人教版高一数学新教材同步配套教学讲义3.2.1单调性与最大(小)值(原卷版+解析)

3.2.1单调性与最大（小）值【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3．证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5．单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1．正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2．一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4．二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【题型归纳目录】题型一：单调性的概念题型二：函数的单调性的证明题型三：求函数的单调区间题型四：利用函数单调性求参数的取值范围题型五：利用函数单调性的性质解不等式题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系题型七：求函数的最值题型八：抽象函数单调性的证明题型九：二次函数在闭区间上的最值问题【典型例题】题型一：单调性的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（

）A．是增函数，且 B．是増函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增例3．（2022·山东济宁·高一期中）设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例4．（2022·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数例5．（2022·全国·高一专题练习）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0例6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．题型二：函数的单调性的证明例7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）例8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)当，证明函数在上单调递减；(2)当时，，求的值.例9．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.例10．（2022·全国·高一课时练习）判断并证明在的单调性.例11．（2022·江苏·高一）已知函数，且(1)求解析式；(2)判断并证明函数在区间的单调性.例12．（2022·河北武强中学高一期中）设函数．(1)判断函数在区间和上的单调性，并证明；(2)若，求函数在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围．例13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集．例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．题型三：求函数的单调区间例15．（2022·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．例16．（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．例17．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.例18．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______．例19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．例20．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调减区间为__________.题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例21．（2022·海南·琼山中学高一阶段练习）已知在上单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.故答案为：；.例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.例24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例26．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例27．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高一阶段练习）若函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例28．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上不单调，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．例29．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：利用函数单调性的性质解不等式例30．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．例31．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例32．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例33．（2022·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）例34．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例36．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系例37．（2022·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用函数的单调性进行比较，数形结合．例38．（多选题）（2022·全国·高一）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（

）A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3例39．（2022·全国·高一单元测试）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．例40．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．例41．（2022·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有

（

）A． B．C． D．题型七：求函数的最值例42．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．例43．（2022·湖南·高一课时练习）检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点．(1)；(2)；(3)；(4)．例44．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数满足下列3个条件：①函数的图象关于原点对称；②函数在上单调递减；③函数过定点．(1)请猜测出一个满足题意的函数，并写出其解析式；(2)求（1）中所猜函数在上的最大值．例45．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.例46．（2022·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）函数y=+的最大值为__________.例47．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或例48．（2022·全国·高一专题练习）设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．例49．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（

）A．， B．，C．， D．，例50．（2022·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．题型八：抽象函数单调性的证明例51．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【方法技巧与总结】研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．例52．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．例53．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.(1)求的值；(2)证明：是定义域上的减函数；(3)若，解不等式.例54．（2022·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.例55．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求证：在上是增函数；(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．例56．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．例57．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；(1)求证：；(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例58．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数满足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.【方法技巧与总结】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论．例59．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）1.已知二次函数满足，且的最大值为．(1)求函数的解析式；(2)设，求在区间上的最大值．例60．（2022·吉林油田高级中学高一期中）已知是二次函数，且满足，，．(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；(2)设函数，，，求函数的最小值．例61．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数在区间上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．的最小值为0，最大值为3 B．的最小值为，最大值为0C．的最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值3．（2022·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（

）A．4 B．6 C．10 D．244．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏常州·高一期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）若函数在区间上的值域为，则（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（

）A．， B．，C．， D．，11．（2022·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A． B． C．0 D．112．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A．

B．C．

D．三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．14．（2022·全国·高一课时练习）对任意，函数，则的最小值是_______．15．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）函数在上是增函数，则a的取值范围为________．16．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围是______．四、解答题17．（2022·全国·高一单元测试）已知．(1)用分段函数的形式表示；(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域．18．（2022·全国·高一单元测试）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.(1)求函数的表达式；(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值域.20．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)对于，成立；(2)对于，，成立．21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．3.2.1单调性与最大（小）值【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3．证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5．单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6．复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1．正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2．一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3．反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4．二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【题型归纳目录】题型一：单调性的概念题型二：函数的单调性的证明题型三：求函数的单调区间题型四：利用函数单调性求参数的取值范围题型五：利用函数单调性的性质解不等式题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系题型七：求函数的最值题型八：抽象函数单调性的证明题型九：二次函数在闭区间上的最值问题【典型例题】题型一：单调性的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（

）A．是增函数，且 B．是増函数，且C．是减函数，且 D．是减函数，且【答案】D【解析】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且；法二：当时，.设，则，由已知，.所以，即，所以是减函数，故选：D.【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.例3．（2022·山东济宁·高一期中）设函数的定义域为，已知为上的减函数，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数是R上的单调递减函数，则，反之不成立，所以是的的充分不必要条件．故选：A例4．（2022·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（

）A．若为增函数，为增函数，则为增函数B．若为减函数，为减函数，则为减函数C．若为增函数，为减函数，则为增函数D．若为减函数，为增函数，则为减函数【答案】C【解析】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确；选项D:为增函数，则为减函数，为减函数，为减函数，选项D正确；选选C:若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.例如为上的增函数，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，故不能确定的单调性.故选:C例5．（2022·全国·高一专题练习）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正确的是：.故选：.例6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.若，则，故选项C不正确.故选：C.题型二：函数的单调性的证明例7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【解析】（1）证明：任取，且，则，因为，，所以，所以，故，所以，所以函数在上单调递增．（2）由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为．【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）例8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)当，证明函数在上单调递减；(2)当时，，求的值.【解析】（1）证明：若，则，当时，，所以所以，函数在上单调递减.（2）①当时，，不满足条件；②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：，联立，即解得，不满足条件；③当时，令，所以，函数在上单调递减；同理可证，函数在上单调递增，所以，函数最小值应在处取得，当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件；当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件；综上，.例9．（2022·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.【解析】（1）因为，所以，所以.（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.例10．（2022·全国·高一课时练习）判断并证明在的单调性.【解析】根据函数单调性的定义：任取，所以因为，所以，所以所以原函数单调递增。例11．（2022·江苏·高一）已知函数，且(1)求解析式；(2)判断并证明函数在区间的单调性.【解析】(1)且，解得.所以函数的解析式为.(2)∵.∵，，所以，所以，所以函数在单调递增.例12．（2022·河北武强中学高一期中）设函数．(1)判断函数在区间和上的单调性，并证明；(2)若，求函数在上的最大值；(3)若，且，使得成立，求实数t的取值范围．【解析】(1)函数在区间单调递减，在上单调递增，证明如下：设，，当时，，，当时，，，故在区间单调递减，在上单调递增.(2)若，由（1）知，函数在区间单调递减，在上单调递增，又，故函数在上的最大值为.(3)，使得成立，即，由（2）知，故，解得或.例13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集．【解析】（1）任取，且，则，所以，所以，所以在区间上单调递增；（2）当时，，由可得，解得，故不等式的解集为例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．【解析】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，．因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增．题型三：求函数的单调区间例15．（2022·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得或，则函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为，故选：C【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．例16．（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2)．【解析】（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．例17．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.【解析】（1）函数的解析式．，；（2）因为且，所以，解得，，解得（舍去），，解得，综上或．（3）画出函数的图象如图：由图可知，函数的单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域．例18．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______，单调递减区间是______．【答案】

，

，【解析】由函数图象可得：单调递增区间为：，；单调递减区间为：，故答案为：，；，例19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．【答案】和.【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，时，，对称轴，开口向下，在递增，函数的递增区间是和.故答案为：和.例20．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调减区间为__________.【答案】【解析】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．故答案为：.题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例21．（2022·海南·琼山中学高一阶段练习）已知在上单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的对称轴为，所以在上单调需满足或，即或，故选：D.【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.【答案】

【解析】由题意知，解得，所以实数a的值为.当时，在区间上是减函数，所以满足题意；当时，因为在区间上是减函数，所以，解得.综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：；.例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.【答案】【解析】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.例24．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当a=0时，，不符合题意.当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.故选：A.例25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递减，在上递减，且，解得，故选：.例26．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，解得，故选：B例27．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高一阶段练习）若函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的对称轴为，开口向上，又函数在上单调递减，所以，解得，即；故选：B例28．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上不单调，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的对称轴为，则要想在上不单调，则，解得：故选：B例29．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在区间上单调递增，所以，所以故选：C题型五：利用函数单调性的性质解不等式例30．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令则，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D．【方法技巧与总结】求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．例31．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，不妨设，故，即，令，则，故在上单调递减，，不等式两边同除以得：，因为，所以，即，根据在上单调递减，故，综上：故选：B例32．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.例33．（2022·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【解析】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A例34．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可转化为，不妨设，则，∴.令，由单调性定义可知，为上的增函数.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即x的取值范围为.故选：B.例35．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B例36．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若则实数的取值范围是____．【答案】【解析】由题意可知，函数在上单调递增，则，即且，即且，解得且或，即故答案为：.题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系例37．（2022·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得函数在上是增函数，所以.故选：D.【方法技巧与总结】利用函数的单调性进行比较，数形结合．例38．（多选题）（2022·全国·高一）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（

）A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3【答案】AC【解析】由，，可得图象关于对称，由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；对C，，C正确；对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．故选：AC.例39．（2022·全国·高一单元测试）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意为偶函数，则，又由函数在区间上单调递增，且,所以，所以，故选：B．例40．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为当时，恒成立，所以函数在上是减函数，又函数的图象关于直线对称，所以，而，所以，所以，故选：B.例41．（2022·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有

（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，又函数在上是增函数，故故选：C.题型七：求函数的最值例42．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B【方法技巧与总结】（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．例43．（2022·湖南·高一课时练习）检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【解析】(1)任取，设则由，知所以在上为增函数，当时，取得最大值，且当时，取得最小值，且(2)任取，设，则当时，，则在上为减函数，当时，，则在上为增减函数，当时，取得最大值，且当时，取得最小值，且(3)任取，设，则由时，知，则在上为增函数，当时，取得最大值，且当时，取得最小值，且(4)任取，设，则由时，知，则在上为增函数，所以函数无最值.例44．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数满足下列3个条件：①函数的图象关于原点对称；②函数在上单调递减；③函数过定点．(1)请猜测出一个满足题意的函数，并写出其解析式；(2)求（1）中所猜函数在上的最大值．【解析】（1）由的图象关于原点对称知为奇函数，又函数在上单调递减，可猜想，，猜测一个满足题意的函数为；（2）易知函数在上单调递减，∴函数例45．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.【答案】【解析】因为，，所以，即，解得：所以，设且，所以，因为且，所以，所以，即，所以，即在上单调递减，所以，所以，函数的值域是故答案为：例46．（2022·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）函数y=+的最大值为__________.【答案】【解析】由，解得，即函数的定义域为，，当时，取得最大值，即.故答案为：例47．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【解析】依题意，当时，，不符合题意；当时，在区间上单调递增，所以，得；当时，在区间上单调递减，所以，得．综上，a的值为故选:B.例48．（2022·全国·高一专题练习）设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上单调递减，，解得：.故选：B.例49．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.选项A，，，取，，则，不满足“L条件”；选项B，，，任取，，其中，当时，，递减；当时，，递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为，所以对任意的，，都有，所以，满足“L条件”；选项C，在上单调递减，在上单调递增，，，，所以的最大值为，最小值为，，所以，不满足“L条件”；选项D，函数在上单调递增，显然不满足“L条件”.故选：ACD例50．（2022·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则．当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B．题型八：抽象函数单调性的证明例51．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【解析】证明：任取、，且，则．因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数．【方法技巧与总结】研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．例52．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．【解析】(1)得，则，而，且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．(3)由条件①及（1）的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.例53．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.(1)求的值；(2)证明：是定义域上的减函数；(3)若，解不等式.【解析】（1）令，则，解得：；（2）设，则，，，，是定义域上的减函数；（3）由得：，即，又，，是定义域上的减函数，，解得：；又，，的解集为.例54．（2022·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.【解析】(1)根据题意，令，有对任意都成立，所以.因为可得，；(2)在上是单调递减的函数，理由如下：对任意的，有：，，所以在上是单调递减的函数.(3)，由于在上是单调递减，只需要有解，即，又因为是正数，只需要，即或（舍）当时，因为二次函数的对称轴是，一定有，，所以在内必定有解.综上可知，的取值范围是.例55．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求证：在上是增函数；(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．【解析】(1)依题意，且时，，令，则，，任取，，由于，所以，所以，所以在上递增.(2)由（1）知，在上递增，，.(3)依题意，在上递增，.，，，当时，不等式的解集为空集.当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.例56．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为，令，得，即；（2）由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是．例57．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；(1)求证：；(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式【解析】（1）令，得，解得再令，则所以（2）在上为增函数，证明如下：设，则，因为时，所以由（1）知所以所以在上为增函数.（3）因为，所以，得，又因为，所以，所以由上可知，是定义在上为增函数所以，原不等式，解得，即原不等式的解集为.题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例58．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数满足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.【解析】（1）设，，又，，由知，（2），对称轴为：，故当时，在上单调递增，故在处取得最小值，，当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，，当时，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，，所以【方法技巧与总结】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论．例59．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）1.已知二次函数满足，且的最大值为．(1)求函数的解析式；(2)设，求在区间上的最大值．【解析】(1)设二次函数，因为，且的最大值为，所以，解得：，故二次函数(2)，对称轴为，当，即时，在上单调递减，故当，即时，在上单调递增，在上单调递减，故当，即时，在上单调递增，故综上：例60．（2022·吉林油田高级中学高一期中）已知是二次函数，且满足，，．(1)求函数的解析式，并证明在上单调递增；(2)设函数，，，求函数的最小值．【解析】(1)设，，，即，解得，，则.证明：任取，，且因为，则，所以，∴在上单调递增．(2)令，则由（1）知，则，记，当时，；当时，；当时，．故．例61．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.【解析】（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，又，则二次函数图象的顶点坐标为，设，则，因此，；（2），对称轴为直线，，则.当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，，则，得，此时；当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，，且，，则，整理得，解得，此时，.因此，，则实数的最大值为.【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数在区间上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为函数在区间上单调递减，所以当时，取得最小值，故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．的最小值为0，最大值为3 B．的最小值为，最大值为0C．的最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值【答案】C【解析】函数所以当时，；当时，；当时，．结合函数图像可知，函数的最大值为3，最小值为．故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（

）A．4 B．6 C．10 D．24【答案】C【解析】因为f(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是减函数.所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故选：C.4．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，所以函数在递增，在上递减，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故错误；D.由知：函数在上为减函数，故正确；故选：D.5．（2022·全国·高一课时练习）函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数为上单调递减，则可变形为，则，解得，所以的取值范围为，,故选：C6．（2022·江苏常州·高一期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数是上的减函数，所以2−m<02−m+2m−7≤−1，解得.故选：A7．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）若函数在区间上的值域为，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】函数在其定义域上为增函数，故或，同理或，，，故.故选：