数，．(1)若，解不等式；(2)若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．【解析】(1)当时，原不等式可化为…①．（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以．综上，原不等式的解集为．(2)依题意，．因为，且二次函数开口向上，所以当时，函数有且仅有一个零点．所以时，函数恰有两个零点．所以解得．不妨设，所以，是方程的两相异实根，则，所以．因为是方程的根，且，由求根公式得．因为函数在上单调递增，所以，所以．所以．所以a的取值范围是．【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·高一专题练习）已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（

）A．1 B．0 C． D．2答案：C【解析】因为有一正一负两个根，所以，解得.因为p是q的充分不必要条件，所以，且，则m的最大值为.故选：C2．(2023·江苏·高一专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令由题可知：则，即故选：C3．（2023·北京·北师大实验中学高一期中）设方程的两个不等实根分别为，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，故，.故选：D.4．（2023·江苏·高一课时练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）.A． B．C． D．答案：C【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解可得，即或，解得，故选：C5．(2023·全国·高一课时练习）一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是(

)A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，不妨设，因为，且有一个正实数根和一个负实数根，所以的图像开口向下，即，故对于选项ABCD，只有C选项：是的充分不必要条件.故选：C.6．（2023·四川·树德中学高一阶段练习）设集合，集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由题意，若，即方程存在根在区间（1）若，不成立；（2）若，由于不为方程的根，故，则由于综上，实数的取值范围是故选：B7．(2023·全国·高一课时练习）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由题意可得，解得.故选：B.8．（2023·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（）A． B． C． D．答案：A【解析】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A二、多选题9．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（

）.A．B．若不等式的解集为，则C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则答案：ABD【解析】由题意，不等式的解集是，所以，，所以A正确；对于B：变形为，其解集为，所以，得，故成立，所以B正确；对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：，所以C错误；对于D：若不等式的解集为，即的解集为，由韦达定理知：，则，解得，所以D正确.故选：D.10．（2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：ACD【解析】设，则二次函数的图象的对称轴为．当时，方程即，求得，满足方程有正根，但由方程有正数根，可得，即，故是方程有正数根的充分不必要条件，故A满足条件；当时，方程即，求得，不满足方程有正实数根，故不是方程有正数根的充分条件，故排除B．当时，方程即，求得，满足方程有正根，但由方程有正数根，可得，即，故方程有正数根的充分不必要条件，故C满足条件；当时，方程即，求得，或，满足方程有正根，但由方程有正数根，可得，即，故方程有正数根的充分不必要条件，故D满足条件，故选：ACD．11．(2023·湖南湖南·高一期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．1答案：BC【解析】由题意在上有解．∵，∴，故选：BC．12．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正实数根的充要条件是C．方程无实数根的充要条件是D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0答案：AB【解析】对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；对B，若方程有两个正实数根，，即解得：，故B正确；对C，方程无实数根，即，解得：，方程无实数根的充要条件是，故C错误；对D，当时，方程为，无实数根，故D错误.故答案为：AB.13．（2023·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5答案：BC【解析】设，由，可得，解得：，又因为，得或，故选：BC