高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)7.2复数的四则运算(原卷版+解析)

7.2复数的四则运算【知识点梳理】知识点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知识点二、复数的加减运算的几何意义1.复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.知识点诠释：复数复平面内的点平面向量2.复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于，所以和的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1．乘法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。2．乘法运算律：(1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：【典型例题】类型一、复数的加减运算例1．（2023·海南·三亚华侨学校高二期中）复数等于（）A． B． C． D．例2．（2023·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（）A． B． C． D．例3．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________.类型二、复数的乘除运算例4．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（）A．4 B． C． D．2例5．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．例6．(2023·北京朝阳·高三期末）（）A． B．2 C． D．例7．（2023·江苏南京·高二期中）已知复数，则______.例8．（2023·浙江浙江·高一期末）若复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，且是实数．（1）求的模长；（2）求．类型三.复数代数形式的四则运算例9．（2023·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（）A． B． C． D．例10．（2023·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．例11．(2023·新疆·一模（文））已知复数，则（）A． B． C． D．2例12．（2023·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（）A．-2 B．-1 C．4 D．2例13．（2023·吉林·长春市第八中学高一期中）复数，则z的虚部是（）A．1 B．i C． D．例14．（2023·河北冀州中学高三期末（文））复数＝（）A． B． C． D．例15．（2023·山东邹城·高一期中）设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．例16．（2023·上海·复旦附中高二期末）为虚数单位，且是纯虚数，（1）求的取值范围；（2）若，，，求的最小值.类型四、复数方程例17．（2023·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数.（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.例18．（2023·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解.（1）求、的值；（2）若复数满足，求的最小值.例19．（2023·河南新乡·高二期中（理））关于复数的方程（）．（1）若此方程有实数解，求的值；（2）用反证法证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根．例20．（2023·全国·高一专题练习）设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．(1)求z1；(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数z2满足|z13·z2|＝125，求z22.类型四.复数的几何意义例21．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．例22．（2023·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.例23．（2023·全国·高二课时练习）证明等式，对任意复数都成立，并给出这个等式的一个几何意义.【同步练习】一、单选题1．(2023·上海·复旦附中高二期末）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（）A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆2．(2023·新疆·一模（理））已知复数，则（）A． B． C． D．23．(2023·北京石景山·高三期末）已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．(2023·广西柳州·二模（文））若复数z满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．5．（2023·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（）A． B． C． D．6．（2023·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知复数z满足，则的虚部为（）A．1 B． C．2 D．7．（2023·浙江·舟山中学高三阶段练习）已知是虚数单位，若复数，则（）A．-0.5 B． C．0.5 D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多选题9．（2023·湖北·高二期中）已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数在复平面上对应的点可能落在第四象限B．C．D．为实数10．（2023·湖北·高一期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．11．(2023·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则12．（2023·全国全国·模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A．对任意的，B．在复平面内对应的点在第二象限C．的实部为D．与互为共轭复数三、填空题13．(2023·上海·复旦附中高二期末）化简：___________.14．（2023·上海静安·一模）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．15．（2023·北京·北大附中高二期末）若复数z满足：，且|z|＝，则实数a＝_____．16．（2023·北京·首都师大二附高一期末）（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)四、解答题17．（2023·全国·高一单元测试）已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.18．（2023·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，求复数z19．（2023·上海徐汇·高二期末）（1）解方程：；（2）已知是方程的一个根，求实数、的值．20．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足，的虚部是.（1）求复数；（2）设、、在复平面上的对应点分别为、、，求的面积.21．(2023·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.（1）若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；（2）若，求实数a的值.22．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足，，求复数z．7.2复数的四则运算【知识点梳理】知识点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知识点二、复数的加减运算的几何意义1.复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.知识点诠释：复数复平面内的点平面向量2.复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于，所以和的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1．乘法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。2．乘法运算律：(1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：【典型例题】类型一、复数的加减运算例1．（2023·海南·三亚华侨学校高二期中）复数等于（）A． B． C． D．答案：A【详解】故选：A.例2．（2023·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（）A． B． C． D．答案：C【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.例3．（2023·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________.答案：【详解】解：由题意得，则，故答案为：.类型二、复数的乘除运算例4．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（）A．4 B． C． D．2答案：D【详解】由，所以，所以．故选：D．例5．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．答案：B【详解】不妨设复数，则有：则有：故有：解得：故选：B例6．(2023·北京朝阳·高三期末）（）A． B．2 C． D．答案：D【详解】故选：D例7．（2023·江苏南京·高二期中）已知复数，则______.答案：-3【详解】，，，故答案为：例8．（2023·浙江浙江·高一期末）若复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，且是实数．（1）求的模长；（2）求．【详解】（1），，；（2）设，则，为实数，，解得：，.类型三.复数代数形式的四则运算例9．（2023·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（）A． B． C． D．答案：A【详解】解：由题意可知，，所以，所以，故选：A.例10．（2023·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．答案：A【详解】解：由，得，所以虚部为.故选：A．例11．(2023·新疆·一模（文））已知复数，则（）A． B． C． D．2答案：C【详解】∵，∴.故选：C例12．（2023·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（）A．-2 B．-1 C．4 D．2答案：C【详解】因为，所以，又因为，所以，解得正数．故选：C例13．（2023·吉林·长春市第八中学高一期中）复数，则z的虚部是（）A．1 B．i C． D．答案：A【详解】,虚部为1，故选:A例14．（2023·河北冀州中学高三期末（文））复数＝（）A． B． C． D．答案：C【详解】因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以.故选：C例15．（2023·山东邹城·高一期中）设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．答案：【详解】∵，∴，∴的虚部是．故答案为：．例16．（2023·上海·复旦附中高二期末）为虚数单位，且是纯虚数，（1）求的取值范围；（2）若，，，求的最小值.【详解】（1），因为为纯虚数，所以且，所以或，当时，，当时，，，所以，综上：.（2）由（1）或，又，所以，，，，由题意知，所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.类型四、复数方程例17．（2023·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数.（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【详解】（1）设，，所以，，，所以，，所以；（2）设，又，，所以，解得．所以．例18．（2023·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解.（1）求、的值；（2）若复数满足，求的最小值.【详解】（1）依题意得，，即，所以，解得，；（2）由（1）可得，设，则，，因为，所以，整理得.，故当时，取得最小值.例19．（2023·河南新乡·高二期中（理））关于复数的方程（）．（1）若此方程有实数解，求的值；（2）用反证法证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根．【详解】（1）解：设方程的实数解为，则，所以，所以，所以．因为，所以．（2）证明：假设原方程有纯虚数根，令，，且，则有，整理可得，所以所以对于①，由于判别式，所以方程①无解，故方程组无解，故假设不成立．故原方程不可能有纯虚数根．例20．（2023·全国·高一专题练习）设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．(1)求z1；(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数z2满足|z13·z2|＝125，求z22.【详解】(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，所以a＝±2.当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．类型四.复数的几何意义例21．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．例22．（2023·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.【详解】因为,分别表示复数,,所以表示的复数为,即点表示的复数为,又,所以表示的复数为,即点表示的复数为【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题例23．（2023·全国·高二课时练习）证明等式，对任意复数都成立，并给出这个等式的一个几何意义.【详解】证明：设,则由复数模的定义可得所以几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.【同步练习】一、单选题1．(2023·上海·复旦附中高二期末）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（）A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆答案：A分析：设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A2．(2023·新疆·一模（理））已知复数，则（）A． B． C． D．2答案：A分析：先用复数运算公式化简，进而求解.【详解】∵，∴．故选：A3．(2023·北京石景山·高三期末）已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A4．(2023·广西柳州·二模（文））若复数z满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．答案：D分析：根据复数的四则运算化简可得复数，再根据模长公式可得解.【详解】由，得，所以，故选：D.5．（2023·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（）A． B． C． D．答案：A分析：根据复数代数形式的乘方与除法运算法则化简复数，即可得到其共轭复数；【详解】解：由题意可知，，所以，所以，故选：A.6．（2023·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知复数z满足，则的虚部为（）A．1 B． C．2 D．答案：B分析：根据复数的运算法则，化简得到，得出，结合复数的概念，即可求解.【详解】因为，可得，所以，所以的虚部为.故选：B.7．（2023·浙江·舟山中学高三阶段练习）已知是虚数单位，若复数，则（）A．-0.5 B． C．0.5 D．答案：D分析：首先求出和的模长，然后利用复数的除法即可求解.【详解】由题意可知，，，故，，所以，故选：D.8．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案：B分析：设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B二、多选题9．（2023·湖北·高二期中）已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数在复平面上对应的点可能落在第四象限B．C．D．为实数答案：ACD分析：根据复数的几何意义，结合三角函数值的范围判断A，复数的模的计算公式判断B，复数的乘法判断C；复数的加法法与除法，判断D．【详解】对于A，因为，所以只能为正数，可能为正数或负数或零所以，复数在复平面上对应的点可能落在第四象限，所以正确；对于B，，所以B不正确；对于C，．所以C正确；对于D，为实数，所以D正确；故选：ACD.10．（2023·湖北·高一期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．答案：CD分析：利用复数的运算性质分析求解即可【详解】对于A，由，得，所以，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以D正确，故选：CD11．(2023·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：ABC分析：根据，得到，结合共轭复数的定义，可判断A正确；由共轭复数的定义与运算，可判定B正确；设，利用复数的运算法则，可判定C正确；令，可判定D错误.【详解】对于A中，由，可得，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，则和互为共轭复数，所以，所以B正确；对于C中，设，由，可得，即，所以，所以，所以C正确；对于D中，若，则，而，此时，所以D错误.故选：ABC.12．（2023·全国全国·模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A．对任意的，B．在复平面内对应的点在第二象限C．的实部为D．与互为共轭复数答案：ABD分析：利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共轭复数的含义即得.【详解】对于A选项，，A正确；对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；对于C选项，，实部为，C错误；对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.故选：ABD.三、填空题13．(2023·上海·复旦附中高二期末）化简：___________.答案：分析：根据复数的乘方法则计算可得.【详解】解：因为，，，所以故答案为：14．（2023·上海静安·一模）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．答案：分析：根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.【详解】因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，所以，即，即，解得，所以m的取值范围是，故答案为：15．（2023·北京·北大附中高二期末）若复数z满足：，且|z|＝，则实数a＝_____．答案：±1分析：设z＝x+yi(x,y∈R)是的一个根，由复数的性质可得是另外一个根，进而可得，即可求a的值．【详解】设z＝x+yi(x,y∈R)是的一个根，∴是的另一个根，由＝5，即a2＝1，解得a＝±1；故答案为：±1．16．（2023·北京·首都师大二附高一期末）（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)答案：1分析：（1）根据除法运算求得复数z，求得虚部；（2）根据复数几何意义，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，从而根据点到圆上的点的距离求得取值范围.【详解】（1），则z的虚部是1；（2）由复数z满足，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，则的几何意义为圆上的点到的距离，则