高考数学大题精做专题01平行、垂直问题的证明(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】【2020届北京市通州区三模考试】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【典例2】【2020届湖北省沙市中学期末考试】在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【典例3】【2020届河北省衡水中学高三上学期九模】如图，在长方体中，分别为的中点，是上一个动点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【典例4】【福建省龙岩市2019年5月高中毕业班教学质量检查】如图，菱形中，，，是的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且平面平面，（1）求证：；（2）若为的中点，求四面体的体积．【典例5】【2020届陕西咸阳模拟】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【典例6】【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【针对训练】1.【2020届湖南长郡中学月考】在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求到平面的距离.2.【2019届福建厦门第一中学模拟】已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.3.【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知三棱锥中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.4.【河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考】如图，在四边形中，是的中点，为正三角形，，，.将沿直线折起，使到达处，到达处，此时平面平面.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.5.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.6.【2020届吉林辽源田家炳高级中学期末联考】在四棱锥中，底面为正方形，.（1）证明：面⊥面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的余弦值．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】【2020届北京市通州区三模考试】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【思路引导】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；

（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．解：（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，则．【典例2】【2020届湖北省沙市中学期末考试】在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【思路引导】利用与交于，连接．证明，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；对于存在性问题，可先假设存在，即假设在线段上是否存在点，使二面角的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．解：与交于，连接．由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．又平面，平面，所以平面．由于四边形是菱形，，是的中点，可得．又四边形是矩形，面面，面，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，，．则，，令，，，，又平面的法向量，0，，，，解得，，在线段上不存在点，使二面角的大小为．【典例3】【2020届河北省衡水中学高三上学期九模】如图，在长方体中，分别为的中点，是上一个动点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）当时，为中点，因为是的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.因为分别是中点，所以，因为平面平面，所以平面.因为平面平面，所以平面平面.（2）如图，连接与，因为平面平面，所以.若又平面，且，所以平面.因为平面，所以.在矩形中，由，得，所以.又，所以，则，即.【典例4】【福建省龙岩市2019年5月高中毕业班教学质量检查】如图，菱形中，，，是的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且平面平面，（1）求证：；（2）若为的中点，求四面体的体积．【思路引导】（1）先在左图中证明，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明平面，进而可得出结论；（2）先计算出，再由题意得到，即可得出结果．解：（1）证明：在左图中，∵四边形是菱形，，是的中点，∴，故在右图中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：在左图中，∵四边形是菱形，，，∴，且，在右图中，连接，则，∵为的中点，∴．【典例5】【2020届陕西咸阳模拟】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【思路引导】（1）连接，由线面垂直的性质定理可得，且，故平面，，又，利用线面垂直的判断定理可得平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，设，则，，，结合几何关系计算可得，即直线与平面所成角的正弦值为.法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，结合(1)的结论可得平面得法向量，而，据此计算可得直线与平面所成角的正弦值为.解：（1）连接，由平面，平面得，又，，∴平面，得，又，，∴平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，不妨设，则，，，在中，由射影定理得，可得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，由（1）知平面得法向量，而，∴.故直线与平面所成角的正弦值为.【典例6】【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【思路引导】（Ⅰ）推导出AE⊥PA，AE⊥AD，从而AE⊥平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．解：（Ⅰ）连接∵底面为菱形，，∴是正三角形，∵是中点，∴又，∴∵平面，平面，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面，∴就是与平面所成的角，在中，，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，∴，则，，，，，，，所以，，，设是平面一个法向量，则取，得又平面，∴是平面的一个法向量，∴∴二面角的余弦值为.【针对训练】1.【2020届湖南长郡中学月考】在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求到平面的距离.【思路引导】(1)取中点,连接,因为分别为的中点,所以,且,因为四边形为菱形,所以平面平面,所以平面.因为平面平面平面,所以.又,所以.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，且平面,所以平面.(2)由(1)得平面,所以到平面的距离等于到平面的距离.取的中点,连接,因为四边形为菱形,且,所以,因为平面平面,平面平面,所以平面,因为,所以,所以,设到平面的距离为,又因为,所以由,得,解得.即到平面的距离为．2.【2019届福建厦门第一中学模拟】已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.【思路引导】（1）取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求，证明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，求三棱锥E－ABC的体积可转化为求三棱锥N－ABC的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH＝，∴NG＝，又S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，∴VE－ABC＝·S△ABC·NG＝.3.【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知三棱锥中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.【思路引导】（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出.解：证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.4.【河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考】如图，在四边形中，是的中点，为正三角形，，，.将沿直线折起，使到达处，到达处，此时平面平面.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【思路引导】（1）先由题证明，再证明平面则可得；（2）用等体积转化法，求点到平面的距离．解：（1）由，，，可知，∴，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，又平面，∴.（2）取的中点，连接.∵为正三角形，∴也为正三角形，∴.由，知.∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵为对应的点，∴为的中点，∴点到底面的距离为，，，又，，∴，又，∴，∴，∴，.设点到平面的距离为.∵，∴，解得，∴点到平面的距离为.5.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得平面（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设，，则，，，，，，，，．因为，，所以，，面，面，于是平面．（2）设平面的法向量，则，，又，，故，取，得．因为与平面所成的角为，，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值为．解法2：（1）取中点，连接、,，平面，平面，而平面,平面,平面．为中点